Исследование функций и построение графиков Условия возрастания и убывания функции.

Определение 1. Функция называется возрастающей (убывающей) в областиX, если для любых двух значений верно

().

Если же верно

(),

то функция называется неубывающей (невозрастающей). Возрастающая, убывающая, невозрастающая и неубывающая функции называют монотонными функциями.

При изучении поведения функции одним из наиболее важных моментов является нахождение промежутков, в которых функция монотонно возрастает (убывает). Применим к их нахождению понятие производной функции.

Теорема 1. 1) Если функция , имеющая производную на отрезке, возрастает (убывает) на этом отрезке, то() для всех.

2) Если функциянепрерывна на отрезкеи дифференцируема на интервале, причем() для всех, то эта функция возрастает (убывает) на отрезке.

Аналогично доказывается убывание функции.

Приведенная теорема отражает следующий геометрический факт: у возрастающей функции касательные к ее графику образуют с положительным направлением оси OX острый угол (или, в отдельных случаях, угол, равный нулю), поэтому ; для убывающей функции углы наклона касательных --- тупые, поэтому.

Пример 1. Исследовать функцию на возрастание и убывание. Найдем производную: и приравняем ее к нулю , откуда находим. Таким образом, числовая ось разбивается на два интервала:. Найдем знак производнойна каждом из полученных интервалов, подставив в выражение для производной первого порядка произвольное значение из каждого интервала. Получимпри, следовательно, нафункция убывает,при, следовательно, нафункция возрастает.

Определение 2. Точка есть точка максимума (минимума) функции, если эта точка лежит внутри такого участка, что для всехиз этого участка, отличных от, будет ().

Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума

В определении точки экстремума существенно, чтобы функция была определена как левее, так и правее этой точки, т.е., чтобы эта точка была внутренней, а не граничной точкой промежутка задания функции.

Точки экстремума. Необходимое условие экстремума.

Определение 3. Функцию , заданную на каком-либо промежутке, назовем гладкой, если она сама непрерывна на этом промежутке и имеет во всех его точках непрерывную производную.

По отношению к гладким функциям справедлива следующая важная теорема, открытая французским математиком 17-го века П. Ферма.

Теорема Ферма. Если гладкая функция в точкеимеет экстремум, то ее производная в этой точке обращается в ноль=0.

.

Пример 2. Рассмотрим функцию y.

Спрашивается, есть ли у нее точки экстремума и если да, то как их найти. Согласно теореме Ферма, точками экстремума могут быть лишь те точки, в которых производная обращается в ноль, (т. е. стационарные точки). Поэтому находим производную и приравниваем ее к нулю , откуда Теперь нужно выяснить характер поведения функции в этих двух точках. Для этого заметим, что точкиразбивают всю числовую ось на участки,Это участки возрастания и убывания функции. Чтобы выяснить, как ведет себя функция на участкевозьмем произвольную точку, принадлежащую этому интервалу, например, точкуи подставим ее в производнуюнаходимЗначит на интервалефункция возрастает. Аналогично, взяв, например,найдем