MS_bak_220400_220700

Составляем новую выборку выхода y1 :

N

Этот метод еще называется методом последовательного исключения функций.

31

2.3. Использование регрессионного анализа при статистическом моделировании

После нахождения уравнения регрессии необходимо провести статистический анализ. Анализ состоит в следующем:

-проверяется значимость коэффициентов уравнения регрессии в сравнении с ошибкой воспроизводимости;

-устанавливается адекватность полученной модели (ее соответствие реальному объекту).

Эти исследования называются регрессионным анализом.

Для проведения анализа необходимо выполнение следующих условий:

-входной параметр x должен измеряться с пренебрежимо

малой ошибкой;

- результаты измерений выходного параметра y должны

представлять собой независимые нормально распределенные случайные величины;

- при проведении эксперимента с объемом выборки N , когда каждый опыт повторяется m раз, выборочные дисперсии

S12 , S22 ,..., SN2 должны быть однородными.

Для установления однородности выборочных дисперсий вначале вычисляются частные средние из параллельных опытов:

m

yi,u

Затем вычисляются выборочные дисперсии:

где f m 1 - число степеней свободы.

В общем случае, число степеней свободы любой характеристики определяется числом измерений (опытов) за вычетом

32

числа оценок, рассчитанных по этим измерениям, и используемых при вычислении данной характеристики.

или 1 % - в одном случае из 100 гипотеза не выполняется).

При невыполнении условия (2.12), дисперсии считаются неоднородными и тогда статистический анализ проводить нельзя.

При однородности дисперсий Si2 вычисляется дисперсия

воспроизводимости:

N

Si2

S 2 i 1 , (2.13)

воспр N

которая необходима для оценки значимости отдельных коэффициентов уравнения регрессии.

По критерию Стьюдента значимость коэффициентов уравнения регрессии проверяется по выполнению условия:

где b j - j -ый коэффициент уравнения регрессии; Sbj - среднеквадратичное отклонение j -ого коэффициента, определяемое по закону накопления ошибок:

t p ( f ) - табличное значение критерия Стьюдента.

Если проверяемое условие выполняется для выбранного уровня значимости p , то b j считается значимым для уравнения

регрессии.

Незначимые коэффициенты исключаются из уравнения регрессии, а оставшиеся коэффициенты вновь пересчитываются, т.к. они взаимосвязаны между собой.

Число степеней свободы дисперсии воспроизводимости: f1 N m N N m 1 .

Проверка адекватности полученной модели может осуществляться по критерию Фишера.

Рассматриваются два случая:

-при наличии параллельных опытов ( m 1).;

-при отсутствии параллельных опытов ( m 1).

При наличии параллельных опытов сравниваются дисперсии адекватности Sа2д и воспроизводимости Sвоспр2 :

По критерию Фишера, если условие:

f2 m N l ).

Чем меньше значение критерия Фишера (при наличии параллельных опытов), тем точнее полученная модель. Если неравенство не выполняется, то модель непригодна к использованию.

При отсутствии параллельных опытов дисперсия воспроизводимости не рассчитывается. Качество аппроксимации оценива-

тальным данным; yˆi - рассчитанные значения выхода по модели.

35

Дисперсия относительно среднего (2.19) характеризует отклонение экспериментальных значений выхода от среднего значения.

Остаточная дисперсия (2.20) характеризует отклонение экспериментальных значений выхода от рассчитанных по модели.

Критерий Фишера (2.18) показывает, во сколько раз уменьшается рассеяние относительно полученного уравнения регрессии по сравнению с рассеиванием относительно среднего значения.

Чем больше рассчитанное значение F превышает табличное значение (при отсутствии параллельных опытов):

объект.

При невыполнении неравенства модель нецелесообразно использовать (необходимо выбрать новую структуру модели для аппроксимации).

2.4. Параболическая и трансцендентная регрессии

Если уравнение регрессии представляет собой полином некоторой степени, то коэффициенты этого полинома (при использовании МНК) находят решением системы линейных уравнений.

Например, для описания экспериментальной кривой выбрано уравнение параболы:

36

Для уменьшения числа коэффициентов уравнения регрессии применяют трансцендентную регрессию. Однако, вычисление для нее коэффициентов может оказаться достаточно сложным, т. к. необходимо решать систему нелинейных уравнений. Для упрощения расчетов используют методы линеаризации (с помощью простых преобразований и замены переменных).

37

ное для использования МНК. Для практического использования уравнения Аррениуса необходимо провести обратный пересчет: k0 eb0 , E b1 R .

Другой пример (степенная функция): yˆ b0 b1x .

ln yˆ ln b0 x ln b1 .

z ln yˆ , a0 ln b0 , a1 ln b1 . z a0 a1 x .

После вычисления коэффициентов линеаризованного уравнения необходимо также провести расчет коэффициентов исходного уравнения.

2.5. Основы корреляционного анализа

Задача корреляционного анализа состоит в оценке тесноты (силы) связи корреляционной зависимости выхода y и входа x

по величине рассеяния этих значений вокруг частных средних. Для оценки тесноты связи линейной зависимости

yˆ b0 b1 x рассчитывается коэффициент парной корреляции:

38

(N l) S 2

где ост .

(N 1) S y2

Диапазон изменения: 0 1. Чем ближе величина отношения к единице 1, тем теснее связь между x и y .

При 1 между входом и выходом есть функциональная

связь.

При 0 связь между входом и выходом отсутствует.

39

вующего входа (фактора); S y , S xj - среднеквадратичные откло-

нения.

Уравнение регрессии для нормированных значений при отсутствии свободного члена:

yˆ 0 b1' x10 b2' x20 ... bk' xk0 .

Определяются частные производные:

40