8.7. Расчет размерных цепей вероятностным методом

В этом методе решения размерных цепей учитывается вероятность распределения деталей в приделах допуска (с учетом теории вероятности). Решение размерных цепей с учетом теории вероятности применяется для цепей, имеющих не менее четырех составляющих звеньев.

При решении размерной цепи на максимум – минимум исходят из предположения, что может произойти такой случай, когда все увеличивающие размеры окажутся самыми большими в пределах допуска, а уменьшающие самыми малыми, т. е. равными наименьшим и наибольшим предельным размерам. Вероятность такого сочетания при количестве звеньев в размерной цепи более четырех очень мала. В приведенном выше примере размерной цепи редуктора (рис. 109), приняв процент риска для каждого звена равным 5%, получим процент риска выхода замыкающего звена за пределы допуска равный 0,05⁷  100% (так как в цепи 7 звеньев), т. е. очень малую величину 8  10^-8%.

Учитывая, что технологический процесс обработки деталей выбирается таким образом, что допуск равен примерно 3, где  – среднеквадратическое отклонение разброса размеров, т. е. процент риска равен 0,3%, получим, что вероятность такого совпадения становится практически равной нулю.

Следовательно, если допустить ничтожно малую вероятность несоблюдения предельных значений замыкающего звена, можно значительно расширить допуски составляющих звеньев по сравнению с методом максимума–минимума и тем самым снизить себестоимость изготовленных деталей. На этих положениях и основан теоретико-вероятностный метод расчета размерных цепей. Метод решения размерных цепей с учетом теории вероятности позволяет рассчитать величины допусков звеньев цепи, при которых с заданной вероятностью выполняется допуск замыкающего звена.

Зная из теории вероятности, что дисперсия суммы случайных величин равна сумме их дисперсий, и учитывая, что размеры составляющих звеньев являются случайными величинами, а размер замыкающего звена суммирует случайные отклонения всех звеньев цепи, можем записать: дисперсия замыкающего звена равна сумме дисперсий составляющих звеньев:

(99)

Если границы решения размеров составляющих звеньев совпадают с их полями допусков, тогда:

(100)

Допустим, что для замыкающего звена:

(101)

где t – коэффициент риска, характеризующий процент выхода расчетных отклонений за пределы допуска. Если середина поля рассеяния совпадает с серединой поля допуска, то при допуске, равном среднеквадратичному отклонению , процент риска равен 32% (68% годных), если допуск равен 2 – процент риска – 5%, при равенстве допуска 3 – 0,3%, а при Т = 4 риск всего 0,0007%. Коэффициент риска зависит от процента риска Р и принимаемый по табл. 41.

Таблица 41

Значение коэффициента риска в зависимости от процента Р%

Р %	5	4,5	3,6	3	2,8	2,1	2	1,6	1,2	1
t	1,96	2,0	2,1	2,17	2,2	2,3	2,32	2,4	2,5	2,57
Р %	0,9	0,69	0,59	0,5	0,37	0,27	0,19	0,14	0,1	0,07
t	2,6	2,7	2,8	2,81	2,9	3	3,1	3,2	3,3	3,4

Тогда:

(102)

Введя коэффициент относительного рассеяния λ в формулу (102); для закона нормального распределения: λ=,, имеем:

(103)

Формула (103) устанавливает связь между допуском на замыкающий размер и допуском на составляющие звенья.

_j – характеризует закон распределения размеров в зависимости от условий и метода обработки детали, размер которой входит в размерную цепь.

Наиболее часто встречается распределение по нормальному закону, обусловленное действием большого количества случайных факторов. По закону равной вероятности размеры распределяются в том случае, если при обработке размера детали, являющегося звеном размерной цепи, преобладает только один фактор, обуславливающий рассеяние размеров, при нем . По закону треугольника размеры распределяются в том случае, если рассеяние их обусловлено действием только двух факторов, тогда

Решение прямой задачи с учетом теории вероятности аналогично ее решению на максимум–минимум, только за исходную зависимость принимается формула (103), куда подставляется известная формула:

При способе одного квалитета средний квалитет допусков составляющих звеньев получается исходя из условия, что а₁ = а₂ =…= а_m-1 = а_ср. Окончательно имеем:

(104)

Пример

Для возможности сравнения с расчетом по методу полной взаимозаменяемости рассмотрим ту же размерную цепь (рис. 109).

