19

Раздел III. Теория грАфов

Литература

1. Новиков, Ф. А. Дискретная математика для программистов. – Санкт-Петербург: Питер, 2004. – 304 с.

2. Липский, В. Комбинаторика для программистов. М.: Мир, 1988,- 213 с.

3. Кристофидес, Р. Теория графов. Алгоритмический подход [Текст] / Р. Кристофидес / Пер. с англ. М.: Мир, 1978. 432 с.

4. Алгоритмы поиска в глубину и ширину на графах: Методические указания к практическим занятиям по курсу "Дискретная математика" /Воронеж. гос. технол. акад. : Сост. Ю. В. Бугаев, И. Ю. Шурупова, О. Ю. Никифорова. Воронеж, 2001. 23 с.

Тема 1. Вводные понятия

Как и большинство разделов дискретной математики, теория графов возникла при решении различных головоломок. Известна точная дата ее появления – 1736 г. Это год, в котором великий математик Леонард Эйлер опубликовал статью с решением задачи о Кенигсбергских мостах. В 18 в. Кенигсберг был расположен на обоих берегах и двух островах реки Пречель. Острова были связаны между собой и с берегами семью мостами:

Правый берег

Течение реки

М 3

М 2

М 1

М 4

М 7

М 6

М 5

Левый берег

Существовала популярная задача: можно ли, выйдя из дома, вернуться обратно, пройдя по каждому мосту ровно один раз?

Размышляя над этой задачей, Эйлер для удобства рассуждений изобразил ее в виде простой геометрической фигуры – из точек, соединенных линиями. Каждый берег и остров он изобразил точками, а мосты – линиями, их соединяющими. Получилась фигура, которая сейчас называется графом:

V1 – прав. берег

V3 –

остров 1

V4 – остров 2

V2 – лев. берег

Задачу о мостах Эйлер сформулировал так: можно ли, начав движение из любой вершины, и двигаясь вдоль линий, пройти по каждой линии точно по одному разу и вернуться в исходную вершину?

В современной постановке задача звучит так: существует ли в данном мультиграфе простой цикл, содержащий все ребра?

В своей работе Эйлер

1) доказал, что эта задача не имеет решения;

2) сформулировал и доказал необходимое и достаточное условие существования в произвольном графе такого (Эйлерова) цикла.

Потом о теории графов забыли, чтобы вспомнить в 19 веке, когда возникли задачи исследования электрических цепей, моделей кристаллов и структур молекул. Новый всплеск интереса к теории графов приходится на средину 20 века. Выяснилось, что к задачам о графах сводится множество производственных и научных задач – прокладка трасс, проектирование систем управления и интегральных схем, построение логических схем в экономике, химии, биологии. В терминах теории графов формулируются основные алгоритмы, связанные с перебором вариантов. Без преувеличения можно сказать, что теория графов – язык дискретной математики.

1.1. Основные понятия теории графов

Изображение графа в виде точек и линий – это лишь наиболее наглядный способ их представления. Формально граф определяется так: граф – это пара объектов G = (V, E), где V – некоторое конечное множество, Е – отношение на V: E VV. V – множество вершин, E – множество ребер.

Ребро принято обозначать либо как элемент Е: e₁, …, e_m, e_j E, либо указанием его начальной и конечной вершины (v_i, v_j). Второе обозначение не всегда однозначно, например, в задаче о мостах обозначению (v₁, v₃) соответствуют два различных ребра.

Def. Графом без кратных ребер называется граф, в котором для любых i, j существует единственное ребро e_k = (v_i, v_j). Граф с кратными ребрами называется еще мультиграфом.

Def. Пусть u, v – вершины, е = (u, v) – соединяющее их ребро. Тогда вершина u и ребро e инцидентны друг другу (также как и v и е). Два ребра, инцидентные одной вершине называются смежными. Две вершины, инцидентные одному ребру также называются смежными.

Вершины, инцидентные одному ребру, могут быть равноправными, т.е. записи (u, v) и (v, u) эквивалентны, а могут быть неравноправными, т.е. важен порядок записи. Направленные ребра называются дугами, а содержащий их граф – ориентированным (орграфом) Направленные ребра на рисунке снабжаются стрелками – от начала к концу. Граф, в котором все ребра не направлены, называется неориентированным. Ребро вида (v, v) называется петлей.

Def. Граф называется полным, если любые его две вершины смежны, E = V V. 0-граф – граф без ребер. Изолированная вершина – не смежная ни с одной другой вершиной.

Def. Дополнение графа , где= (VV) \ E.

Пример 1.1.

G

Свойства графов легко связать со свойствами соответствующих бинарных отношений, т.к. R и E означают одно и то же. Например:

R – симметрично  G – неориентированный;

R – асимметрично  G – ориентированный, без петель;

R – антисимметрично  G – ориентированный, с неориентированными петлями;

R – рефлексивно  G имеет петли;

отношению R^–1 соответствует граф с обратной ориентацией дуг;

соответствует и т.д.

Изоморфизм. При изображении графа в виде точек с линиями такие понятия, как длина или кривизна линий не важны. Главное – изобразить, какие именно пара вершин соединяет данное ребро. Например, на рис. Графы а) и б) одинаковы, а а) и в) совпадают с точностью до нумерации вершин и ребер.

V3

V2

V3

E3

E2

E3

E2

E1

E2

E1

V2

V1

E1

E3

V1

V3

V2

V1

а)

б)

в)

Такие графы называются изоморфными. Более строго:

Def. Пусть G = (V, E), H = (U, F) – графы. Пусть f : V  U – взаимно-однозначное отображение. Если для любых v, w  V их образы f(v) и f(w) смежны тогда и только тогда, когда смежны v и w, то f называется изоморфизмом G на H, а сами графы – изоморфными (обозначается G  H). Если f – тождественное отображение, то G = H.

Пример 1.2. G  H  I, а J и K не изоморфны.

3

2

1

5

1

1

5

4

2

2

6

6

5

4

3

4

3

6

I

G

H

J

K