u_lectures

51

где Q - добротность колебательной системы , x0 - статическое отклонение.

ω02

Отсюда следует, что добротность Q характеризует резонансные свойства колебательной системы: чем больше Q, тем больше Арез.

Зависимость φ от ω при разных коэффициентах δ графически представлена на рис.37, из которого следует, что при изменении ω изменяется и сдвиг фаз ϕ.

Из формулы ϕ = arctg2δω вытекает,

ω02 − ω2

что при ω=0 ϕ=0, а при ω=ω0 независимо от значения коэффициента затухания ϕ = π/ 2 , т.е. вынуждающая сила опережает вынуждающие по фазе колебания на

π/ 2 .

Рис. 7.3

При дальнейшем увеличении ω сдвиг фаз возрастает и при ω>>ω0 ϕ → π, т.е. фаза колебаний почти противоположна фазе внешней силы. Семейство кривых, изображенных на рис. 7.3, называется фазовыми резонансными кривыми.

Явления резонанса могут быть как вредными, так и полезными. Например, при конструировании машин и различного рода сооружений необходимо, чтобы их собственная частота колебаний не совпадала с частотой возможных внешних воздействий, в противном случае возникнут вибрации, которые могут вызвать серьезные разрушения. С другой стороны, наличие резонанса позволяет обнаружить очень слабые колебания, если их частота совпадает с частотой собственных колебаний прибора. Так, радиотехника, прикладная акустика, электротехника используют явление резонанса.

РАЗДЕЛ 2. ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

Лекция №8 (Тема 8)

2.8.1. Давление в жидкости и газе

Молекулы газа, совершая беспорядочное, хаотическое движение, не связаны или весьма слабо связаны силами взаимодействия, поэтому они движутся свободно и в результате соударения стремятся разлететься во все стороны, заполняя весь предоставленный им объем.

Как и газ, жидкость принимает форму того сосуда, в который она заключена. Но в жидкостях в отличие от газов среднее расстояние между мо-

52

лекулами остается практически постоянным, поэтому жидкость обладает практически неизменным объемом.

Хотя свойства жидкостей и газов во многом отличаются, в ряде механических явлений их поведение определяется одинаковыми параметрами и идентичными уравнениями. Поэтому гидроаэромеханика - раздел механики, изучающий равновесие и движение жидкостей и газов, их взаимодействие между собой и обтекаемыми ими твердыми телами, - использует единый подход к изучению жидкостей и газов.

В механике с большой степенью точности жидкости и газы рассматриваются как сплошные, непрерывно распределенные в занятой ими части пространства. Плотность жидкости мало зависит от давления. Плотность же газов от давления зависит существенно. Из опыта известно, что сжимаемостью жидкости и газа во многих задачах можно пренебречь и пользоваться единым понятием несжимаемой жидкости - жидкости, плотность которой всюду одинакова и не изменяется со временем.

Если в покоящуюся жидкость поместить тонкую пластинку, то части жидкости, находящиеся по разные стороны от нее, будут действовать на каждый ее элемент S с силами F, которые, независимо от того как пластинка ориентирована, будут равны по модулю и направлены перпендикулярно площадке S, т.к. наличие касательных сил привело бы частицы жидкости в движение.

Физическая величина, определяемая нормальной силой, действующей со стороны жидкости на единицу площади, называется давлением р жидкости:

р = FS .

Единица давления – паскаль (Па): 1 Па равен давлению, создаваемому силой 1 Н, равномерно распределенной по нормальной к ней поверхности площадью 1м2 (1 Па=1 Н/м2).

Давление при равновесии жидкостей (газов) подчиняется закону Паскаля: давление в любом месте покоящейся жидкости одинаково по всем направлениям, причем давление одинаково передается по всему объему, занятому покоящейся жидкостью.

Рассмотрим, как влияет вес жидкости на распределение давления внутри покоящейся несжимаемой жидкости. При равновесии жидкости давление по горизонтали всегда одинаково, иначе не было бы равновесия. Поэтому свободная поверхность покоящейся жидкости всегда горизонтальна вдали от стенок сосуда. Если жидкость несжимаема, то ее плотность не зависит от давления. Тогда при поперечном сечении S столба жидкости, его высоте h и плотности ρ вес Р=ρgSh, а давление на нижнее основание

53

p = PS = ρgShS = ρgh , т.е. давление изменяется линейно с высотой. Давление

ρgh называется гидростатическим давлением.

