§ 152. Мощность, выделяемая в цепи переменного тока

Мгновенное значение мощности переменного тока равно произведению мгновенных значений напряжения и силы тока:

где U(t)=U_mcost, I(t)=I_mcos(t – ) (см. выражения (149.1) и (149.11)). Раскрывcos(t – ),получим

Практический интерес представляет не мгновенное значение мощности, а ее среднее значение за период колебания. Учитывая, что cos²  t=¹/₂, sin  t cos  t =0, получим

(152.1)

Из векторной диаграммы (см. рис. 216) следует, что U_m сos  = RI_m.Поэтому

Такую же мощность развивает постоянный ток .

Величины

называются соответственно действующими(илиэффективными) значениями тока и напряжения. Все амперметры и вольтметры градуируются по действующим значениям тока и напряжения.

Учитывая действующие значения тока и напряжения, выражение средней мощности (152.1) можно запасать в виде

(152.2)

где множитель соs называется коэффициентом мощности.

Формула (152.2) показывает, что мощность, выделяемая в цепи переменного тока, в общем случае зависит не только от силы тока и напряжения, но и от сдвига фаз между ними. Если в цепи реактивное сопротивление отсутствует, то cos=1 и P=IU.Если цепь содержит только реактивное сопротивление (R=0), то cos=0и средняя мощ­ность равна нулю,какими бы большими ни были ток и напряжение. Если cos имеет значения, существенно меньшие единицы, то для передачи заданной мощности при данном напряжении генератора нужно увеличивать силу токаI,что приведет либо к выделению джоулевой теплоты, либо потребует увеличения сечения проводов, что повышает стоимость линий электропередачи. Поэтому на практике всегда стремятся увеличить соs, наименьшее допустимое значение которого для промышленных уста­новок составляет примерно 0,85.

Задачи

18.1.Материальная точка, совершающая гармонические колебания с частотой =2 Гц, в мо­мент времениt=0 проходит положение, определяемое координатойх₀—6см, со скоро­стьюv₀=14 см/с. Определить амплитуду колебания. [6,1 см]

18.2.Полная энергия гармонически колеблющейся точки равна 30 мкДж, а максимальная сила, действующая на точку, равна 1,5 мН. Написать уравнение движения этой точки, если период колебаний равен 2 с, а начальная фаза/3. [x=0,04cos(t+/3)]

18.1.При подвешивании грузов массами m₁ = 500г иm₂ = 400 г к свободным пружинам пос­ледние удлинились одинаково (l =15 см). Пренебрегая массой пружин, определить: 1) периоды колебаний грузов; 2) который из грузов при одинаковых амплитудах обладает большей энергией и во сколько раз.[1) 0,78 с; 2) 1,25]

18.4.Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень длиной 25 см. Определить, на каком расстоянии от центра масс должна быть точка подвеса, чтобы частота колебаний была максимальной. [7,2 см]

18.5.Два математических маятника, длины которых отличаются наl = 16 см, совершают за одно и то же время: один n₁=10 колебаний, другой n₂=6 колебаний. Определить длины маятниковl₁иl₂. [l₁=9 см,l₂=25 см]

18.6.Колебательный контур содержит катушку с общим числом витков, равным 50, индук­тивностью 5 мкГн и конденсатор емкостью 2 нФ. Максимальное напряжение на обклад­ках конденсатора составляет 150 В. Определить максимальный магнитный поток, прони­зывающий катушку. [0,3 мкВб]

18.7.Разность фаз двух одинаково направленных гармонических колебаний одинакового пе­риода, равного 8 с, и одинаковой амплитуды 2 см составляет/4. Написать уравнение движения, получающегося в результате сложения этих колебаний, если начальная фаза одного из них равна нулю.[х=0,037 соs(t/4+/8)]

18.8.Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых уравнениямих=cost и y=cost/2.Определить уравнение траектории точки и вычертить ее с нанесением масштаба. [2y²–х=1]

18.9.За время, за которое система совершает 100 полных колебаний, амплитуда уменьшается в три раза. Определить добротность системы. [286]

18.10.Колебательный контур содержит катушку индуктивностью 25 мГн, конденсатор емкостью 10 мкФ и резистор сопротивлением 1 Ом. Заряд на обкладках конденсатораQ_m=1 мКл. Определить: 1) период колебаний контура; 2) логарифмический декремент затухания колебаний; 3) уравнение зависимости изменения напряжения на обкладках конденсато­ра от времени. [1) 3,14 мс; 2) 0,06; 3) U=100e^–20tcos636t]

18.11.Последовательно соединенные резистор с сопротивлением 110 Ом и конденсатор под­ключены к внешнему переменному напряжению с амплитудным значением 110 В. Оказа­лось, что амплитудное значение установившегося тока в цепи 0,5 А. Определить разность фаз между током и внешним напряжением. [60°]

18.12. В цепь переменного тока частотой 50 Гц включена катушка длиной 50 см и площадью поперечного сечения 10 см², содержащая 3000 витков. Определить активное сопротивле­ние катушки, если сдвиг фаз между напряжением и током составляет 60°. [4,1 Ом]

18.13.Генератор, частота которого составляет 32 кГц и амплитудное значение напряжения равно 120 В, включен в резонирующую цепь, емкость которой 1 нФ. Определить амп­литудное значение напряжения на конденсаторе, если активное сопротивление цепи 5 Ом. [119 кВ]

18.14.Колебательный контур содержит катушку индуктивностью 5 мГн и конденсатор емкостью 2 мкФ. Для поддержания в колебательном контуре незатухающих гармонических колеба­ний с амплитудным значением напряжения на конденсаторе 1 В необходимо подводить среднюю мощность 0,1 мВт. Считая затухание колебаний в контуре достаточно малым, определить добротность данного контура. [100]