1. Исчисление высказываний ив.

Исчисление высказываний ИВ – это аксиоматическая логическая система гильбертовского типа, адекватная алгебре высказываний. Опишем это исчисление.

В качестве алфавита исчисления высказываний возьмем следующее множество символов:

1. счетное множество высказывательных переменных, обозначаемых прописными латинскими буквами с индексами и без них;

2. символы логических операций ;

3. скобки ( , ).

Вместе с символами алфавита будем использовать и метасимволы: латинские буквы жирного шрифта для обозначения формул и знак = для обозначения формул метасимволами.

Множество формул обычно задается индуктивным определением. Допустимыми последовательностями символов или словами в языке исчисления высказываний являются формулы алгебры высказываний. Пункты 1 и 2 этого определения определяют элементарные формулы, а п. 3 – механизм образования новых формул.

Следует заметить, что в исчислении высказываний не разрешается опускать скобки для операций с большим приоритетом, что допустимо в алгебре высказываний. Так, например, формула алгебры высказываний не является формулой исчисления высказываний, ее следует записать, как, в дальнейшем изложении мы будем опускать лишь внешние скобки.

Следующим шагом в описании исчисления высказываний будет выделение класса формул, которые будем называть истинными или доказуемыми в исчислении высказываний. Это определение имеет такой же рекуррентный характер, как и определение формулы.

Сначала определим исходные истинные формулы, называемые аксиомами. В качестве системы аксиом примем следующие формулы (аксиоматика П.С.Новикова).

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

После этого определим правила, позволяющие из истинных формул образовывать новые. Эти правила, мы будем называть правилами вывода. Образование истинной формулы из исходных истинных формул или аксиом путем применения правил вывода будем называть выводом данной формулы из аксиом.

Определим правила вывода, которые являются отношениями на множестве формул.

1. Правило подстановки.

Пусть U – формула, содержащая высказывательную переменнуюX. Тогда еслиU– истинная формула в исчислении высказываний, то, заменяя в ней переменнуюXвсюду, куда она входит, произвольной формулойB, мы также получим истинную формулу.

U(¼,X,¼)

______________________________________

U(¼,X,¼){В//X}

2. Правило заключения (modus ponens).

Если U иUB истинные формулы в исчислении высказываний, тоBтакже истинная формула, т.е.

Наряду с правилом заключения, мы будем использовать и другие правила образования истинных и выводимых формул. Эти правила являются производными, при их доказательстве используется понятие выводимости в логическом исчислении, аксиомы ИВ и правило заключения.

Перечислим основные из производных правил вывода. Как и прежде, метасимволы являются произвольными формулами, а черезTобозначим конечное множество формул (возможно пустое). Так как доказательство большинства правил непосредственно следует из определения выводимости и аксиом ИВ, то приведём только их формулировки, доказав лишь ключевое правило 5 – в форме теоремы дедукции.

1. Правило повторения посылки.

T,|

2. Правило введения посылки.

Если T |, то T,|.

3. Правило удаления посылки.

Если T,|иT |, тоT |.

4. Правило силлогизма.

Если T|, . . . , T|и|, то T|.

5. Правило введения импликации.

Если T,|, то T|.

Это весьма важное свойство называют еще теоремой дедукции. Учитывая, что - конечное множество формул, правило 5 можно сформулировать в следующем виде:

Теорема дедукции.Если

| B,

то

|.

6. Правило удаления импликации.

Если T|, то T,|.

7. Правило введения конъюнкции.

T,|.

8. Правило удаления конъюнкции.

T,|,

T,|.

9. Правило введения дизъюнкции.

T,|,

T,|.

10. Правило удаления дизъюнкции.

Если T,|иT,|, тоT,|.

11. Правило введения отрицания.

Если T,|иT,|, тоT|.

12. Правило удаления отрицания.

T,|

13. Правило контрапозиции.

Если T,|, тоT,|.

Правила 1-13 называют обычно правилами естественного вывода, а вывод формулы из системы посылок, при котором используются эти правила, - естественным выводом.

Рассмотрим примеры вывода формул с использованием правил естественного вывода. Всюду далее, строя вывод формулы, будем рядом с каждой формулой последовательности указывать применяемое правило (его номер), а затем, в круглых скобках, номера формул исходных посылок, к которым применялось данное правило.

Задание 1. Доказать, что в ИВ

|.

Решение. Для доказательства эквивалентности формул в ИВ достаточно построить два вывода:

1) |-;

2) |-.

Построим 1-й вывод.

1. |-	8
2. |- C	8
3. |-	7
4. |-	9
5. |-	4 (3, 4)
6. |-	7
7. |-	9
8. |-	4 (6, 7)
9. |-	10 (5, 8)
10. |-	4 (1, 2, 9)

Обратный вывод имеет вид

1. |-A	8
2. A |-	9
3. |-	4 (1, 2)
4. |-C	8
5. |-	7
6. |-	4 (3, 4, 5)
7. |-B	8
8. B |-	9
9. |-	4 (7, 8)
10. |-C	8
11. |-	4 (9, 10, 5)
12. |-	10 (6, 11)

Задание 2. Доказать, что

|-

Решение.

1. |	9
2. |-	9
3. |-	13 (1)
4. |- A	12
5. |- A	4 (3, 4)
6. |-	13 (2)
7. |- B	12
8. |- B	4 (6, 7)
9. |-	7
10. |-	4 (5, 8, 9)
11. |-	13 (10)
12. |-	12
13. |-	4 (11, 12)

Задание 3. Доказать, что

|-

Решение.

1. |	8
2. |-	8
3. |- Q	6 (1)
4. |- R	6 (2)
5. |-	7
6. |-	4 (3, 4, 5)
7. |-	5 (6)

Задание 4. Доказать, что

|-

Решение.

1. |-	1
2. |-	6 (1)
3. |- С	6 (2)
4. |- A	8
5. |- B	8
6. |- С	2 (3)
7. |- С	3 (6, 5)
8. |- С	3 (7, 4)
9. |-	5 (8)

Задание 5. Доказать, что

|-

Решение. Построим вывод этой формулы.

1. |-	8
2. |-	8
3. |-	8
4. |-	6 (1)
5. |-	6 (2)
6. |-	9
7. |-	4 (4, 6)
8. |-	2 (3)
9. |-	11 (7, 8)
10. |-	9
11. |-	4 (5, 10)
12. |-	2 (3)
13. |-	11 (11, 12)
14. ,|-	7
15. |-	4 (9, 13, 14)
16. |-	Теорема ИВ
17. |-	4 (15, 16)