3.24. Уравнение затухающих колебаний в каноническом виде:

.

В этом уравнении , гдеr – искомый коэффициент сопротивления. 2.- полная энергия колебаний системы к началу той минуты, за которую энергия уменьшилась наp = 40%. Будем считать, что круговая частота колебаний за время существования затухающих колебаний в системе, практически не изменяется и равна:. При затухающих колебаниях амплитуда уменьшается со временем по закону:Тогда энергия при затухающих колебаниях зависит от времени по закону:

.

Где – энергия колебаний к началу минуты, за которую известен процент потери энергии колебаний.

. Ответ:

3.25. Решение: Рассмотрим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний происходящих при внешнем воздействии на колебательную систему силы, изменяющейся по закону: F_t = F₀cos(Ωt).

После того, как переходные процессы в колебательной системе закончатся, в системе будут происходить установившиеся гармонические вынужденные колебания с частотой Ω равной частоте вынуждающей силы. Закон вынужденных установившихся колебаний – смещение как функция времени:

x_t = Acos(Ωt–φ).

Тем самым предположили, что колебания отстают по фазе от вынуждающей силы.

Скорость смещения: AΩ {- sin(Ωt–φ)} = AΩcos(Ωt – φ +), опережает по фазе смещение на.

Ускорение смещения: A

{- cos(Ωt–φ)} = , опережает по фазе смещение на.

Перепишем уравнение, учитывая полученные при дифференцировании результаты:

AΩcos(Ωt – φ +) +Acos(Ωt–φ) =

= .

Левая часть полученного равенства представляет собой сумму трёх гармонических функций одной и той же частоты Ω, разных амплитуд и фаз, а правая часть гармоническую функцию . На векторной диаграмме гармонические функцииивыглядят так:

Учёт фазовых соотношений и амплитуд колебаний при построении векторной диаграммы уравнения

AΩcos(Ωt – φ +) +Acos(Ωt–φ) =

= даёт:

Откуда, используя теорему Пифагора, получим:

AΩcos(Ωt – φ +) +Acos(Ωt – φ) =

=

Ответ:

3.26. Рассмотрим амплитуду как функцию частоты вынуждающей силы Ω и обратим внимание на то, что от Ω зависит знаменатель. Следовательно, минимум выражения в знаменателе соответствует максимуму амплитуды.

Рассмотрим подкоренное выражение в знаменателе как функцию частоты вынуждающей силы и проанализируем эту функцию на условия минимума. Для чего получим выражение для производной этой функции.

Необходимое условие экстремального значения:имеет три решения первое очевидно ─

1) ;

второе и третье найдём, решая уравнение:

2) ,

3)

Условие минимума выполняется, если:

Подсчитаем:

Для, учитывая, что при колебаниях, получаем, что соответствует максимуму знаменателя формулы:Значит, приговорить о резонансе не приходится.

Решение не имеет физического смысла (частота колебаний всегда положительная величина).

Остаётся значение частоты:

Привторая производная:, еслии тогда знаменатель формулы:минимален, а сама амплитуда максимальна.

Следовательно, резонансной частотой является: , иначе:.

3.27. В задаче 3.26 была найдена резонансная частота:

Для определения амплитуды при резонансе подставим найденное значение резонансной частоты в формулу

В случае отсутствия затухания: и

3.28. Решение: Рассмотрим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний происходящих при внешнем воздействии на колебательную систему силы, изменяющейся по закону: F_t = F₀cos(Ωt).

После того, как переходные процессы в колебательной системе закончатся, в системе будут происходить установившиеся гармонические вынужденные колебания с частотой Ω равной частоте вынуждающей силы. Закон вынужденных установившихся колебаний – смещение как функция времени:

x_t = Acos(Ωt–φ).

Тем самым предположили, что колебания отстают по фазе от вынуждающей силы.

Скорость смещения: AΩ {- sin(Ωt–φ)} = AΩcos(Ωt – φ +), опережает по фазе смещение на.

Ускорение смещения: A {- cos(Ωt–φ)} =

= , опережает по фазе смещение на.

Перепишем уравнение , учитывая полученные при дифференцировании результаты:

AΩcos(Ωt – φ +) +Acos(Ωt–φ) =

= .

Левая часть полученного равенства представляет собой сумму трёх гармонических функций одной и той же частоты Ω, разных амплитуд и фаз, а правая часть гармоническую функцию. На векторной диаграмме гармонические функцииивыглядят так:

Учёт фазовых соотношений и амплитуд колебаний при построении векторной диаграммы уравнения

AΩcos(Ωt – φ +) +Acos(Ωt–φ) =

=даёт:

Откуда: . В случае отсутствия затухания

β = 0 и , следовательно, и угол φ = 0. Ответ: φ = 0.

3.29. Решение: Рассмотрим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний происходящих при внешнем воздействии на колебательную систему силы, изменяющейся по закону: F_t = F₀cos(Ωt).

После того, как переходные процессы в колебательной системе закончатся, в системе будут происходить установившиеся гармонические вынужденные колебания с частотой Ω равной частоте вынуждающей силы. Закон вынужденных установившихся колебаний – смещение как функция времени:

x_t = Acos(Ωt–φ).

Тем самым предположили, что колебания отстают по фазе от вынуждающей силы.

Скорость смещения: AΩ {- sin(Ωt–φ)} = AΩcos(Ωt – φ +), опережает по фазе смещение на.

Ускорение смещения:A {- cos(Ωt–φ)} =

, опережает по фазе смещение на.

Перепишем уравнение, учитывая полученные при дифференцировании результаты:

AΩcos(Ωt – φ +) +Acos(Ωt–φ) =

= .

Левая часть полученного равенства представляет собой сумму трёх гармонических функций одной и той же частоты Ω, разных амплитуд и фаз, а правая часть гармоническую функцию . На векторной диаграмме гармонические функцииивыглядят так:

Учёт фазовых соотношений и амплитуд колебаний при построении векторной диаграммы уравнения

AΩcos(Ωt – φ +) +Acos(Ωt–φ) =

= даёт:

Откуда:. В нашем случае коэффициент затухания β > 0 и при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частотебудет стремиться к бесконечности и, следовательно, угол φ будет приближаться к 90^о. Ответ: φ → ∞.

3.30. , ,,

, .

Ответ: