Индивидуальные задания(непр
.).pdf
АФХ разомкнутой системы построим двумя способами: в декартовых и в полярных координатах
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Im(W(w)) |
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Re(W(w)) |
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W(w) |
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270 |
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arg(W(w)) |
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5. Определим устойчивость замкнутой САУ.
1) По критерию Найквиста: для того, чтобы выбрать нужную формулировку критерия, необходимо определить устойчивость разомкнутой системы. Для этого найдем корни ее характеристического полинома (например, с помощью функции solve MathCAD):
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1. |
7.81024967590665439411i |
p2 |
1. |
7.81024967590665439411i |
2. p 62. p (p 10.) solve p |
0 |
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10. |
Поскольку характеристический полином имеет один нулевой корень и три корня с отрицательной действительной частью, разомкнутая система является нейтрально устойчивой. Поэтому, как следует из формулировки критерия для этого случая, замкнутая система устойчива - АФХ разомкнутой системы вместе со своим дополнением
11
W(w)
180 |
0 |
0 |
вбесконечности не охватывает точку с координатами (-1;j0).
Причем |
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замкнутая |
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система |
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является |
устойчивой |
при |
любом |
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330 |
разомкнутой |
системы |
проходит |
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коэффициенте усиления, т.к. |
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АФХ |
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ниже оси абсцисс. |
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2) |
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По |
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критерию |
270 Гурвица: |
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для |
этого |
необходимо |
записать |
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передаточную функцию замкнутой САУ: |
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arg(W(w)) |
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k5 |
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k1 |
k3 |
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k2 |
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T5 p2 p |
1 |
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p (T2 p |
1) |
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k5 k6 |
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T5 p2 |
p |
1 |
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simplify |
30. |
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p2 |
10. p |
20. |
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k5 |
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p4 |
12. p3 |
292. p2 |
2720. p |
4200. |
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1 |
k1 |
k3 |
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k2 |
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k7 |
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T5 p2 |
p |
1 |
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p (T2 p |
1) |
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1 |
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k5 k6 |
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T5 p2 |
p 1 |
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Составим определители Гурвица из коэффициентов характеристического полинома замкнутой системы:
c0 |
1 |
|
c1 |
12 |
|
c2 |
292 |
c3 |
2720 |
c4 |
4200 |
||||
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c1 |
c3 |
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784 |
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c0 |
c2 |
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c1 |
c3 |
0 |
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c0 |
c2 |
c4 |
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1.528 |
106 |
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0 |
c1 |
c3 |
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c1 |
c3 |
0 |
0 |
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c0 |
c2 |
c4 |
0 |
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6.416 |
109 |
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0 |
c1 |
c3 |
0 |
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0 |
c0 |
c2 |
c4 |
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Все определители положительны при положительном коэффициенте с0, следовательно, замкнутая система устойчива.
3) По необходимому и достаточному условию устойчивости: для этого необходимо определить корни характеристичкского полинома замкнутой системы
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8.4868372797066256719 |
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p4 12. p3 |
292. p2 |
1.9098474182589196382 |
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2720. p 4200. solve p |
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||
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.80165765101722734497 |
16.0773012995358977951i |
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.80165765101722734497 |
16.0773012995358977951i |
Все корни характеристичкского полинома имеют отрицательную действительную часть, следовательно, в соответствии с необходимым и достаточным условием устойчивости, замкнутая система устойчива.
6. Построим временные характеристики системы, для чего воспользуемся формулой разложения. Запишем в MathCAD выражения
12
для |
передаточной |
функции замкнутой системы, |
полиномов |
ее |
||||||||||
числителя В(р) и знаменателя А(р), а также полинома |
A1 |
dA( p) |
: |
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dp |
||||||||||||||
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Wz(p) |
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30 |
p2 |
10 p |
20 |
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p4 |
12 p3 |
292 p2 |
2720 p |
4200 |
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B(p) |
30 |
p2 |
10 p |
20 |
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A(p) |
p4 |
12 p3 |
292 p2 2720 p |
4200 |
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A1(p) |
d |
A(p) |
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dp |
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A1(p) |
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4 p3 |
36 p2 |
584 p |
2720 |
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Корни |
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полинома знаменателя (характеристического уравнения |
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системы): |
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p1 
8.4868372797066256719
p2 
1.9098474182589196382
p3 
.80165765101722734497 16.077301299535897795i
p4 |
.80165765101722734497 |
16.077301299535897795i . |
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|||||||
Построим переходную функцию замкнутой системы: |
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|||||||||||
h(t) |
|
B(0) |
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B(p1) |
ep1 t |
|
B(p2) |
ep2 t |
B(p3) |
ep3 t |
B(p4) |
ep4 t |
|
A(0) |
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p1 A1(p1) |
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p2 A1(p2) |
p3 A1(p3) |
p4 A1(p4) |
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0.2 |
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h(t) |
0.1 |
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0 |
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
t
Построим весовую функцию замкнутой системы:
w(t) |
B(p1) |
ep1 t |
B(p2) |
ep2 t |
B(p3) |
ep3 t |
B(p4) |
ep4 t |
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A1(p1) |
A1(p2) |
A1(p3) |
A1(p4) |
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2 |
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w(t) |
0 |
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2 0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
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|
t |
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7. Для того, чтобы определить установившиеся значения сигнала δ, необходимо записать передаточную функцию замкнутой системы как
W |
( p) |
|
1 |
|
p( p |
10)( p 2 |
2 p 62) |
|
Х ВХ |
( р) |
1 WP ( p) |
|
p 4 12 p 3 |
292 p 2 |
2720 p 4200 |
||
|
|
|||||||
Установившееся значение сигнала δ при подаче на вход САУ воздействия в виде единичного скачка Хвх=1(t):
|
lim p |
|
|
p( p |
10)( p 2 |
2 p 62) |
1 |
0 |
||||
УСТ |
p |
4 |
12 p |
3 |
292 p |
2 |
2720 p 4200 |
|
p |
|||
p |
0 |
