Kr3_4

электрода 100 см2, расстояние между ними 4 см. Сколько пар ионов находится в условиях равновесия в1 см3 газа, если ток далек от насыщения? Подвижность положительных и отрицательных ионов принимается одинаковой и равной 10-4 м2/В·с.

3.7 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ И ПАРАЛЕЛЬНОЕ

СОЕДИНЕНИЕ РЕЗИСТОРОВ.

Постоянным примером практического использования последовательного или параллельного соединения проводников служат использование таких соединений для расширения пределов измерения вольтметров и амперметров.

Амперметр можно представить состоящим из чувствительного к току прибора (гальванометра) и параллельного присоединения к нему проводника, называемого шунтом (рис.4 А)

Рис.4. Схема распределения токов и напряжения по элементам амперметра (А) и вольтметра (В)

Подбирая сопротивления шунта, можно изготовить амперметр, пригодный для измерения требуемых величин тока и обладающий малым сопротивлением. Последнее обстоятельство является благоприятным для того, чтобы включение амперметра, выполняемого всегда последовательно к контролируемому участку цепи, не приводило к заметному снижению силы измеряемого тока.

Возьмем сопротивления шунта Rш в n раз меньшее сопротивления гальванометра Rг, т.е. Rг/Rш = n. Поскольку напряжение на шунте и гальванометре одно и то же, т.е.

Iг·Rг =Iш·Rш, то Iш = n·Iг.

Учитывая далее, что сила тока в неразветвленной цепи равна сумме токов через гальванометр и через шунт I = Iш + Iг, получим

I = (n + 1)Iг.

Таким образом, сила тока в неразветвленной цепи в n + 1 раз больше силы тока Iг, регистрируемой гальванометром. Точно также следует поступить при необходимости расширения приделов измерения тех или иных амперметров.

31

Вольтметр представляет собой чувствительный к току гальванометр, к которому последовательно присоединен добавочный резистор(рис.4В). Сопротивление добавочного резистора Rд в n раз больше сопротивления гальванометра

Rд = n·Rг,

поэтому

Uд = n·Uг.

Поскольку измеряемое вольтметром напряжение равняется сумме напряжений на добавочном резисторе и гальванометре U = Uд + Uг, то получим, что

U = (n + 1)·Uг.

Аналогичным образам можно осуществить дальнейшее расширение пределов измерения имеющегося вольтметра. В результате получим, что вольтметром с дополнительным резистором можно будет измерить напряжение в n + 1 раз больше, чем тем же вольтметром без дополнительного резистора.

Условие типичной задачи

Гальванометр имеет сопротивление 200 Ом, и при силе тока100 мкA стрелка отклонения на всю шкалу. Какай добавочный резистор надо подключить, чтобы прибор можно было использовать как вольтметр для измерения напряжения до 2 В? Какой шунт надо подключить к этому гальванометру, чтобы его можно было использовать как миллиамперметр для изменения силы тока до 10 мА?

Анализ и решение задачи

Рассмотрим в начале вторую часть задачи, относящуюся к построению амперметра. Выпишем для этого задания величины и приведем схему шунтирования гальванометра (по вышеприведенному рис.4 А)

32

При заданных численных значениях получим

2 ×102

Rш = 10-2 /10-4 - 1 » 2 Ом .

Записав очевидное соотношение для последовательного соединения

При заданных значениях известных величин получим:

УСЛОВИЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАЧ

3.70. Амперметр, сопротивление которого 0,16 Ом, зашунтирован (замкнут) сопротивлением Rш = 0,04 Ом. Амперметр показывает ток I = 8 А. Чему равна сила тока в магистрали?

3.71.Имеется предназначенный для измерения токов до10 А амперметр сопротивлением RА = 0,18 Ом, шкала которого разделена на100 делений. Какое сопротивление надо взять в качестве шунта(параллельно присоединенного проводника) для того, чтобы этим амперметром можно было измерить силу тока до 100 А?

3.72.Имеется предназначенный для измерения напряжения до30 В вольтметр сопротивлением Rв = 2000 Ом, шкала которого разделена на150 делений. Какое сопротивление надо взять и как его включить, чтобы этим вольтметром можно было измерить напряжение до 75 В?

