МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
им. М.В.ЛОМОНОСОВА ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И
КИБЕРНЕТИКИ
А.М. ДЕНИСОВ, А.В. РАЗГУЛИН
ОБЫКНОВЕННЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
Часть 2
МОСКВА 2009 г.
Пособие отражает содержание второй части лекционного курса "Обыкновенные дифференциальные уравнения", читаемого студентам факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова в соответствии с программой по специальности "Прикладная математика и информатика" .
c Факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова, 2009 г.
c А.М. Денисов, А.В. Разгулин, 2009 г.
Оглавление |
3 |
Оглавление
1 Зависимость решения задачи Коши от исходных данных |
|
и параметров |
6 |
1.1Непрерывная зависимость решения задачи Коши от ис-
ходных данных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1Непрерывная зависимость от исходных данных . . 6
1.1.2 Теорема сравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
8 |
1.2Зависимость решения задачи Коши от параметра . . . . . 10
1.2.1Непрерывная зависимость решения задачи Коши
от параметра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2Дифференцируемость решения задачи Коши
по параметру . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.3 Метод малого параметра . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Теория устойчивости |
18 |
|
2.1 Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
18 |
|
2.1.1 |
Основные понятия теории устойчивости . . . . . . . |
19 |
2.1.2 |
Редукция к задаче устойчивости нулевого решения |
21 |
2.2Устойчивость нулевого решения линейной системы с по-
стоянными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.1 Вспомогательные утверждения . . . . . . . . . . . . 23
2.2.2Теорема об асимптотической устойчивости нулево-
го решения линейной системы с постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.3Теорема об устойчивости нулевого решения линейной системы с постоянными коэффициентами . . . 26
2.2.4Теорема о неустойчивости нулевого решения линейной системы с постоянными коэффициентами . 28
4 |
Оглавление |
2.3Исследование на устойчивость по первому приближению
(первый метод Ляпунова) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
29 |
2.4Исследование на устойчивость с помощью функций Ля-
пунова (второй метод Ляпунова) . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.4.1 Положительно определенные функции . . . . . . . . 34 2.4.2 Функция Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.4.3 Теорема об устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4.4Теорема об асимптотической устойчивости . . . . . 39
2.4.5 Теорема Четаева о неустойчивости . . . . . . . . . . 41 2.4.6 Устойчивость точек покоя . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.5 Классификация точек покоя . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.5.1 Классификация точек покоя линейной системы . . 45 2.5.2 Узел (λ1, λ2 R, λ1 6= λ2, λ1 · λ2 > 0) . . . . . . . . . 46
2.5.3 |
Дикритический узел |
|
|
|
(λ1 = λ2 6= 0, dim ker(A − λ1E) = 2) . . . . . . . . . . |
47 |
|
2.5.4 |
Вырожденный узел |
|
|
|
(λ1 = λ2 6= 0, dim ker(A − λ1E) = 1) . . . . . . . . . . |
48 |
|
2.5.5 Седло (λ1, λ2 R, λ2 < 0 < λ1) . . . . . . . . . . . . |
49 |
||
2.5.6 Фокус (λ1,2 |
= δ ± iω C, ω 6= 0, δ 6= 0) . . . . . . . . |
50 |
|
2.5.7 Центр (λ1,2 |
= ±iω C, ω 6= 0) . . . . . . . . . . . . . |
51 |
|
2.5.8Случай вырожденной матрицы A (det A = 0) . . . . 52
2.5.9Классификация точек покоя нелинейной системы . 53
3 Краевые задачи для дифференциального уравнения вто- |
|
рого порядка |
55 |
3.1 Постановка краевых задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
