Ситуационная (практическая) задача № 1

Изучается влияние стоимости основных и оборотных средств на величину валового дохода торговых предприятий. Для этого по 16 торговым предприятиям были получены данные, приведенные в таблице..

Требуется:

1. Построить корреляционное поле между валовым доходом и стоимостью оборотных средств. Выдвинуть гипотезу о тесноте и виде зависимости между этими показателями.

2. Оценить тесноту линейной связи между валовым доходом и стоимостью оборотных средств с надежностью 0,99.

3. Рассчитать коэффициенты линейного уравнения регрессии для зависимости валового дохода от стоимости оборотных средств.

4. Проверить статистическую значимость параметров уравнения регрессии с надежностью 0,95 и построить для них доверительные интервалы.

5. Рассчитать коэффициент детерминации. С помощью F -критерия Фишера оценить статистическую значимость уравнения регрессии с надежностью 0,99.

6. Дать точечный и интервальный прогноз с надежностью 0,99 величины валового дохода для предприятия с оборотом 100 млн. руб.

7. Рассчитать коэффициенты линейного уравнения множественной регрессии и пояснить экономический смысл его параметров.

8. Проанализировать статистическую значимость коэффициентов множественного уравнения с надежностью 0,99 и построить для них доверительные интервалы.

9. Найти коэффициенты парной и частной корреляции. Проанализировать их.

10. Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.

11. С помощью F -критерия Фишера оценить адекватность уравнения регрессии с надежностью 0,99.

12. Дать точечный и интервальный прогноз с надежностью 0,99 величины валового дохода для предприятия, на котором стоимость основных фондов составляет 70 млн. руб., а стоимость оборотных средств - 100 млн. руб.

13. Проверить построенное уравнение на наличие мультиколлинеарности по: критерию Стьюдента; критерию χ2. Сравнить полученные результаты.

Решение

1. Построить корреляционное поле между валовым доходом и стоимостью основных фондов. Выдвинуть гипотезу о тесноте и виде зависимости между этими показателями.

Построим поле рассеяния:

Рис. 1. Корреляционное поле между валовым доходом и стоимостью основных фондов

На основе визуального анализа построенных полей рассеяния можно выдвинуть гипотезу о линейной зависимости валового дохода от стоимости основных фондов.

Математически данная зависимость запишутся в виде:

y = α₀+ α₁x₁ +

- случайная переменная.

2. Оценить тесноту линейной связи между валовым доходом и стоимостью основных фондов с надежностью 0,99

Составим расчетную таблицу:

Табл.1

i	yi	xi1	xi12	yi xi1	yi2
1	218	108	11664	23544	47524
2	89	18	324	1602	7921
3	79	17	289	1343	6241
4	128	40	1600	5120	16384
5	90	46	2116	4140	8100
6	123	92	8464	11316	15129
7	125	106	11236	13250	15625
8	118	114	12996	13452	13924
9	252	144	20736	36288	63504
10	175	105	11025	18375	30625
11	90	88	7744	7920	8100
12	141	76	5776	10716	19881
13	175	94	8836	16450	30625
14	78	38	1444	2964	6084
15	226	103	10609	23278	51076
16	136	65	4225	8840	18496
Σ	2243	1254	119084	198598	359239
среднее	140,1875	78,375	7442,75	12412,38	22452,44

Найдем коэффициент парной корреляции для :

проверим, существенно ли отличается найденный коэффициент корреляции от нуля. Найдем:

Сравним с квантилем распределения Стьюдента

Т.к. 4,2039 >2,9768, то коэффициент корреляции существенно отличается от нуля и существует сильная линейная зависимость между y и

3. Рассчитать коэффициенты линейного уравнения регрессии для зависимости валового дохода от стоимости основных фондов.

Методом наименьших квадратов найти оценки линейных уравнений регрессии:

таким образом, получаем уравнение регрессии:

4. Проверить статистическую значимость параметров уравнения регрессии с надежностью 0,99 и построить для них доверительные интервалы.

Коэффициент детерминации: , т.е. вариация валового дохода на 55,8% объясняется вариацией стоимости основных фондов.

Фактическое значение F-статистики Фишера

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии найдем , признается статистическая значимость коэффициентов регрессии.

Найдем доверительную полосу для уравнения регрессии , построим вспомогательную таблицу: (таблица 2)

Табл.2

ỹi	ỹi -yi	(ỹi -yi )2	(xi1-x1)2	Sy	Sy	2,9768Sy	ỹн
172,657	-45,343	2055,988	877,6406	11,41914	11,41914	33,99249	138,6645
74,017	-14,983	224,4903	3645,141	17,84864	17,84864	53,13184	20,88516
72,921	-6,079	36,95424	3766,891	18,07906	18,07906	53,81775	19,10325
98,129	-29,871	892,2766	1472,641	13,07111	13,07111	38,91009	59,21891
104,705	14,705	216,237	1048,141	11,91595	11,91595	35,47141	69,23359
155,121	32,121	1031,759	185,6406	9,129288	9,129288	27,17606	127,9449
170,465	45,465	2067,066	763,1406	11,073	11,073	32,96209	137,5029
179,233	61,233	3749,48	1269,141	12,53064	12,53064	37,30121	141,9318
212,113	-39,887	1590,973	4306,641	19,06707	19,06707	56,75884	155,3542
169,369	-5,631	31,70816	708,8906	10,90516	10,90516	32,46248	136,9065
150,737	60,737	3688,983	92,64063	8,776122	8,776122	26,12476	124,6122
137,585	-3,415	11,66222	5,640625	8,432361	8,432361	25,10145	112,4835
157,313	-17,687	312,83	244,1406	9,344604	9,344604	27,81702	129,496
95,937	17,937	321,736	1630,141	13,47454	13,47454	40,11101	55,82599
167,177	-58,823	3460,145	606,3906	10,58078	10,58078	31,49687	135,6801
125,529	-10,471	109,6418	178,8906	9,104116	9,104116	27,10113	98,42787
Σ		19801,93	20801,75

, для каждого x_i1 рассчитаем

,

, где . Результаты расчетов для каждого приведены в таблице 2.

Значения определяют доверительный интервал для каждого . Линию регрессии и доверительную полосу изобразим на рисунке 2

Рис. 2. Линия регрессии и доверительная полоса