3.73.Имеется 120-вольтовая лампочка мощностью 40 Вт. Какое добавочное сопротивление надо включить последовательно с лампочкой, чтобы она давала нормальный накал при нагреве в сети 220 В?

3.74.Зашунтированный (замкнутый) проводником амперметр измеряет токи силой до 10 А. Какую наибольшую силу тока может измерить этот ам-

33

перметр без шунта, если сопротивление амперметра RА = 0,004 Ом и сопротивление шунта Rш = 0,005 Ом?

3.75.Миллиамперметр со шкалой, рассчитанной на 20 мА, необходимо использовать, как амперметр для измерения силы тока до5 А. Рассчитайте сопротивление шунта (параллельно присоединенного к миллиамперметру проводника), если внутреннее сопротивление миллиамперметра 8 Ом.

3.76.Если к амперметру, рассчитанному на максимальную силу токаI =2 А, присоединить шунт сопротивлением Rш = 0,5 Ом, то цена деления шкалы амперметра возрастает в 10 раз. Определить, какое добавочное сопротивление необходимо присоединить к тому же амперметру, чтобы его можно было использовать как вольтметр, измеряющий напряжение до U = 220 B.

3.77.Имеется прибор, рассчитанный на измерение силы тока до1 мА. Внутреннее сопротивление прибора r = 100 Ом. Как из этого прибора сделать вольтметр для измерения напряжения до 100 В.

3.78.К гальванометру, сопротивление которого Rг = 290 Ом, присоединили шунт (параллельно подключенный проводник), позволяющий в 10 раз увеличить допускаемую величину измеряемого тока. Какое сопротивление Rд надо включить последовательно с шунтированным гальванометром, чтобы общее сопротивление осталось неизменным?

3.79.Найти сопротивление шунта (параллельно присоединяемого про-

водника) к гальванометру с внутренним сопротивлениемr1 = 100 Ом, вся шкала которого рассчитана на силу тока I = 2·10-5 А, чтобы его можно было в

качестве измерителя присоединить к термопаре с ЭДСε = 0,02 В и внутренним сопротивлением r = 1 Ом.

3.8 ЗАКОН ОМА И ДЖОУЛЯ - ЛЕНЦА

Любая электрическая цепь состоит из двух последовательных участков: внешнего, состоящего из потребителей и соединяющих их проводников, внутреннего, представляющего собой источник тока. Обозначая сопротивление внешнего участка (или внешнее сопротивление) через R, а сопротивление источника тока (или внутреннее сопротивление) через r, следует записать общее сопротивление цепи Rобщ

Rобщ = R + r.

При прохождении тока по цепи сумма падения напряжения на внешний участок будет равна электродвижущей силе источника тока по закону Ома

(3.18в)

Робщ = Рвнешн + Рвнутр,

где мощность, выделяющаяся во внешнем и во внутреннем участках цепи, может быть выражена, согласно закону Джоуля - Ленца (3.24) формулами

Pвнеш = I2R; Рвнутр = I2r; Робщ = Iε .

34

Под общей мощностью в цепи Робщ (или Р0) понимается мощность развиваемая источником тока. Мощность, выделяющуюся во внешнем участке цепи (в нагрузке) Рвнеш (или Рп) называют полезной, а мощность, выделяющуюся внутри источника тока, считают потерей мощности.

Мощность, развиваемая источникам тока, как и ее распределение по участку цепи, зависит от сопротивления нагрузки. В этом легко убедиться, если в приведенной формуле мощности подставить выражение для тока по закону Ома:

Практический интерес представляет определение того соотношения между R и r, при котором полезная мощность, отбираемая от данного источника тока, будет наибольшей. Для выполнения этого вопроса продифференцируем формулу для полезной мощности по сопротивлению нагрузки и приравниваем произведение нулю:

Отсюда видно, что полезная нагрузка Pп будет максимальной приR = r, т.е. при равенстве сопротивления нагрузки сопротивлению источника тока.

Коэффициент полезного действия источника тока, равный отношению полезной мощности ко всей мощности, развиваемой в цепи

будет в этом случае(т.е. при максимуме полезной мощности) равен 0,5. Из формулы КПД следует, что его значение будет тем больше, чем больше сопротивление нагрузки R по сравнению с сопротивлением источникаr. Поэтому сопротивление источника стремятся делать как можно меньше.

