ВМ1(3 семестр)шпоры2

Доказательство.

Так как - оригинал, то , такие что

.

Докажем формулу (5).

, .

.

(6) .

Из формулы (5) вытекает формула (6).

Пример.

по формуле (5)

7. Запаздывание оригинала.

Пусть , , тогда .

Докажем это.

при .

Пример.

,

8. Смещение изображения.

Пусть , - произвольная комплексная константа.

Пример.

, .

9. Изображение свёртки.

Определение. Свёрткой функций , называется функция, обозначаемая ,

.

Теорема (об умножении изображений).

При свёртывании оригиналов , их изображения , перемножаются, то есть (1).

Доказательство.

Если , - оригиналы, то функция также является оригиналом (то есть для нее выполнены 3 свойства оригинала) (самостоятельно).

Пусть , тогда:

{ Поскольку интегралы, задающие аналитическую функцию, сходятся, то мы можем поменять порядок интегрирования в правой части }

, где .

.

Теорема доказана.

В приложениях используется следствие из этой теоремы, когда надо найти оригинал функции:

(интеграл Дюамеля).

.

В силу симметричности свёртки , интеграл Дюамеля можно записать так:

.

Справедлива формула обращения преобразования Лапласа.

Теорема (без доказательства)

Пусть - оригинал, и . Предположим, что непрерывна в точке и имеет конечные односторонние производные в этой точке.

Тогда:

.

Интегрирование ведется по прямой , (- показатель роста), а интеграл понимается в смысле главного значения, то есть:

.

В случае, когда - дробно-рациональная функция, существуют более простые формулы:

Теорема разложения (без доказательства).

Пусть есть , - полюсы. .