Сила давления на нижние слои жидкости будет больше, чем на верхние, поэтому на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, определяемая законом Архимеда: на тело, погруженное в жидкость (газ), действует со стороны этой жидкости направленная вверх выталкивающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости (газа): FA=ρgh, где ρ- плотность жидкости, V - объем погруженного в жидкость тела.

2.8.2. Уравнение неразрывности

Движение жидкостей называется течением, а совокупность частиц движущейся жидкости – потоком. Графически движение жидкостей изображается с помощью линий тока, которые проводят так, что касательные к ним совпадают по направлению с вектором скорости жидкости в соответствующих точках пространства (рис. 38). Линии тока проводят так, чтобы густота их, характеризуемая отношением числа линий к площади перпендикулярной им площадки, через которую они проходят, была больше там, где больше скорость течения жидкости, и меньше там, где жидкость течет медленнее. Таким образом, по картине линий тока можно судить о направлении и модуле скорости в разных точках пространства, т.е. можно определить состояние движения жидкости. Линии тока в жидкости можно "проявить", например, подмешав в нее какое-либо заметные взвешенные частицы.

Часть жидкости, ограниченную линиями тока, называют трубкой тока. Течение жидкости называется установившимся (или стационарным), если форма и расположение линий тока, а также значения скоростей в каждой ее точке со временем не изменяются.

Рассмотрим какую-либо трубку тока. Выберем два ее сечения S1 и S2, перпендикулярные направлению скорости (рис. 8.2).

За время t через сечение S проходит объем жидкости Sϑ t; следовательно, за 1 с через S1 пройдет объем жидкости S1 ϑ1 , где ϑ1 - скорость тече-

ния жидкости в месте сечения S. Через сечение S2 за 1 с пройдет объем жидкости S2 ϑ2 , где ϑ2 - скорость течения жидкости в месте сечения S2. Здесь

54

предполагается, что скорость жидкости в сечении постоянна. Если жидкость несжимаема, то через сечение S1 пройдет такой же объем жидкости, как и через сечение S2) т.е.

Следовательно, произведение скорости течения несжимаемой жидкости на поперечное сечение трубки тока есть величина постоянная для данной трубки тока. Соотношение (8.1) называется уравнением неразрывности для несжимаемой жидкости.

2.8.3. Уравнения равновесия и движения жидкости

Все силы, действующие в любой сплошной среде, разделяют на силы массовые (объемные) и поверхностные. Массовая сила прямо пропорциональна массе dm ( или объему dV) элемента жидкости, на который она действует. Обозначим массовую силу через fdV, где f - называют объемной плотностью массовых сил. К массовым силам относят силы тяжести и силы инерции (в неинерциальных системах отсчета).

Вслучае силы тяжести объемная плотность массовых сил f = ρg, где ρ

-плотность жидкости; g - ускорение свободного падения.

Поверхностными называют силы, действию которых подвергается каждый объем жидкости, из-за касательных и нормальных напряжений к его поверхности со стороны окружающих частей жидкости.

Если жидкость идеальная (или реальная вязкая жидкость покоится), то в ней действуют только силы нормального давления (при любом движении идеальной жидкости).

Найдем проекцию результирующей сил давления на ось X, действующих на бесконечно малый объем dV (рис. 8.3).

Сила давления, действующая на левое основание равна произведению Р(х)dS, на правое – Р(х + dx)dS. Тогда проекция сил давления на ось Х, т.е.

[P(x) - P(x+dx)]dS

или .

Силы давления на боковую поверхность перпендикулярны к оси Х. Поэтому проекции этих сил на ось Х равны нулю.

На единицу объема жидкости действует сила fS , вызванная поверхностными силами давления, т.е.

(8.2)

56

Следовательно, при равновесии давление по всем направлениям в объеме жидкости или газа одно и то же.