55 |
3.1.1 Преобразование уравнения . . . . . . . . . . . . . . . |
56 |
3.1.2 Редукция к однородным краевым условиям . . . . . |
57 |
3.1.3 Тождество Лагранжа и его следствие . . . . . . . . |
58 |
3.1.4 Формула Грина и ее следствие . . . . . . . . . . . . |
59 |
3.2Функция Грина. Существование решения краевой задачи . 60
3.2.1 Функция Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
60 |
3.2.2Существование и единственность функции Грина . 61
3.2.3Нахождение решения неоднородной краевой зада-
чи с помощью функции Грина . . . . . . . . . . . . |
63 |
3.2.4О применении функции Грина в нелинейных
дифференциальных уравнениях . . . . . . . . . . . . 64 3.3 Задача Штурма-Лиувилля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.3.1 Теорема Стеклова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Оглавление |
5 |
4 Уравнения в частных производных первого порядка |
74 |
4.1 Первые интегралы нормальной системы . . . . . . . . . . . |
74 |
4.1.1 Определение первого интеграла . . . . . . . . . . . . |
74 |
4.1.2Производная первого интеграла в силу системы . . 75
4.1.3 Геометрический смысл первого интеграла . . . . . . 76 4.1.4 Независимые первые интегралы . . . . . . . . . . . . 76 4.2 Уравнения в частных производных первого порядка . . . . 78
4.2.1Классификация дифференциальных уравнений
в частных производных первого порядка . . . . . . |
78 |
4.2.2Линейные однородные дифференциальные уравне-
ния в частных производных первого порядка . . . . 80
4.2.3Квазилинейные уравнения в частных производных
первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.2.4Геометрический смысл квазилинейного уравнения
в частных производных . . . . . . . . . . . . . . . . |
84 |
4.2.5Задача Коши для квазилинейного уравнения в
|
|
частных производных . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
87 |
5 Основы вариационного исчисления |
90 |
||
5.1 |
Основные понятия вариационного исчисления . . . . . . . |
90 |
|
|
5.1.1 |
Вариация функционала . . . . . . . . . . . . . . . . |
90 |
|
5.1.2 |
Экстремум функционала . . . . . . . . . . . . . . . . |
91 |
|
5.1.3 Основная лемма вариационного исчисления . . . . . |
93 |
|
5.2 |
Уравнение Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
94 |
|
5.3Необходимые условия экстремума для некоторых функ-
ционалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
97 |
5.3.1Функционал, зависящий от производных порядка
выше первого . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
97 |
5.3.2Функционал, зависящий от функции двух перемен-
ных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
99 |
5.4 Вариационная задача на условный экстремум . . . . . . . |
104 |
5.5Вариационное свойство собственных функций и собствен-
|
ных значений задачи Штурма-Лиувилля . . . . . . |
. . . . 108 |
A Неявные функции и функциональные матрицы |
110 |
|
A.1 |
Теорема о неявных функциях . . . . . . . . . . . . . |
. . . . 110 |
A.2 |
Зависимость функций и функциональные матрицы |
. . . . 111 |
Литература |
114 |
|
6Глава 1. Зависимость решения задачи Коши от исходных данных
Глава 1
Зависимость решения задачи Коши от исходных данных и параметров
1.1.Непрерывная зависимость решения задачи Коши от исходных данных
Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной
y0(t) |
= |
f(t, y(t)), t [t0 − T, t0 + T ], |
(1.1) |
y(t0) |
= |
y0. |
(1.2) |
Пусть функция f(t, y) определена и непрерывна в прямоугольнике
Q = {(t, y) : |t − t0| 6 T, A 6 y 6 B}.
Определение 1.1.1. Решением задачи Коши (1.1), (1.2) на отрезке [t0 − T, t0 + T ] называется функция y(t) такая, что y(t) непрерывно дифференцируема на [t0 −T, t0 + T ], A 6 y(t) 6 B для t [t0 −T, t0 + T ], y(t) удовлетворяет (1.1), (1.2).
Решение задачи Коши (1.1), (1.2) зависит от функции f(t, y) и начального состояния y0, которые можно называть исходными данными задачи Коши (1.1), (1.2). Как зависит решение этой задачи от изменения исходных данных, то есть функции f(t, y) и начального состояния y0? Покажем, что небольшие изменения исходных данных приводят к небольшим изменениям решения задачи Коши. Таким образом, можно говорить о непрерывной зависимости решения задачи Коши от исходных данных.
1.1.1. Непрерывная зависимость от исходных данных
Теорема 1.1.1. Пусть функции f1(t, y) и f2(t, y) непрерывны в прямоугольнике Q и f1(t, y) удовлетворяет в Q условию Липшица по y,
1.1. Непрерывная зависимость от исходных данных |
|
7 |
||||||||||||
то есть существует константа L > 0 такая, что |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|f1(t, y) − f1(t, y)| 6 L|y − y|, (t, y), (t, y) Q. |
||||||||||
Тогда, если функции |
y |
(t) и y |
(t) на отрезке [t |
T, t |
|
+ T ] являются |
||||||||
1 |
|
e |
2 |
|
e |
0 − e |
0 |
|
||||||
решениями задач Коши |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
y10 (t) = f1(t, y1(t)), |
y20 (t) = f2(t, y2(t)), |
|||||||||
|
|
|
|
y1(t0) = y01, |
|
|
y2(t0) = y02, |
|
|
|||||
то имеет место неравенство |
|
|
|
|
|
|||||||||
t |
|
[t0 |
max |
|y1(t) − y2(t)| 6 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
− |
T,t0+T ] |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|y01 − y02 |
| + T (t,y) Q |f1(t, y) − f2(t, y)| exp{LT }. (1.3) |
||||||||||
|
|
|
|
6 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max |
|
|
|
|
Доказательство. Из леммы об эквивалентности задачи Коши интегральному уравнению следует, что функции y1(t) и y2(t) являются решениями интегральных уравнений
t |
|
|
y1(t) = y01 + tZ0 |
f1(τ, y1(τ))dτ, |
t [t0 − T, t0 + T ], |
t |
|
|
y2(t) = y02 + tZ0 |
f2(τ, y2(τ))dτ, |
t [t0 − T, t0 + T ]. |
Вычитая второе уравнение из первого и оценивая по модулю, имеем
|
|
y1 |
(t) |
|
y2(t) |
|
6 |
|
y01 |
|
|
y02 |
|
+ |
t |
f1(τ, y1(τ)) |
|
|
f2 |
(τ, y2(τ)) dτ |
. |
|||||||||||||||
|
| |
|
|
|
− |
|
|
|
| |
|
|
| |
|
|
|
− |
|
|
| |
|
Z |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычитая и прибавляя под знаком интеграла f1(τ, y2(τ)), получим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y1(t) |
|
y2(t) 6 |
|
y01 |
|
|
y02 |
|
+ |
t |
|
f1 |
(τ, y1(τ)) |
|
f1(τ, y2(τ)) dτ |
|
+ |
|
|||||||||||||||||
| |
|
|
− |
|
|
|
| |
|
|
| |
|
|
|
− |
|
|
|
| |
|
Z |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
f1(τ, y2 |
(τ)) |
|
|
f2(τ, y2(τ)) dτ |
, |
t |
|
|
[t0 |
|
T, t0 + T ]. (1.4) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8Глава 1. Зависимость решения задачи Коши от исходных данных
Учитывая то, что функция f1(t, y) удовлетворяет условию Липшица, а также оценку
|
t |
f1(τ, y2(τ)) |
|
f2(τ, y2(τ)) dτ |
6 T (t,y) |
Q |
f1(t, y) |
|
f2(t, y) , |
||||
Z |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
| |
− |
|
| |
t0 |
|
|
|
|
|
max |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
справедливую |
для всех t [t0 − T, t0 + T ], неравенство (1.4) можно |
||||||||||||
переписать так: |
|y01 |
− y02| + T (t,y) Q |f1(t, y) − f2(t, y)| + |
|
||||||||||
|y1(t) − y2(t)| 6 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
max |
|
|
|
|
|
|
+ L |
Z |
t |
y1 |
(τ) − y2 |
(τ) dτ |
|
, t [t0 − T, t0 + T ]. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
t0
Применив к функции |y1(t) − y2(t)| лемму Гронуолла-Беллмана ??, при t [t0 − T, t0 + T ] получим неравенство
|y1(t) − y2(t)| 6 |
|y01 |
− y02 |
| + T (t,y) Q |f1(t, y) − f2(t, y)| exp{L|t − t0|}, |
|
|
|
max |
из которого следует оценка (1.3). Теорема 1.1.1 доказана.
