Программа экзамена по вм1.

1. Комплексные числа: определение, арифметические операции. Запись комплексных чисел в

тригонометрической, показательной формах. Формула Муавра.

2. Функции комплексного переменного. Дифференцируемость. Условия Коши-Римана.

3. Основные элементарные функции комплексного переменного: степенная функция и

обратная к ней функция.

4. Основные элементарные функции комплексного переменного: показательная функция и

обратная к ней функция.

5. Основные элементарные функции комплексного переменного: тригонометрические функции и

обратные к ним функции.

6. Интегрирование функций комплексного переменного.

7. Теорема Коши.

8. Интегральная формула Коши. Следствия.

9. Производные высших порядков.

10. Представление аналитической в круге функции рядом Тейлора. Нули аналитической функции.

11. Представление аналитической в кольце функции рядом Лорана.

12. Единственность разложения в ряд Лорана.

13. Изолированные особые точки. Классификация.

14. Вычеты в изолированных особых точках.

15. Теорема Коши о вычетах.

16. Преобразование Лапласа: определение, свойства.

17. Преобразование Лапласа: обращение, применение операционного исчисления к решению

дифференциальных уравнений.

18. Линейные нормированные пространства. Определение, примеры. Сходимость по норме.

Понятие полного пространства.

19. Линейные функционалы в банаховом пространстве. Непрерывные функционалы. Норма

линейного функционала.

20. Дифференцируемые функционалы. Сильно дифференцируемый функционал (по Фреше).

Слабо дифференцируемый функционал (по Гато), первая вариация.

21. Дважды дифференцируемый функционал (по Фреше, по Гато), вторая вариация.

22. Локальные экстремумы дифференцируемых функционалов. Необходимое условие экстремума

с использованием первой вариации.

23. Уравнение Эйлера для простейшей задачи вариационного исчисления. Основная лемма

вариационного исчисления.

24. Частные случаи интегрируемости уравнения Эйлера. Задача о брахистохроне.

25. Достаточное условие экстремума в терминах второй вариации.

26. Достаточное условие экстремума для простейшей задачи вариационного исчисления. Пример.

27. Функционалы, зависящие от производных высших порядков. Необходимое условие

экстремума.

28. Функционалы от нескольких функций. Необходимое условие экстремума.

29. Функционалы от функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума.

30. Условный экстремум. Изопериметрическая задача. Необходимое условие.

БИЛЕТ 1. Комплексные числа: определение, арифметические операции. Запись комплексных чисел в тригонометрической, показательной формах. Формула Муавра.

Определение: комплексным числом называется выражение вида , где - действительные числа, - «мнимая единица»: .

= «реальная часть»

= «мнимая часть»

Определение: число называется числом, комплексно сопряженным к числу .

Комплексная плоскость:

- угол, который составляет радиус-вектор с положительным направлением оси

Если число лежит в первом квадранте: .

- тригонометрическая форма записи.

- алгебраическая форма записи.

Очевидно, что комплексное число не меняется, если , целое.

(«аргумент» )

- главное значение аргумента.

Определения:

1). . Числа равны

2).

Числа равны ,

Определение: Суммой комплексных чисел называется комплексное число :

Определение: Произведением комплексных чисел называется комплексное число :

.

Легко поверить, перемножив: учитывая, что

Определение: Частным комплексных чисел называется комплексное число :

.

Очевидно: , .

- формула Муавра.