Если жидкость помещена в силовое поле, например, в поле силы тяжести Земли, то f=ρg. Если ось Z направлена вертикально вверх, то основное

т.е. давление при равновесии не зависит от х и у (Р=сonst в каждой горизонтальной плоскости z=сonst - плоскости равного давления). Поэтому свободная поверхность жидкости является горизонтальной. Следовательно, при равновесии, давление зависит лишь от координаты z.

Из уравнения ∂∂Pz = −ρg следует, что при механическом равновесии

произведение ρg также является функцией только координаты z. Согласно уравнению состояния температура жидкости определяется давлением и плотностью.

Вывод: в случае механического равновесия давление, плотность и температура жидкости являются функциями координаты z и не зависят от х и у.

Если жидкость однородна по составу, то после интегрирования уравнения ∂∂Pz = −ρg , имеем

где Р0 - атмосферное давление жидкости на высоте z=0.

Формула (8.7) позволяет определить давление на дно и стенки сосуда, в том числе и на поверхность, погруженного в жидкость (газ) любого тела.

Равнодействующая сил гидростатического давления, действующая на поверхность S, равна весу жидкости G в объеме, ограниченном поверхностью S, направлена вертикально вверх и проходит через центр масс этого объема жидкости.

57

Сила G и сила давления на поверхность S, со стороны окружающей жидкости, являются внешними силами. Если удалить из выделенного объема всю жидкость и на ее место поместить любое твердое тело такого же объема, то при равновесии в состоянии окружающей жидкости никаких изменений не произойдет. Не изменится и давление на поверхность S тела.

Давление, действующее на погруженное в жидкость тело увеличивается с глубиной погружения по закону Р = ρgh.

Закон Архимеда

На тело, погруженное в жидкость или газ, при равновесии действует выталкивающая сила (сила Архимеда), численно равная весу жидкости (газа), вытесненной телом, направленная вертикально вверх.

Fa= ρgV, (8.8)

где ρ - плотность жидкости (газа); g - ускорение свободного падения; V - объем вытесненной телом жидкости (газа).

Для равновесия необходимо, чтобы вес вытесненной жидкости (газа) и сила Архимеда были направлены вдоль прямой, проходящей через центр масс жидкости, вытесненной телом, называемый центром плавучести тела (т. А, рис. 8.5).

Положение центра плавучести тела определяет равновесие и устойчивость плавающего тела. Центр плавучести (т. А) лежит на одной вертикали с центром масс тела (т. С), помещенного в жидкость (рис. 8.5, а).

При Fa=G тело плавает внутри жидкости (газа). При Fa >G тело всплывает, а при Fa < G - тонет. Любое тело, плавающее на поверхности жидкости (Fa >G), при смещении его из положения равновесия, изменяет форму вытесненного им объема жидкости, что вызывает изменение положения центра плавучести относительно плавающего тела. В этом случае при равновесии центр масс корабля и центр плавучести лежат на одной прямой, совпадающей с вертикальной осью симметрии корабля.

При наклоне корабля центр плавучести смещается относительно корабля в т. А* (рис. 8.5, а, б). Сила Архимеда теперь проходит через т. А* и линия ее действия пересекает вертикальную ось симметрии корабля в т. М, называемую метацентром. Если метацентр лежит выше центра масс корабля, то момент пары сил Fa и G будет возвращать корабль в исходное устойчивое положение.

В этом случае равновесие корабля будет устойчивым. Если метацентр лежит ниже центра масс корабля, то равновесие его неустойчиво.

58

На законе Архимеда основано действие ареометра - прибора для измерения плотности. Различают ареометры постоянной массы - для жидкостей и постоянного объема - для твердых тел.

2.8.6. Поверхностное натяжение. Капиллярность

Любая жидкость характеризуется поверхностным слоем. Рассмотрим, почему капли дождя, капельки пролитой ртути и т.д. имеют форму, близкую к сферической?

Поверхность жидкости образует пленку, и сила натяжения действует параллельно поверхности из-за существующих между молекулами жидкости сил притяжения. Этот эффект и называют поверхностным натяжением.

Сила, действующая на единицу длины контура, ограничивающего ее поверхность, называют поверхностным натяжением.

Согласно определению, поверхностное натяжение

Существование поверхностного натяжения можно объяснить на основании молекулярного строения вещества.

