1. Метод пространства состояний

   1. Модели в пространстве состояний

Практически все динамические объекты могут быть описаны с помощью дифференциальных уравнений.

Метод пространства состояний позволяет исследовать системы во временной области. Преимущества этого подхода обусловлены тем, что он позволяет единообразно исследовать и одномерные, и многомерные, и линейные, и нелинейные системы.

Состояние системы – это совокупность таких переменных, знание которых позволяет, при известном входе и известных уравнениях динамики, описать будущее состояние системы и значение ее выхода.

Рассмотрим примеры, иллюстрирующие составление уравнений в переменных состояния.

Пример 1.1. Тележка на колесах массой M, перемещающаяся под воздействием силы f(t) вдоль оси x с коэффициентом трения k (рис. 1.1).

m

f(t)

x

Рис.1.1. Тележка на колесах

Введем переменные состояния:

Тогда

В матричной записи:

Пример 1.2. Механическая система с линейным перемещением (рис. 1.2).

Рис.1.2. Механическая система с линейным перемещением

На тело массой m действует три силы: внешняя сила f(t), сила трения f_ТР (t), пропорциональная скорости с коэффициентом k₂, и сила упругости f_ПР(t), пропорциональная перемещению вдоль оси y(t) с коэффициентом k₁.

Под действием этих сил тело движется согласно закону Ньютона, который гласит, что сумма сил, действующих на тело, равна произведению массы тела на его ускорение:

а передаточная функция (ПФ) равна

Это выражение определяет зависимость положения y(t) от действующей силы f(t).

Допустим, что нам нужна также информация о скорости dy(t)/dt. Введём следующие переменные:

Далее можем записать:

Представим эту систему уравнений в векторно-матричной форме:

.

Пример 1.3. Рассмотрим систему, описываемую дифференциальными уравнениями:

где u₁ и u₂ - входные переменные, а y₁ и y₂ - выходные переменные.

Выберем переменные состояния:

Тогда:

Эти уравнения можно записать в векторно-матричной форме:

.

Уравнения состояний линейной стационарной системы имеют следующий общий вид:

где X – вектор-столбец состояния [n  1]; А – матрица коэффициентов объекта [n  n]; В – матрица входа [n  m]; U – вектор входа (управления) [m  1]; Y – вектор выхода [k  1]; С – матрица выхода [k  n]; D – матрица влияния входа непосредственно на выход системы [k  m].

Уравнениям состояния соответствует структурная схема, показанная на рис. 1.3.

Рис. 1.3. Структура системы в пространстве состояний

На практике часто рассматриваются скалярные системы (с одним входом и одним выходом). Матрица D обычно нулевая. Тогда можно записать уравнения состояния в развернутом виде:

Имея описание скалярной системы в виде ПФ, можно легко получить описание в пространстве состояний:

где y(s), u(s), x(s) - выход, вход и состояние системы.

Первой дроби соответствует уравнение выхода, а второй – уравнение состояния.

Пример 1.4. Имеется ПФ объекту управления:

Требуется получить уравнения состояния.

Решение.

Уравнение состояния:

Тогда

Переходя во временную область, можем записать:

Выбираем переменные состояния: x₁ = x; x₂(t) = dx/dt, тогда можно записать

Уравнения выхода:

Пример 1.5. Рассмотрим систему 3-го порядка.

Переходя во временную область:

Вводим переменные состояния:

x₁ = x, x₂(t) = dx/dt, x₃(t) = d²x/dt².

Получаем уравнение состояния

Уравнение выхода

2. Линеаризация в пространстве состояний

Как было показано выше, описание в пространстве состояний можно получить, выполняя преобразование ПФ объекта. Однако возможен и другой путь – на основании линеаризации исходных нелинейных уравнений объекта.

Рассмотрим нелинейное уравнение состояния

где X и F – векторы размерностью [n × 1], U – вектор размерностью [r × 1].

Пусть X₀ – рабочая точка нелинейной системы n-го порядка, а U₀ – постоянное значение входа, соответствующее этой точке.

Предположим, что появляется отклонение:

Тогда

Для j-й компоненты вектора X можно записать:

Поскольку

Получаем

Для всех компонентов вектора X:

где

Эти матрицы называются якобианами.

Для удобства записи обычно вместо X используют X, и вместо U – U:

где под X понимаются отклонения переменных состояния от их установившихся значений, а под U – отклонения входных воздействий.

Рассмотрим пример линеаризации нелинейной системы.

Пусть дано нелинейное дифференциальное уравнение 2-го порядка.

где все переменные являются функциями времени.

Введем переменные состояния:

Нелинейные уравнения состояния примут вид:

В векторной форме:

Рассмотрим аппроксимацию этих нелинейных уравнений в рабочей точке X₀, U₀.