Принимаем, что рассеяние размеров звеньев близко к нормальному закону, т.е. . ПримемР = 0,5%. Из табл. 17 при Р = = 0,5% находим коэффициент t_ = 2,81.

1. Определение средней точности размерной цепи.

Определим по формуле (104) среднее число единиц допуска, подставив вместо допуска ТА_, допуск ТА_ = 260 мкм (94), с учетом допусков стандартных звеньев – подшипников.

(105)

Находим а_=100 единиц допуска и квалитет IТ_=11, а_м=64 и IТ_м=10.

Таким образом, при решении размерной цепи вероятностным методом допуски деталей нужно назначать по 10 и 11 квалитетам, что снизит стоимость их изготовления по сравнению с меньшими допусками, назначенными по 8 и 9 квалитетам при расчете методом полной взаимозаменяемости.

Процент же риска выхода замыкающего звена за пределы допуска составит всего лишь.

Примем, что в данных условиях такая точность целесообразна. Если же требуемая по расчету точность составляющих размеров не отвечает экономически рентабельным процессам обработки, то следует либо изменить конструкцию с целью уменьшения числа составляющих звеньев, либо принять большой процент риска Р, либо применить иные методы достижения точности замыкающего звена: метод групповой взаимозаменяемости, метод регулирования, метод прогонки.

2. Определение допусков нестандартных составляющих звеньев цепи.

Назначим допуски всех нестандартных звеньев цепи по 11 квалитету:

ТА₂ = 90 мкм; ТА₃ = 160 мкм; ТА₄ = 130 мкм;

ТА₆ = 90 мкм; ТА₇ = 75 мкм; ТА₈ = 220 мкм; ТА₉ = 90 мкм.

Проверим правильность назначения допусков нестандартных составляющих звеньев с учетом того, что размеры звеньев распределяются по нормальному закону :

мкм.

Мы получим после первой попытки (325 > 260), что недопустимо.

Попробуем во второй попытке назначить размеры наиболее трудоемких звеньев А₈ и А₃ по 10 квалитету, тогда

мкм.

В данном случае мы получили (260 = 260), т.е. мы полностью использовали запас точности.

Если запас точности недоиспользован, то можно по формуле (134) определить расчетное значение коэффициента t и соответствующее ему значение процента риска Р_р по табл. 41. Затем нужно проанализировать возможность назначения допусков других звеньев при максимальном приближении к равенству неравенства

Р_р  Р_з , (106)

где Р_з – заданное значение процента риска.

3. Определение отклонений на нестандартные составляющие размеры.

Отклонения составляющих размеров назначаем по аналогии с методом полной взаимозаменяемости и заносим в табл. 42.

Таблица 42

Результаты расчета размерной цепи вероятностным методом

Обозначение звена	Номинальный размер, мм	Единица допуска ij	Обозначение поля допуска	Квалитет	Допуск ТАj	Верхнее отклонение ЕS(Aj)	Нижнее отклонение Еi(Aj)	Середина поля допуска Еm(Aj)
					мкм
1	2	3	4	5	6	7	8	9
A	0,3	–	–	–	500	+ 500	0	+ 250
	19	–	–	–	120	0	– 120	– 60
	8	0,9	h	11	90	0	– 90	– 45
	32	1,56	h	10	100	0	– 100	– 50
	20	1,31	h	11	130	0	– 130	– 65
	19	–	–	–	120	0	– 120	– 60
	10	0,9		11	90	+ 45	– 45	0
	3,3	0,73	–	10	75	+ 164	+ 89	126,5
	115	2,17	h	10	140	0	– 140	– 70
	10	0,9		11	90	+ 45	– 45	0

Пользуясь формулой (89), определим предельные отклонения зависимого звена :

мкм.

Верхнее отклонение звена :

мкм.

Нижнее отклонение звена :

мкм.