Между молекулами жидкости действуют силы притяжения. Молекула Б внутри жидкости находится в равновесии, так как силы со стороны других молекул, ее окружающих, действуют на нее во всех направлениях и взаимно компенсируются (рис. 8.6).

Рис. 8.6

Молекула А на поверхности жидкости тоже находится в равновесии, но на нее действует результирующая сила, направленная внутрь жидкости. Эта сила и вызывает поверхностное натяжение. При таком стягивании поверхности жидкости она стремится к состоянию, в котором площадь ее поверхности минимальна.

В условиях невесомости капли любой жидкости независимо от ее размеров имеют сферическую форму. Помещая каплю жидкости, например, оливкового масла, в жидкость такой же плотности (смесь спирта и воды) наблюдают, что эта капля принимает сферическую форму (опыт Плато).

Для увеличения поверхности жидкости необходимо приложить силу. Совершаемая при этом работа затрачивается на перенос молекул из глубины жидкости на ее поверхность, т.е.

59

где x - смещение границы пленки; S - изменение площади поверхности. При этом увеличивается потенциальная энергия молекул, называемая

поверхностной энергией. Чем больше площадь поверхности, тем больше по-

т.е. поверхностное натяжение - работа, совершаемая силами для увеличения площади поверхности жидкости на единицу.

В предельном случае можно получить тонкие пленки, например, мыльные пленки, которые имеют две поверхности, между которыми заключена жидкость.

При растяжении поверхности пленки увеличивается только ее площадь поверхности, в остальном пленка остается такой же, так как она пополняется молекулами жидкости из внутренних слоев.

При определении поверхностного натяжения необходимо учитывать среду, с которой жидкость граничит. Действительно, на молекулы поверхностного слоя действуют молекулярные силы не только со стороны данной жидкости, но и со стороны молекул окружающей среды.

Если жидкость находится в сосуде, то у стенок сосуда она может подниматься или опускаться относительно общего уровня. Это зависит от свойств жидкости и материала сосуда. Например, вода в стеклянном сосуде около его стенок поднимается. В этом случае говорят, что вода смачивает стекло. Наоборот поверхность ртути в стеклянном сосуде у его стенок несколько опускается, т.е. ртуть не смачивает стекло (рис. 8.7).

Явление смачивания (не смачивания) зависит от того, что сильнее: взаимодействие между молекулами жидкости (когезия) или взаимодействие между молекулами жидкости и молекулами материала сосуда (адгезия).

У стенок сосуда жидкость образует искривленную поверхность.

Рис. 8.7 Рис. 8.8

Угол между касательной к поверхности жидкости и поверхностью твердого тела (стенки сосуда) называют краевым углом θ.

Его величина зависит от соотношения сил когезии и адгезии (рис. 8.8). При θ < 90о жидкость смачивает твердое тело; при θ > 90о - не смачива-

ет.

60

Особенно четко это явление наблюдается, когда жидкость налита в узкий сосуд (капилляр).

Высота поднятия (опускания) h жидкости в капилляре зависит от поверхностного натяжения, краевого угла и радиуса капилляра.

Если поверхность жидкости - выпукла (вогнута), то при равновесии давление по разные стороны от нее будет неодинаковым (рис. 8.9), т.е.

(8.12)

Рис. 8.9

где r - радиус капилляра; Р1 - атмосферное давление; Р2 - давление на уровне мениска (столба жидкости на высоте h).

Если же жидкость ограничена поверхностью двойной кривизны (мыльная пленка), то по формуле Лапласа,

где R1 и R2 - радиусы кривизны двух взаимно перпендикулярных сечений поверхности жидкости. Радиус считается положительным, если сечение вогнуто в сторону жидкости, и, наоборот, если сечение выпукло, - отрицательным. В случае сферической поверхности R1=R2=R, значит

. (8.14)

Для мыльного пузыря из-за двойной поверхности натяжения

. (8.15)

Для жидкости в цилиндрическом сосуде из-за симметрии при R1=R2= R - радиус кривизны (мениск)

. (8.16)

С другой стороны,

Р2 - Р1=ρgh . (8.17)

Из формул (8.14), (8.16) и (8.17) можно найти высоту поднятия (опускания) столба жидкости в капилляре