Условия типичной задачи

При подключении к источнику тока потребителя сопротивлением 0,5 Ом полезная мощность равна 12,5 Вт, а при сопротивлении потребителя0,2 Ом выделяется полезная мощность20 Вт. Какую наибольшую полезную мощность можно получить от данного источника тока, и какую максимальную силу тока можно получить в цепи с данным источником тока?

35

Во-вторых, применив к обоим случаям закон Ома для полной цепи

получим два уравнения, решая которые совместно, найдем

Учитывая, что полезная мощность достигает своего максимального значения в том случае, когда сопротивление нагрузки равна сопротивлению ис-

Интересно добавить, что при максимальном значении тока в цепи полезная мощность будет равна нулю, так как R = 0, т.е. Pn = Imax ×0 = 0 .

В данной цепи найденное наибольшее значение полезной мощности будет выделяться при силе тока

УСЛОВИЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАЧ

3.80.ЭДС батареи 80 В, внутреннее сопротивление 5 Ом. Внешняя цепь потребляет мощность 100 Вт. Определить силу тока в цепи, напряжение, под которым находится внешняя цепь и ее сопротивление.

3.81.ЭДС батареи 24 В. Наибольшая сила тока, которую может дать батарея, 10 А. Определить максимальную мощность, которая может выделиться во внешней цепи.

3.82.При внешнем сопротивлении 8 Ом сила тока в цепи 0,8 А, при сопротивлении 15 Ом сила тока 0,5 А. Определить силу тока короткого замыкания источника ЭДС.

3.83.Элемент, ЭДС которого 6 В, дает максимальную силу тока3 А. Найти наибольшую мощность, которую мощно получить от данного источника тока.

36

3.84.Найти внутреннее сопротивление генератора, если известно, что мощность, выделяемая во внешней цепи, одинакова при двух значениях внешнего сопротивления 5 Ом и 0,2 Ом. Найти КПД генератора в каждом из этих случаев.

3.85.Элемент замыкают сначала на внешнее сопротивление2 Ом, а затем на внешнее сопротивление 0,5 Ом. Найти ЭДС элемента и его внутреннее сопротивление, если известно, что в каждом из этих случаев мощность, выделяемая во внешней цепи, одинакова и равна 2,54 Вт.

3.86.Элемент, ЭДС которого ε и внутреннее сопротивление r, замкнут

на внешнее сопротивление R. Наибольшая мощность во внешней цепи равна 9 Вт. Сила тока, текущего при этих условиях по цепи, равна 3 А. Найти зна-

чения ε и r.

3.87.ЭДС батареи 12 В. При силе тока 4 А КПД батареи 0,6. Определить внутреннее сопротивление r батареи.

3.88.Элемент с ЭДС 2 В и внутренним сопротивлением 0,5 Ом замкнут на внешнем сопротивление R. Построить графики зависимости от сопротивления R силы тока I в цепи и напряженияU на внешнем участке цепи. Сопротивление R взять в пределах 0≤R≤4 Ом через каждые 0,5 Ом.

389.Элемент с ЭДС 2 В и внутренним сопротивлением 0,5 Ом замкнут на внешнее сопротивлении R. Построить графики зависимости от сопротивления мощности, выделяемой во внешнем участке цепиPn и полной мощности P0. Сопротивление взять в пределах 0≤R≤4 Ом через каждые 0,5 Ом.

3.9 ЗАКОНЫ КИРГОФА

Основой для расчета электрической цепи служит закон Ома в его обобщенной форме, учитывающей наличие ЭДС на участки цепи (3.18 б):

где φ1 - φ2 - разность потенциалов на концах участка; ε - ЭДС, содержащаяся на данном участке; R – сопротивление рассматриваемого участка, включая сопротивления содержащегося на участке источника тока.

Однако непосредственное использование формулы(1) для расчета разветвленных цепей представляется сложным. В связи с этим разработано несколько методов, базирующихся на законе Ома, и позволяющих значительно упростить процедуру расчета цепей. Примером этому служит расчет цепей по правилам (или законам) Кирхгофа.

Первый из двух законов Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма токов, исходящая в узле, равна нолю.

k=1

37

Под узлом понимают такую точку в разветвленной цепи, в которой сходятся не менее трех проводников. Положительными принято считать токи, подходящие к узлу, а отрицательными - токи, исходящие из узла.

