4

Скалярные и векторные поля.

Определение 1. Скалярным полем точки М называется скалярная функция точки М вместе с областью ее определения.

В пространственной системе координат Oxyz для каждой точки с координатами , скалярное поле является функцией этих координат: .

Примерами скалярных полей являются поле температуры атмосферы, поле плотности массы и т.д.

В дальнейшем будем предполагать, что скалярные поля являются однозначными, непрерывными и дифференцируемыми достаточное число раз.

Если частные производные одновременно не равны нулю, то уравнение (С= const) определяет поверхность, вдоль которой функция сохраняет постоянное значение; такая поверхность называется поверхностью уровня функции . Очевидно, что рассматриваемая область Т заполнена поверхностями уровня и через каждую точку проходит одна и только одна такая поверхность. Очевидно также, что поверхности уровня не пересекаются между собой. Аналогично определяются линии уровня непрерывно дифференцируемой функции , заданной в области .

Аналогично определяются линии уровня непрерывно дифференцируемой функции , заданной в области .

Производная по направлению

Рассмотрим единичный вектор произвольного направления, где - углы, образуемые вектором с осями координат.

Параметрические уравнения прямой , проходящей через точку в направлении вектора , имеют вид

,

, (1)

.

Тогда для точек этой прямой функция является функцией одной переменной :

(2)

Определение 3. Производной скалярного поля в точке по направлению называется производная функции по при , если она существует, и обозначается .

Можно сказать, что производная по направлению есть скорость изменения скалярного поля по отношению к величине перемещения точки М вдоль выбранного направления.

Дифференцируя правую часть равенства (2) по , получаем

(3)

где - направляющие косинусы вектора .

Для плоского случая

Пример 1. Вычислить производную функции в точке по направлению вектора , где .

Решение. Определим единичный вектор заданного направления . Имеем . ,

.

Отсюда . Найдем частные производные функции в точке :

,

.

По формуле (3) получаем

.

3. Градиент

Определение 4. Градиентом дифференцируемого скалярного поля называется векторное поле точки М, обозначаемое и определяемое формулой

(4)

Градиентами некоторых скалярных полей являются поле сил тяготения, поле заряда и т.д.

Пользуясь известными формулами для нахождения модуля вектора, получим

,

(5)

, , .

Используя понятие градиента и формулу для скалярного произведения, представим формулу (3) в виде скалярного произведения векторов и :

(6)

Так как , то получаем

(7)

Из (7) следует, что в каждой точке, не являющейся особой, градиент направлен в сторону максимального возрастания функции, а модуль градиента равен величине скорости этого возрастания. Действительно. В случае вектор имеет то же направление, что и , и тогда

. (8)

Формула (8) позволяет вместо предыдущего определения градиента, в котором используется система координат, дать другое, инвариантное определение.

Определение 5. Градиентом скалярного поля называется вектор, характеризующий наибольшую (по модулю и направлению) скорость изменения этого скалярного поля.

Это определение градиента инвариантно, т.е. не зависит от выбора системы координат.

Если , то производная по направлению является наименьшей, равной . Если же , то производная по направлению равна нулю. Направление градиента совпадает с направлением нормали к поверхности уровня .

Пример 2. Найти градиент скалярного поля в точке . Вычислить его величину и направление.

Решение: Имеем , , Следовательно ; ; , , .