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|||||||||
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|||||||
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||
Установившееся значение сигнала δ при подаче на вход САУ воздействия в виде линейно возрастающего сигнала Хвх=1∙t:
|
lim p |
|
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p( p |
10)( p 2 |
2 p 62) |
|
1 |
10 62 |
0,148 |
|||||
УСТ |
p |
4 |
12 p |
3 |
292 p |
2 |
2720 p 4200 |
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p |
2 |
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4200 |
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p |
0 |
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Моделирование в Simulink Matlab производится для ступенчатого и линейно возрастающего сигналов. На рисунке представлено моделирование при ступенчатом входном воздействии:
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3. Варианты расчетных заданий
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Х1 |
К1 |
Х ВХ |
|
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T3 |
|
|
d 2 X |
3 |
|
|
|
dX |
3 |
|
К3 |
( Х ВХ |
Х1 |
Х 2 ) |
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||||||||||||||||||||||||||
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T1 |
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dХ ВЫХ |
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Х 4 |
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dt 2 |
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|
dt |
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|||||||||||||||||||||||||
|
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Х 4 |
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К4 |
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Х 2 |
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|||||||||||||||||||
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dt |
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Х ВЫХ |
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Х 3 |
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Х 4 |
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|||||||||||||||||
Х 4 |
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Х1 |
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Х 2 |
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Х 6 |
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К6 |
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Х ВЫХ |
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||||||||||||||||||||||
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Х ВХ |
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Х ВЫХ |
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T5 |
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dX 5 |
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X 5 |
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K5 |
dX 6 |
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|||||||||||||||||||
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dt |
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dt |
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Х 2 |
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Х 3 |
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( X 5 |
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X 6 ) |
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||||||||||
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dX 3 |
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T2 |
dX 2 |
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X 2 |
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K2 |
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||||||||||||||
T3 |
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X 3 |
К3 |
Х ВЫХ |
|
|
|
dt |
|
|
|
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||||||||||||||||||||
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|
dt |
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X1 |
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K1 |
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0,5с |
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К |
7 |
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2 |
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Т |
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0,1с |
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Т |
2 |
2с |
Т |
3 |
8с |
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27 |
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Х ВХ |
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Х 7 |
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T3 |
d |
2 |
X 3 |
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dX 3 |
K3 ( Х ВХ |
Х 2 ) |
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Х 7 |
Х 5 |
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Х 6 |
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dt 2 |
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dt |
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T1 |
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dX1 |
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K1 |
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dX 2 |
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dt |
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T2 |
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X 2 |
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K2 X1 |
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dt |
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T2 |
dX 2 |
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X 2 |
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K2 X1 |
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dX1 |
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dt |
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T1 |
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X1 |
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K1 |
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T3 |
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d 2 X |
3 |
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dX |
3 |
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K3 |
X 2 |
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dt |
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dt 2 |
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dt |
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X 7 |
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X 4 |
K4 |
X1 |
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X 7 |
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X 5 |
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X 6 |
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Х ВЫХ Х 3 |
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Х 4 |
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dХ ВЫХ |
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Х |
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К |
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dХ |
ВЫХ |
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X 5 |
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K5 |
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dt |
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5 |
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5 |
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dt |
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Х 6 |
К6 |
Х ВЫХ |
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Х 6 |
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К6 Х ВЫХ |
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К1 |
0,1 |
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К2 |
2 |
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К3 |
100 К4 |
5 |
К5 |
0,05 |
К6 7 |
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Х 4 |
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К4 Х1 |
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Т1 |
2с Т2 |
5с Т3 |
10с |
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Х ВЫХ |
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Х 3 |
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Х 4 |
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К1 |
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2 |
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К2 |
4 |
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К3 |
0,1 |
К4 |
15 |
К5 |
100 |
К6 |
7 |
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Т1 |
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0,5с |
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Т 2 |
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2с |
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Т3 |
5с |
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