Уравнение (2) можно написать для любого узла, и поэтому число таких уравнений для данной цепи будет равно числу содержащихся в ней узлов. Однако число так называемых независимых уравнений будет на единицу меньше числа узлов.

Второй закон Кирхгофа относится к замкнутым контурам, которые можно выделить в данной цепи, и утверждает, что алгебраическая сумма произведений токов на сопротивления соответствующих участков контура равна алгебраической сумме ЭДС, встречающихся в этом контуре

где m – число отдельных участков в замкнутом контуре.

Для составления уравнения(3) необходимо условиться о направлении обхода контура (по часовой стрелке или против нее). Выбор этого направления совершенно произволен. Все токи, текущие по направлению обхода контура, считаются положительными, а ЭДС источников тока считают положительными, если они создают ток, направленный в сторону обхода контура.

При расчете конкретной цепи для нее составляется по законам Кирхгофа система, в которой число уравнений равняется числу неизвестных величин.

Рекомендуется следующий порядок проведения расчета:

1)произвольно выбрать и обозначить на схеме направления токов во всех участках цепи;

2)подсчитать число n узлов в цепи и для каждого изn - 1 узлов записать уравнение (2) по первому закону Кирхгофа;

3)выделить произвольные замкнутые контуры в цепи ,иусловившись о направлении обхода, записать для них уравнение(3) по второму закону Кирхгофа. Уравнение (3) следует писать не для всех контуров, так как часть из этих уравнений является следствием предыдущих. При составлении независимых уравнений (3) следует выбрать контуры таким образом, чтобы каждый новый контур содержал хотя бы один участок цепи, не входящих в уже рассмотренные контуры.

38

Анализ и решение задачи

Для расчета представленной электрической цепи воспользуемся правилами (законами) Кирхгофа. Решение задачи проведем в следующей последовательности.

1)Выберем произвольно направления токов в резисторах и укажем их стрелками на схеме (I1, I2, I3).

2)Проставив условно буквенные обозначения у отдельных точек цепи(А, В,

Си т.д.), замечаем, что в данной цепи имеется два узла (В и Е). Для любого из них можем записать уравнение токов по первому закону Кирхгофа; н - пример, для узла В, соблюдая выше написанное правило знаков, имеем

Записывать подобное уравнение токов для второго узла не следует, ак как оно будет следствием уравнения (4) для первого узла.

3) В заданной цепи можно выделить три контура: АВСДЕFA; ABEFA; ВСДЕВ. Легко заметить, что из трех выделенных контуров независимыми или состоятельными являются только два, а третий составляется из первых двух. Следовательно, независимых уравнений для контуров будет только два. Задаемся направлением обхода контуров по часовой стрелке, соблюдаяи правила законов, изложенные выше, записываем уравнение (3) для контуров АВЕFAA и АВСДЕFA:

Записанные уравнения (4),(5) и (6) образуют систему трех уравнений с тремя неизвестными; т.е. система имеет определенное решение. Однако решение этой системы уравнений в общем виде часто бывает чрезвычайно громоздко. Поэтому целесообразно находить промежуточные числовые значения величин. Для этого подставим числовые значения сопротивлений и ЭДС в полученные уравнения:

ìï-I1 - I2 + I3 = 0 í-10I1 +15I2 = 5

ïî-10I1 - 82I3 = -20

39

Для решения данной системы алгебраических уравнений удобно воспользоваться методом определителей(детерминантов), с этой целью перепишем уравнения в следующем виде

I1 + I2 - I3 = 0

10I1 - 15I2 + 0 = -5 10I1 + 0 + 82I3 = 20.

Искомые значения токов найдем из выражений

ные заменой соответствующих столбцов определителя столбцами, составленными из свободных членов трех вышеприведенных уравнений.

Находим определители:

откуда получаем

Знак “минус” у числового значения силы токаI1 свидетельствует о том, что при произвольном выборе направлений токов, указанных на рисунке, направление тока I1 было указано противоположно истинному.

УСЛОВИЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАЧ

Определить силы токов в резисторах электрической цепи при заданных значениях ЭДС источников тока (ε1, ε2) и сопротивлений резисторов (R1, R2, R3). Схему цепи и числовые данные выбрать по прилагаемой таблице 1 и рисунку 6.

40