1.7. Получение канонической управляемой формы
Рассмотрим линейную динамическую систему со скалярным входом:
Пусть эта система является полностью управляемой:
Характеристический полином имеет вид
Рассмотрим матрицу Т, составленную из коэффициентов характеристического полинома
С помощью неособого линейного преобразования
можно записать уравнения состояния в канонической форме управляемости
Для нахождения матриц Az и Bz выполним подстановку
Пример 1.16. Получить каноническую форму управляемости для системы, заданной матрицами
Решение. Матрица управляемости
Определитель W = 1, следовательно, система является полностью управляемой.
Таким образом, α2 = 1, α1 = –5, α0 = –2.
Таким образом, если система управляемая, то для нее всегда можно получить каноническую форму управляемости.
1.8. Диагональная каноническая форма
Кроме канонических форм управляемости и наблюдаемости большое значение имеет так называемая диагональная (жорданова) форма, которая строится на основании принципа суперпозиции линейных систем.
Рассмотрим передаточную функцию объекта
Предположим для простоты, что характеристическое уравнение не имеет кратных корней. Для выходной переменной можно записать:
Где X(0) – линейная комбинация начальных условий, Y(s) и U(s) – преобразование Лапласа выходной и входной переменной.
Передаточная функция может быть разложена на простейшие дроби, т.е. можно записать:
Каждая компонента xi описывает реакцию системы с ПФ равной
на входной сигнал U(s), а это означает, что xi(t) удовлетворяет уравнению
Таким образом, уравнения состояния системы имеют вид
Пример. Получить диагональную каноническую форму для объекта, заданного ПФ:
Характеристическое уравнение имеет два корня: -1 и -3, поэтому можно записать:
Откуда следует
Приравнивая значения при одинаковых степенях s, получаем систему двух уравнений:
Таким образом
2. Модальное управление
2.1. Собственные значения и собственные векторы
Рассмотрим линейное однородное уравнение
Решение можно представить в виде
Тогда
Для построения решения, кроме тривиального X = 0, необходимо, чтобы матрица A – λI была вырожденной, т.е.
Иными словами требуется узнать: если А сдвигается на различные кратные единичные матрицы, то какой сдвиг делает ее вырожденной?
Значения параметра λ, для которого существуют нетривиальные решения AX = λX, называются собственными значениями (числами) матрицы A. Соответствующие им векторные решения называют собственными векторами матрицы A.
Рассмотрим определитель
Разложение этого определителя дает характеристическое уравнение системы:
из которого могут быть найдены все собственные значения λi. Затем для каждого собственного значения может быть найден собственный вектор.
Пример 2.1. Дана матрица А, требуется найти ее собственные значения и векторы.
Таким образом, имеются два собственных значения матрицы λ1 = –1 и λ2 = 2.
Первый собственный вектор:
Решением является любой вектор, кратный X1 = [1 1]Т.
Аналогично для 2-го собственного числа
Решением является любой вектор, кратный X2 = [5 2]Т.
Для устранения неоднозначности значения собственных векторов можно нормализовать.
Линейное и однородное уравнение допускает суперпозицию решений
Где константы c1 и c2 определяются начальными условиями. Допустим, что заданы начальные условия:
Тогда при t = 0
Таким образом, свободное движение системы, динамика которой описывается матрицей А при начальных условиях U0 имеет решение
или
После отыскания собственных векторов система уравнений распадается на «гармоники», которыми являются независимые друг от друга собственные векторы. Можно наблюдать за поведением каждого из собственных векторов в отдельности, а затем комбинировать эти гармоники для отыскания решения.
Пример 2.2. Дана матрица коэффициентов системы А и известны ее собственные вектора X1, X2 , а а также начальное условие X0.
Требуется определить свободное движение системы.
Решение. Характеристическое уравнение
Имеет два собственных значения: –5 и –2.
Будем искать решение в виде:
Таким образом, свободное движение системы описывается уравнением
Совокупность собственных значений αi и собственных векторов Xi представляет собой модальные характеристики системы. Модой называется каждое произведение вида
Модальные характеристики соответствуют свободной составляющей движения системы
Рассмотрим диагональную форму матрицы (жорданову форму). Пусть дана матрица A, имеющая полный ранг n, и матрица собственных значений
И матрица, составленная из собственных вектор-столбцов матрицы А:
Тогда справедливо
Доказательство:
Матрица S обратима, поскольку имеет полный ранг.
Пример 2.3. Диагонализировать матрицу
Решение
Пример 2.4. Обратная задача:
Требуется найти матрицу A.
Пример 2.5. Приведение многомерного объекта к диагональной канонической форме.
Получаем характеристическое уравнение
Первый собственный вектор:
Аналогично
Матрица преобразования координат:
