1 Движение электрона в кристалле. Уравнение Шрёдингера, волновая функция

Все окружающие нас тела состоят из элементарных частиц (атомов) или из групп определенным образом объединенных атомов (молекул). Любая молекула состоит из совокупности электронов и атомных ядер, движение и взаимное расположение которых определяют значение внутренней энергии молекулы.

В 1924 г. французский физик Луи де Бройль предположил, что любая частица, в том числе и электрон, обладает волновыми свойствами с длиной волны , гдеh = 6,62·10^-34 Дж·с=4,5·10^-15 эВ·с – постоянная Планка; – импульс электрона. Такую волну стали называть волной де Бройля.

Можно ввести понятие волнового числа, то есть числа волн, укладывающихся на 2см: =, где== 1,05410^-34 Дж с – приведенная постоянная Планка или постоянная Дирака.

Тогда можно связать импульс с волновым вектором: , что и сделал де Бройль. В этом случае называют квазиимпульсом электрона.

Кинетическая энергия свободного электрона =, где=9,1 10^-31 кг – масса свободного электрона.

В 1926 г. австрийский физик Эрвин Шрёдингер вывел уравнение для волн де Бройля. Волна, связанная с отдельной частицей описывается волновой функцией , то есть зависящей от координат и времени.

Ĥ

(1.1)

В левой части – скорость изменения волновой функции, умноженная на мнимую единицу () и приведенную постоянную Планка. В правой –оператор ГамильтонаĤ, действующий на волновую функцию. Оператор полной энергии (гамильтониан)Ĥ получается из выражения

,

(1.2)

где E– собственная энергия частицы (системы частиц).

Энергия частицы массой имеет две составляющие – кинетическую и потенциальную:

.

(1.3)

Кинетическая энергия =. Если заменить в правой части уравнения величину импульса на так называемый оператор импульса, , где- оператор Гамильтона или набла- оператор, получим: ,,.

Тогда уравнение (1.2) можно переписать в виде:

,

(1.4)

- уравнение Шредингера для свободной частицы. Здесь - оператор Лапласа.

Решение такого уравнения для частицы, движущейся по оси xимеет вид:

,

(1.5)

т.е. волновые функции свободной частицы есть плоские волны.

В любой момент времени t, состояние квантовой частицы задается двумя величинами: координатами (радиусом-вектором) и импульсом:

,

(1.6)

Учитывая, что =- энергия свободного электрона, - импульс свободного электрона, можно записать уравнение для волновой функции в следующем виде:

,

(1.7)

Здесь - циклическая частота. Это - комплексная синусоида.Групповая скоростьволнового пакета.

Если нам известна волновая функция, то из нее можно получить энергию, продифференцировав по времени один раз и квадрат импульса продифференцировав по координате дважды:

,

(1.8)

В самом деле, из найденных формул выразим иE, подставим их в уравнение Шредингера, тогда получим тождество:

.

(1.9)

Но как определить саму волновую функцию? Тем более, что в соответствии с соотношением неопределенностей немецкого физика Вернера Гейзенберга, выведенного им в 1927 г. координату и импульс любой микрочастицы нельзя измерить точно одновременно: (для одномерного движения, чем точнее значение координаты, тем менее точно можно измерить значение импульса). Максимум, что можно сделать – это определить три координаты или три компоненты импульса, а затем из уравнения Шрёдингера вычислить волновую функцию в какой угодно последующий момент времени. То есть при решении конкретных задач уравнение Шредингера должно быть дополнено заданием начальных условий: для момента времениt=0, т.е. нужно задать функцию = .

Так что такое волновая функция? В 1926 г. немецкий физик Макс Борн предложил, что волновая функция физического смысла не имеет, но определяет вероятность пребывания электрона в заданной точке. В тех областях, где амплитуда волны больше, обнаружение электрона более вероятно, то есть||² dV–вероятность обнаружить данную частицу в объеме dV.

(1.10)

здесь - комплексно-сопряженная с функцией .

.

(1.11)