MS_bak_220400_220700

Определим коэффициенты b0 ,b1 ,b2 ,b3 методом наимень-

ших квадратов (МНК) и установим различие между экспериментальными и расчетными значениями. Если различия значительны, в этом случае проверяется полином второго порядка:

Если и эта модель получается неадекватной, то проверяются полиномы более высоких порядков. При этом по мере роста порядка полинома усложняется модель и необходимо больше опытных данных для определения коэффициентов (минимальное число опытов равно числу определяемых коэффициентов).

1.5. Типы уравнений математического описания

Перечислим основные типы уравнений математического описания:

1.Алгебраические уравнения (описывают стационарные режимы объектов с сосредоточенными параметрами).

2.Обыкновенные дифференциальные уравнения (применяют для описания нестационарных режимов объектов с сосредоточенными параметрами и для стационарных режимов с распределенными параметрами, в которых значения параметров зависят от одной пространственной координаты (например, высо-

ты)).

3.Дифференциальные уравнения в частных производных (для описания нестационарных (динамических) режимов объектов с распределенными параметрами, а также для стационарных режимов с распределенностью более чем по одной координате).

4.Интегральные уравнения (обычно применяют для описания процессов в аппаратах с распределенностью по их размерам).

5.Разностные уравнения (используются для описания объектов и систем управления в дискретном виде).

21

1.6. Алгоритмизация решения математического описания

Следующим этапом после составления математического описания является выбор метода решения и реализация решения

ввиде алгоритма.

Втом случае, если возможно получить аналитическое решение модели (системы уравнений), то в разработке специального алгоритма нет необходимости. В противном случае – используют численные методы с применением ЭВМ. При этом важно знать физическую природу режимов работы объекта моделирования и правильно выбрать начальные условия.

Пример реализации алгоритма решения системы уравнений численным методом проиллюстрируем решением задачи для реактора идеального смешения (РИС) (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Схема работы РИС

трации компонентов на момент времени tk .

22

Изменение концентраций описывается уравнениями:

dCA k1 f1 (CA ,CB ,t) , dt

dCB k2 f2 (CB ,CA ,t) . dt

Выполним замену:

F1 (CA ,CB ,t) k1 f1 (CA ,CB ,t) , F2 (CB ,CA ,t) k2 f2 (CB ,CA ,t) .

Для решения системы уравнений воспользуемся один из численных методов (например, методом Эйлера):

CAn 1 CAn t F1 (CAn ,CBn ,t n ) , CBn 1 CBn t F2 (CAn ,CBn ,t n ) ,

где t - шаг итерации.

Составим схему алгоритма расчета (рис. 1.6).

Рис. 1.6. Схема алгоритма решения

23

1.7. Контрольные вопросы

1.Дайте общую характеристику метода моделирования систем как способа научного познания.

2.Какие требования предъявляются к модели?

3. Раскройте понятие адекватности модели.

4.Назовите виды моделирования. В чем их особенности?

5.Перечислите основные этапы моделирования.

6.На какие классы делятся модели (по своему назначе-

нию)?

7.Назовите два основных подхода к составлению математических моделей. В чем их различие?

8.Какие группы уравнений могут входить в состав математического описания при детерминированном подходе?

9.Как определяется структура математического описания при экспериментально-статистическом подходе?

10.Назовите типы уравнений математического описания.

11.В чем заключается алгоритмизация решения математического описания?

24

Глава 2. СОСТАВЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО-СТАТИСТИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ

Для использования экспериментально-статистических методов необходимо провести ряд экспериментов на объекте исследования (различают пассивные и активные эксперименты). При пассивном эксперименте проводиться большая серия опытов с последовательным изменением входных параметров и получением выходных параметров (обычно сбор статистических данных выполняется в режиме нормальной эксплуатации промышленного объекта). Для проведения активного эксперимента составляется план, при котором предусматривается одновременное изменение всех входных параметров, что позволяет резко сократить число опытов. Обработка экспериментальных данных осуществляется методами классического регрессионного и корреляционного анализа.

2.1. Использование метода наименьших квадратов при идентификации моделей статики

Математическая модель при экспериментальностатистическом подходе является функцией отклика:

y f (x1 , x2 ,..., xn ) ,

где x1 , x2 ,..., xn - факторы (входы системы), определяющие фак-

торное пространство.

Изображение y в факторном пространстве называют по-

верхностью отклика.

При использовании статистических методов математическая модель может быть представлена в виде одного или нескольких полиномов (отрезков ряда Тейлора), на который разлагается неизвестная функция y .

25

Общий вид эмпирического уравнения регрессии:

j - текущий номер фактора.

Коэффициенты уравнения регрессии определяются из условия минимума функции:

n

Ф ( yiэ yiр )2 min , (2.2)

i 1

b0 ,b1 ,...

где yiэ , yiр - экспериментальные и рассчитанные (по модели)

значения; n - число опытов; l - число связей, наложенных на выборку (равно числу определяемых коэффициентов); f - число степеней свободы выборки ( f n l ).

Расчет коэффициентов уравнения проводиться методом наименьших квадратов (МНК).

Рассмотрим использование МНК для однопараметрической модели (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Структурная схема однопараметрической модели

Весь диапазон входных значений разбивается на равные интервалы, проводится ряд экспериментов и составляется таблица исходных данных (табл. 2.1).

26

Таблица 2.1.

Набор экспериментальных данных (на примере одного опыта)

По результатам опытов строится корреляционное поле (рис. 2.2) по координатам y и x для получения эмпирической линии регрессии.

Рис. 2.2. Корреляционное поле по координатам y и x

(при наличии одного опыта – одна кривая, при наличии параллельных – несколько кривых)

При наличии параллельных опытов ( m 1), все точки внутри каждого интервала приводятся к среднему значению (вычисляются частные средние):

27

Т. к. функция Ф положительна, то она имеет хотя бы один минимум, который является решением поставленной задачи.

Группируя в системе уравнений экспериментальные значения xiэ , yiэ относительно искомых коэффициентов b0 ,b1 ,..., со-

ставляется матрица коэффициентов и матрица свободных членов. Решая преобразованную систему уравнений (например, по правилу Крамера или методом Гаусса), находим искомые коэффици-

енты [11].

зависимые функции.

Порядок расположения факторов и соответствующих функций зависит от степени влияния фактора на выходную переменную y (чем сильнее влияние фактора, тем ниже его порядко-

вый номер).

Экспериментальные данные заносятся в табл. 2.2.

29

Для установления степени влияния факторов x1 , x2 ,..., xk на выход y строятся графики зависимости выхода от каждого фактора (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Графики зависимости выхода y от каждого фактора (на примере объекта с тремя входами и одним выходом)

По характеру зависимости x1 и y подбирается уравнение

регрессии: yx1 f1 x1 .

Используя МНК, рассчитываем коэффициенты этой зависимости.

30