Задание по лекции: изучить и законспектировать, ответить на базовые вопросы письменно. Задача для решения по своим данным №5.

Лекция 3

Динамика поступательного движения твердого тела

Учебные вопросы:

1.Дифференциальные уравнения механической системы.

2.Теорема о движении центра масс механической системы.

3.Теорема об изменении количества движения механической системы.

1. Дифференциальные уравнения механической

системы.

Механической системой или системой материальных точек называют совокупность взаимодействующих между собой мате­риальных точек

Примеры механических систем:

Cвободная механическая система.

Несвободная механическая система.

Классификацию сил, действующих на несвободную меха­ническую систему, можно представить в виде следующей схемы;

Внешние силы — силы, действующие на точки данной механической системы со стороны других систем.

Внутренние — силы взаимодействия между точками одной механической системы.

На произвольную точку (k = 1,…, п) системы действуют: — равнодействую­щая внешних сил (индекс е — первая буква французского сло­ва exterieur — (внешней)); — равнодействующая внутренних сил (индекс i — от слова interieur — (внутренний)). Одна и та же сила реакция связи в зави­симости от условии задачи может быть как внешней, так и внут­ренней.

Свойства внутренних сил.

и — взаимодействующие точки механической системы. На основании 3-го закона динамики

.

С другой стороны

.

Главный вектор и главный момент внутренних сил механической системы равны нулю:

.

Дифференциальные уравнения движения

механической системы

Основное уравнение динамики для произвольной k-й точки механической системы

.

В проекциях на оси декартовых координат имеем

.

2.Теорема о движении центра масс механической

системы

Центр масс механической системы. Движение механической системы зависит не только от дей­ствующих на нее сил и ее массы, но и от того, как распределе­на масса системы, т. е. от геометрии масс.

Для характеристики распреде­ления масс служат центр масс системы, осевые и центробежные моменты инерции твердых тел. На механическую систему, находящуюся в поле тяготения, действуют силы тяжести всех материальных то­чек. Радиус-вектор центра С этих параллельных сил (центра тяжести системы)

.

Сократим на g, получим формулу для ра­диуса-вектора центра масс

.

Центр масс системы — это геометрическая точка, радиус-вектор которой определяется по формуле, а ее координаты по формулам

.

где — масса каждой k- й точки (или тела); — координаты k –й точки или центра тяжести k - го тела, входящих в механическую систему; — масса всей системы.

Теорема о движении центра масс системы.

Центр масс механической системы движется как любая материальная точка, масса которой равна массе всей меха­нической системы и к которой приложена сила, равная главному вектору внешних сил.

Доказательство. Основное уравнение динамики для k - й материальной точки

.

Для всей механической системы

,

где — по свойству внутренних сил,

— главный вектор всех внешних сил, приложенных к системе,

.

Уравнение может быть записано в скалярной форме в проекциях на оси декартовых координат или на естественные оси. В декартовых осях имеет вид

.

Следствия из теоремы:

1. Если главный вектор внешних сил, действующих на систему, равен нулю, то центр масс механической системы дви­жется 1.равномерно и прямолинейно или 2.покоится.

2. Если проекция главного вектора внешних сил, действующих на систему, на какую-либо ось равна нулю, то проекция центра масс на эту ось либо 1.покоится, 2.либо движется равномерно, т,е., если , то .

3. Если в начальный момент система покоилась, то — проекция центра масс покоится. При центр масс будет двигаться вдоль оси х с постоянной скоростью.

Эти следствия выражают закон сохранения движения цен­тра масс механической системы. При справедливо равенство

.

где — приращение координаты центра масс k~го тела при изменении положения тел в механической системе, равное проекции абсолютного перемещения этой точки на ось х

Задача 1. К концу троса, навитого на барабан, подвешен груз массы = 20 кг. Барабан массы =10 кг может вра­щаться вокруг горизонталь­ной оси. Определить реак­цию оси, если груз начнет двигаться с постоянным уско­рением = 2 м/с².

Решение. Покажем внеш­ние силы — вес барабана , вес груза реакцию оси О. Запишем теорему о движении центра масс механической системы:

.

Выберем начало оси х в точке О и направим ее вниз. Спро­ецируем векторное равенство на эту ось:

.

Отсюда

.

Запишем координату центра масс:

, т. к. , а .

Продифференцируем дважды, определим ускорение центра масс:

.

Тогда

Задача 2. Призма А массы = 2 кг покоится на гладкой горизон­тальной плоскости. По наклонной плоскости призмы из со­стояния покоя начинает перемещаться груз В массы = 1 кг. Пренебрегая размерами груза, определить перемещение приз­мы, когда он переместится на расстояние l = 30 см; = 30°).

Решение. Внешние силы, действующие на систему: вес призмы, вес груза и нормальная реакция плоскости (рис. 53, б).

Теорема о движении центра масс

.

Так как (все силы перпендикулярны оси х), то

,

где .

=

Призма переместится влево на 8,7 см.

Движение автомобиля по горизонтальному пути.

Внешними силами, вызывающими движение автомобиля по горизонтальному пути, являются силы сцепления, приложенные к ведущим колесам в точках соприкосновения их с поверхностью дороги. Эти силы направлены в сторону движения авто­мобиля.

К ведущему колесу со стороны двигателя приложен вращающий момент М_вр, стремящийся вращать колесо вокруг его оси. Такому вращению препятствует действующая со стороны дороги сила сцепления . Эта сила заставляет колесо катиться, а автомобиль двигаться в ту сторону, куда направлена эта сила. Вращающий момент, действующий на колесо со стороны двига­теля, относится к внутренним силам и не может вызвать движение центра тяжести автомобиля. Этот момент только вызывает появление внешних сил - сил сцепления.

К ведомому колесу, не связанному с двигателем, приложена сила давления на ось , параллельная дороге (рис. 103, б). В точке касания с поверхностью к колесу приложена сила сцепления , препятствующая скольжению колеса под действием силы . При торможении модуль силы сцепления , направленной противоположно движению, возрастает и под действием этой силы автомобиль получает замедление. Силы взаимодействия между тормозными колодками и колесами являются внутренними и не могут произвести торможение автомобиля, но эти силы вызывают увеличение модуля внешней силы . Если колеса начинают скользить, то сила сцепления превращается в силу трения скольжения. При равномерном движении автомобиля все действующие на него внешние силы уравновешиваются.

Откат орудия при выстреле. Внутренние силы взрыва, дей­ствующие в стволе орудия, при выстреле не могут привести в движе­ние центр масс системы орудие - снаряд. Если снаряд вылетает в гори­зонтальном направлении, то свободно стоящее орудие откатывается в противоположную сторону, так как при отсутствии горизонтальных внешних сил центр масс системы орудие — снаряд не может переме­щаться по горизонтали. В действительности имеется горизонтальная внешняя сила, реакция шероховатой поверхности, на которой находится орудие, но величина ее недостаточна, чтобы устранить это явление.