1.1.2. Теорема сравнения
Рассмотрим теперь вопрос о том, при каких условиях решение одной задачи Коши будет больше или равно решению другой задачи Коши. Теоремы такого типа часто называют теоремами сравнения.
Рассмотрим прямоугольник
Q+ = {(t, y) : t0 6 t 6 t0 + T, A 6 y 6 B}.
Далее мы используем следующее простое утверждение из математического анализа, представляющее собой формулу конечных приращений в интегральном виде.
Лемма 1.1.1. Пусть функция f(t, y) непрерывна в Q+ и имеет в Q+ непрерывную частную производную fy(t, y). Тогда для любых (t, y1), (t, y2) Q+ справедливо равенство
1 |
|
f(t, y1) − f(t, y2) = Z |
fy(t, y2 + θ(y1 − y2))dθ (y1 − y2). (1.5) |
0
1.1. Непрерывная зависимость от исходных данных |
9 |
Докажем теперь теорему о сравнении решений двух задач Коши, которую также часто называют неравенством Чаплыгина.
Теорема 1.1.2. (Теорема сравнения) Пусть функции f1(t, y), f2(t, y) непрерывны в Q+ и f1(t, y) имеет в Q+ непрерывную частную производную ∂f∂y1 (t, y). Тогда, если функции y1(t), y2(t) на отрезке [t0, t0 + T ] являются решениями задач Коши
y10 (t) = f1(t, y1(t)), |
y20 (t) = f2(t, y2(t)), |
|
y1(t0) = y01, |
y2(t0) = y02, |
|
причем |
|
|
f1(t, y) > f2(t, y), (t, y) Q+, |
y01 > y02, |
|
то справедливо неравенство |
|
|
y1(t) > y2(t), |
t [t0, t0 + T ]. |
|
Доказательство. Так как функции y1(t) и y2(t) на отрезке [t0, t0 + T ] являются решениями соответствующих уравнений, то они непрерывно дифференцируемы на отрезке [t0, t0 + T ], A 6 yi(t) 6 B, i = 1, 2, и справедливо равенство
y0 |
(t) |
− |
y0 |
(t) = f |
1 |
(t, y |
1 |
(t)) |
− |
f (t, y |
2 |
(t)), t |
|
[t |
0 |
, t |
0 |
+ T ]. |
(1.6) |
1 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Преобразуем правую часть этого равенства, используя формулу конечных приращений (1.5),
f1(t, y1(t)) − f2(t, y2(t)) =
= f1(t, y1(t)) − f1(t, y2(t)) + f1(t, y2(t)) − f2(t, y2(t)) =
1 |
|
|
|
|
|
|
|
= Z |
∂f |
t, y2 |
(t) + θ(y1(t) − y2(t)) dθ y1 |
(t) − y2 |
(t) + |
||
∂y1 |
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Введем обозначения |
+f1(t, y2(t)) − f2(t, y2(t)). |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
v(t) = y1(t) − y2(t), |
|
|
||
|
|
∂y1 |
t, y2(t) + θ(y1(t) − y2(t)) dθ, |
|
|||
|
p(t) = Z |
|
|
||||
|
|
|
|
∂f |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
h(t) = f1(t, y2(t)) − f2(t, y2(t)).