Лекция 3_09

Правка 17.02.07, 04.03.07, 14.04.07 (ф-ла (3.16))

Векторные электрический и магнитный потенциалы. Представление электрического и магнитного полей через векторные потенциалы. Волновые уравнения и уравнения Гельмгольца для векторных электрического и магнитного потенциалов.

Поскольку мы будем рассматривать линейные УМ, то можно всегда воспользоваться принципом суперпозиции и представить поле, удовлетворяющее УМ со сторонними электрическими и сторонними магнитными токами суммой полей Е^e и Н^e , порождаемых только сторонним электрическим током j^es, и полей Е^m и Н^m , порождаемых только сторонним магнитным током j^ms. Индекс «e» или «m» у полей показывает, что поля создаются соответственно электрическими или магнитными токами.

Рассмотрим вначале введение потенциалов для негармонических полей. Для того, чтобы упростить изложение, исходные УМ запишем только с электрическими сторонними токами и зарядами.

, ,

, . (3.1)

К случаю магнитных сторонних токов и зарядов далее можно будет перейти, используя принцип перестановочной инвариантности.

О вихревых и потенциальных полях.

При обсуждении вопроса об описании ЭМ полей потенциалами нам необходимо вспомнить о таких понятиях, как вихревые и потенциальные поля.

Рассмотрим вначале случай, когда ЭМ поле создается не меняющимся во времени и неподвижным сторонним электрическим зарядом. В этом случае УМ (3.1) сводится к уравнениям постоянного электрического поля, создаваемого постоянным электрическим зарядом

. (3.2)

Поля, создаваемые постоянными электрическими зарядами (уравнения (3.2)), называются электростатическими.

Так как в (3.2) то можно определить вектор Е через градиент скалярного электрического потенциала φ^e:

Е= –grad φ^e. (3.3)

При этом первое уравнение (3.2) выполняется тождественно, а скалярный потенциал φ^e удовлетворяет скалярному уравнению Пуассона

. (3.4)

Поскольку ротор статического электрического поля равен нулю, оно называется безвихревым или потенциальным.

Силовые линии потенциального электрического поля не могут быть замкнутыми: они начинаются и заканчиваются в точках расположения зарядов.

Аналогично электростатическим полям можно рассмотреть магнитостатические поля, к уравнениям которых можно перейти от (3.2)-(3.4), используя принцип перестановочной двойственности. Магнитостатические поля создаются постоянными магнитами, если рассматривать последние, как источники статического магнитного поля.

Рассмотрим теперь случай, когда поля создаются постоянным током j^es. Тогда из (3.1) следуют уравнения постоянного магнитного поля

, (3.5)

Поля, создаваемые постоянным током (см. уравнения (3.2)), называются стационарными. Цепь постоянного тока должна быть замкнутой.

Следует добавить, что уравнение непрерывности, связывающее сторонние токи и заряды

(3.6)

в статических и стационарных полях распадается на два независимых уравнения, иначе системы (3.2) и (3.5) были бы связаны.

Так как в (3.5) div Н^e =0, то векторное магнитное поле является вихревым - его силовые линии замкнуты. Отсюда следует, что напряженность стационарного магнитного поля Н^e может быть представлена как ротор некоторого вектора А^e:

Н^e = rot A^e (3.7)

При этом условие div Н^e= div rotA^e = 0 выполняется тождественно. Вектор A^e будем называть векторным электрическим потенциалом.

Подстановка (3.7) в (3.5) приводит к векторному уравнению Пуассона для векторного потенциала A^e

(3.8)

Силовые линии вихревого магнитного поля всегда замкнуты.

Рассмотрим случай, когда ЭМ поле создается двумя видами независимых источников: постоянными токами и зарядами. При этом вихревое магнитное поле и потенциальное электрическое поле независимы и можно ввести в рассмотрение новое векторное поле в виде суперпозиции этих двух независимых полей. Математическим утверждением этого физического факта является теорема Гельмгольца: векторная функция F может быть представлена в виде суммы вихревого векторного поля Н, определяемого через векторный потенциал А, удовлетворяющий векторному уравнению Пуассона (3.8) , и потенциального векторного поля E, определяемого через скалярный потенциал φ, удовлетворяющий скалярному уравнению Пуассона (3.4).