Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
DMITR / USED / DIPLOM1.DOC
Скачиваний:
5
Добавлен:
16.04.2013
Размер:
410.62 Кб
Скачать

3.7 Программа обработки информации.

Стоимость обработки экспериментов составляет весьма малую часть стоимости всего эксперимента в целом, но значительно может повысить ценность полученных результатов. Причина такого положения в том, что при разнообразии алгоритмов обработки результатов измерений необходимо выбрать оптимальный для решения конкретной задачи. Это значит, что модель в соответствии с алгоритмом должна отвечать адекватности реальным условиям при планировании эксперимента, например метрологической характеристике. Целесообразно для повышения качества обработки результатов измерений проводить метрологическую аттестацию алгоритмов. Результаты такой аттестации носят справочный и законодательный характер [2]. Структурные элементы алгоритма содержат форму представления исходных данных и результата измерения, а также процедуру вычисления. Группа алгоритмов Ао={аi} аттестуется на основе характеристик сопоставления. Оценка моделей {M1, ..., Mn} экспериментальных данных, поступающих на вход алгоритма и вычисление характеристик для типовой модели {Mi}. При этом возможны три группы характеристик алгоритмов: точность, устойчивость и сложность.

Методы обработки данных наблюдений базируются на положениях теории вероятностей и математической статистики. Для того чтобы начать обработку необходима начальная выборка, поэтому первые результаты выводятся через 20с. - 5 мин. после запуска программы. Время зависит от размера выборки и времени обновления данных задаваемых пользователем. Параметры математической обработки задаются на уровне пользователя и включают в себя: непрерывную выдача математических результатов/выдача результатов по определённой выборке, количество значений по которым производить расчёт, время обновления данных, параметры предварительной обработки и т.д.

Предварительная обработка результатов измерений или наблюдений необходима для того, чтобы в дальнейшем с наибольшей эффективностью, а главное корректно использовать для построения эмпирических зависимостей статистические методы. Вычисляются следующие выборочные характеристики: дисперсия, среднеквадратичное отклонение, мат. ожидание, центральный момент. По желанию экспериментатора можно отключить лишние оценки, или подключить необходимые.

Чтобы по измеренным электропроводности и температуре определить концентрацию раствора (измерительный режим) необходимо провести предварительную калибровку измеряемого раствора в калибровочном режиме и сохранить результаты в файле с расширением *.tbl, а в измерительном режиме загрузить этот файл. В данном случае находится соответствие между электропроводностью и концентрацией, а температура необходима для определения поправочного коэффициента.

Различные эмпирические зависимости непосредственно связаны с поиском оптимальных алгоритмов обработки результатов. Важная роль при оценке таких характеристик отводится устойчивости алгоритма, отражающей отклонение реальных исходных данных от принятой модели.

На данный момент времени существует несколько стандартных методов для построения эмпирических зависимостей. Самые простые и распространённые это метод наименьших квадратов, метод средних. Более сложные методы основываются на использовании многочленной интерполяции для результатов традиционных пассивных экспериментов:параболическое интерполирование с помощью ортогональных полиномов Чебышева, интерполяция многочленами в форме Лагранжа или Ньютона. Отдельно стоят методы обработки активных экспериментов.

Наиболее прогрессивный метод заключается в использовании интерполяции кубическими сплайнами для построения эмпирических формул.

Сплайны имеют ряд преимуществ перед другими аппаратами приближения в задачах интерполяции функции. Можно указать несколько аспектов, в которых эти преимущества проявились наиболее убедительно:

  1. Хорошая сходимость к аппроксимируемым объектам. В отличие от интерполяционных многочленов Лагранжа, последовательность кубических сплайнов на равномерной сетке узловвсегдасходится к интерполируемой непрерывной функции.

  2. Малая чувствительность к погрешности в исходных данных. Небольшое изменение значений функции в одной или нескольких соседних точках интерполяции мало сказывается на поведении интерполяционного сплайна на некотором удалении от этих точек.

  3. Простота в реализации алгоритмов на ЭВМ.

И как следствие вышесказанного повышение точности результатов.

Термин сплайн произошёл от английского словаSPLINE, что в переводе означает рейка, стержень - название приспособления которое применяли чертёжники для проведения гладких кривых через заданные точки. Сплайнами называют функции ‘склеенные’ из кусков многочленов. Точнее, функцияs(t)заданная и непрерывная на отрезке [a,b], называется полиномиальным сплайном порядкаm ( m =1,2,...) с узлами ti где i=1,2,...,n, a<t1<t2<...<tn<b,если на каждом из промежутков[a,t1], [ti,ti+1], i=1,2,...,n, [tn,b] s(t) - есть алгебраический многочлен степени не превосходящейm, а в каждой из точек ti,некоторая производнаяs(n)(t), (1£ n £ m) может иметь разрыв.

При вычислении сплайнов первостепенное значение имеет форма их представления. Существуют несколько способов представления сплайнов: кусочно-многочленная, в виде суммы усеченных степенных функций, через В-сплайны и фундаментальные сплайны. К сожалению, представление в виде суммы усеченных степенных функций, удобное в теоретических исследованиях, практически непригодно для вычислений ввиду быстрого накопления ошибок округления даже для небольшого (N=20)числа слагаемых в сумме. Использование базиса фундаментальных сплайнов требует для их построения большого объема вычислений и поэтому тоже малоупотребительно. Но остаются ещё два представления свободные от этих недостатков.

