econometrica1

Существует связь между t -критерием Стьюдента и F -критерием Фишера:

соответствующего значения x . Однако точечный прогноз явно нереален,

поэтому он дополняется расчетом стандартной ошибки

Рассмотрим пример. По данным проведенного опроса восьми групп семей известны данные связи расходов населения на продукты питания с уровнем доходов семьи.

Таблица 1.2

Предположим, что связь между доходами семьи и расходами на

продукты питания линейная. Для подтверждения нашего предположения

построим поле корреляции.

22

дохода семьи на 1000 руб. расходы на питание увеличиваются на 168 руб.

Как было указано выше, уравнение линейной регрессии всегда

Близость коэффициента корреляции к 1 указывает на тесную линейную связь между признаками.

Коэффициент детерминации rxy2 = 0,987 (примерно тот же результат получим, если воспользуемся формулой (1.7)) показывает, что уравнением регрессии объясняется 98,7% дисперсии результативного признака, а на долю прочих факторов приходится лишь 1,3%.

Оценим качество уравнения регрессии в целом с помощью F -

критерия Фишера. Сосчитаем фактическое значение F -критерия:

значимость уравнения в целом.

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитаем t -критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Рассчитаем случайные ошибки

24

то признаем статистическую значимость параметров регрессии и показателя тесноты связи. Рассчитаем доверительные интервалы для

качестве уравнения регрессии, т.е. свидетельствует о хорошем подборе модели к исходным данным.

И, наконец, найдем прогнозное значение результативного фактора

ɵy0 при значении признака-фактора, составляющем 110% от среднего

25

2,113 < yˆ 0 < 2,867 .

Т.е. прогноз является статистически надежным.

Теперь на одном графике изобразим исходные данные и линию

регрессии:

Рис. 1.5. Исходные данные и теоретическая прямая.

26

1.2. Нелинейные модели парной регрессии и корреляции

Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций.

Различают два класса нелинейных регрессий:

1. Регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам,

например

2.Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам,

Регрессии нелинейные по включенным переменным приводятся к

линейному виду простой заменой переменных, а дальнейшая оценка параметров производится с помощью метода наименьших квадратов.

Рассмотрим некоторые функции.

параметров которого при помощи МНК, как будет показано в параграфе

2.2 приводит к системе следующих нормальных уравнений:

27

А после обратной замены переменных получим

Парабола второй степени обычно применяется в случаях, когда для определенного интервала значений фактора меняется характер связи рассматриваемых признаков: прямая связь меняется на обратную или обратная на прямую.

Равносторонняя гипербола ɵy x = a + b x может быть использована для характеристики связи удельных расходов сырья, материалов, топлива от объема выпускаемой продукции, времени обращения товаров от величины товарооборота, процента прироста заработной платы от уровня безработицы (например, кривая А.В. Филлипса), расходов на непродовольственные товары от доходов или общей суммы расходов

(например, кривые Э. Энгеля) и в других случаях. Гипербола приводится к линейному уравнению простой заменой: z = 1 x . Система линейных

уравнений при применении МНК будет выглядеть следующим образом:

28

Несколько иначе обстоит дело с регрессиями нелинейными по оцениваемым параметрам, которые делятся на два типа: нелинейные модели внутренне линейные (приводятся к линейному виду с помощью соответствующих преобразований, например, логарифмированием) и

нелинейные модели внутренне нелинейные (к линейному виду не

приводятся).

К внутренне линейным моделям относятся, например, степенная

логарифмированием:

ln y = ln (a × xb ×ε );

ln y = ln a + b × ln x + ln ε ;

Y = A + b × X + E,

где Y = ln y, X = ln x, A = ln a, E = ln ε . Т.е. МНК мы применяем для преобразованных данных:

а затем потенцированием находим искомое уравнение.

Широкое использование степенной функции связано с тем, что параметр b в ней имеет четкое экономическое истолкование – он является коэффициентом эластичности. (Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов измениться в среднем результат, если

29

фактор изменится на 1%.) Формула для расчета коэффициента эластичности имеет вид:

Так как для остальных функций коэффициент эластичности не является постоянной величиной, а зависит от соответствующего значения фактора x , то обычно рассчитывается средний коэффициент эластичности:

Приведем формулы для расчета средних коэффициентов эластичности для наиболее часто используемых типов уравнений регрессии:

30