На практике в настоящее время наиболее распространенным является кусочно-многочленное представление сплайнов. В этом случае для запоминания сплайна требуется хранить N+1абсцисс узлов и коэффициенты многочленовPin(x) , i=0, ... ,N-1, количество которых равно(n+1)N, т.е. всего(n+2)N+1чисел . Вычисление значения сплайна в точке состоит в вычислении значения многочлена и при использовании, например, схемы Горнера требует выполнения2nарифметических операций.

Аппроксимация ломаными линиями не может быть очень гладкой или очень эффективной. Для получения лучшей аппроксимации нужно использовать кусочно-многочленные функции, состоящие из многочленов более высокой степени. Наиболее часто в качестве аппроксимирующих продолжают использоваться кусочно-многочленные функции, составленные из многочленов третьей степени. Существует несколько различных методов интерполяции кубическими многочленами (Бесселя, Эрмита, Акимы, кубическими сплайнами). Они отличаются друг от друга выбором угловых коэффициентов. И для каждой конкретной задачи необходимо выбрать наиболее подходящий для её решения метод. В случае интерполяции кубическими сплайнами свободные параметры определяются из условия что fдолжна быть дважды дифференцируемой, т.е. выбираются так, чтобы fбыла функцией с непрерывной кривизной.

Если даны значения g( t1 ) , . . . , g( tn ),где a= t1 < . . . <tn =b, то интерполяционный кубический многочлен fдля gстроится следующим образом. Будем считать что на каждом интервале [ti,ti+1] функцияf согласуется с некоторым многочленомPi четвертого порядка:

f (x) = Pi (x) для t i <=x <= t i+1 , i=1, . . . , n-1.

Каждый многочлен Pi должен удовлетворять условиям

P i ( t i ) = g( t i ) , P i ( t i+1 ) = g( t i+1 ) , и

P’ i ( t i ) = g( t i ) , P’ i ( t i+1 ) = g( t i+1 ) .

i=1, . . . , n-1.

Здесь s1 , . . . ,sn - свободные параметры . Полученная кусочно- кубическая функцияf согласуется сg в точкахt1 , . . . ,tn и имеет непрерывную первую производную на интервале [a,b] , независимо от того , как выбирают свободные параметры - угловые коэффициенты касательных( s i )n .

Для вычисления коэффициентов многочлена Pi используем его форму Ньютона:

P i ( x ) = P i ( t i ) + ( x - t i )[ t i , t i ] P i + ( x - t i )2[ t i , t i , t i+1] P i

+ ( x - t i )2( x - t i+1 )[ t i , t i , t i+1 , t i+1] P i .

[t i , ... ,t j ] f-разделённая разность порядка j-1функцииfв точкахt i, ... , tj

Запишем Pi с использованием угловых коэффициентов:

P i ( x ) = g ( t i ) + s i ( x - t i ) + (( [ t i , t i+1 ] g - s i ) / Dt i - ( s i +s i+1 - 2 [ t i , t i+1 ]g) / ( Dt i) 2) ( x - t i )2 +( s i +s i+1 - 2 [ t i , t i+1 ] g ) / ( Dt i) 2( x - t i )3

Различные методы интерполяции кусочно-кубическими многочленами отличаются один от другого выбором угловых коэффициентов (s i)n1 .

Интерполяция кубическими многочленами Эрмита.

В этом случае выбирают s i= g’(t i ) при всех i . Это означает , что выбор i-го многочлена зависит только от информации об интервале[ t i , t i+1 ] и ближайшей его окрестности.

Интерполяция кубическими многочленами Бесселя.

В этом случае в качестве s i выбирают угловой коэффициент касательной в t iмногочлена pтретьего порядка , который согласуется с gв точках t i-1 ,t i , t i+1 .

В результате простого вычисления получаем

s i = (Dt i [ t i-1 , t i ] g +Dt i-1 [ t i , t i+1 ] g) / ( Dt i -Dt i-1) .

Интерполяция кубическими сплайнами.

В этом случае свободные параметры s1 , . . . ,sn-1 определяются из условия что fдолжна быть дважды дифференцируемой , т.е. выбираются так, чтобы fбыла функцией с непрерывной кривизной. Отсюда следует, что дляi = 2, . . . , n-1

P’’ i-1 ( t i )= P’’ i ( t i ) ,или

s i-1 Dt i + s i2( Dt i-1 +Dt i ) +s i+1 Dt i-1 =3(Dt i [ t i , t i+1 ] g + Dt i-1 [ t i , t i+1 ] g),

i = 2 , . . . , n-1

При выбранных свободных параметрах s1 , sn получаем трехдиагональную систему n-2 линейных уравнений дляn-2неизвестныхs 2, . . . ,s n-1 . Следовательно, система уравнений имеет только одно решение.

Граничные условия.

Рассмотрим различные варианты выбора s1 , sn с точки зрения интерполяции сплайнами.

1. В крайних точках известно значение производной;

2. В граничных точках известно значение второй производной;

3. В крайних точках задано условие нулевых граничных условий свободного конца f’’( t 1 )= f’’( t n )=0;

4. В крайних точках задано условие отсутствия узла. При этом выбирают s1и sn так , что P 1= P 2 иP n-2= P n-1 (т.е. первый и последний внутренние узлы не являются активными).

Так как нам ничего не известно о производных на концах интервала то используем граничные условия 4.

Соседние файлы в папке USED