Алгоритмы - шпоры (Final)

28’ Метод Зейделя применительно к решению нелинейного узлового ур-я в форме баланса токов.

YU=U_д^-1S-Y_jбазU_баз примечание: над U_д^-1S надо ^

Правая линейная часть, левая нелинейная часть.

U₁^(k)=1/Y₁₁*( S₁/U₁^(k-1)- Y_1базU_баз-Y₁₂U₁ ^(k-1)- Y₁₃U₃ ^(k-1)-_….. -Y_1nU_n ^(k-1))

U₂^(k)=1/Y₂₂*( S₂/U₂^(k-1)- Y_2базU_баз-Y₂₁U₂ ^(k)- Y₂₃U₃ ^(k-1)-_….. –Y_2nU_n ^(k-1))

………..

U_n^(k)=1/Y_nn*( S_n/U_n^(k-1)- Y_nбазU_баз-Y_n1U₁ ^(k)- Y_n2U₂ ^(k)-_….. –Y_n-1nU_n-1 ^(k))

Итерационная формула Зейделя:

U_i^(k)=1/Y_ii*( S_i/U_i^(k-1)- Y_iбазU_баз-Σ^(i-1) Y_ijU_j ^(k)-Σ Y_ijU_j ^(k-1))

S_бал=U_балΣY_балjU_j

Должно быть задано макс. кол-во итераций, номер балансирующего узла,точность

max ׀U_i ^(k)- U_i ^(k-1)׀≤ε_k≈0.5÷0.05

max ׀P_нб׀≤ε_р ≈ 0.5 МВт max ׀Q_нб׀≤ε_Q ≈ 1 Мвар

Примечание: везде над S/U надо поставить ^

Св-ва:

1) В алгоритмическом отношении очень прост(программир-ся только 1 ф-ла)

2) естественным образом учитывает слабую заполненность матрицы узловых проводимостей;

3) сход-ть мож быть оценена по достаточным условиям сх-ти СЛАУ

4) область сходимости не очень велика , т.е. при расчете тяжелых режимов, близких к пределу по существованию метод З расходится

5) нечувствителен к начальным приближениям

6) сходится достаточно медленно

Для ускорения используют коэффициент ускорения

29’ Алгоритмическая и программная реализация метода Зейделя. См. 28

Программа:

Subroutine zeidel (y,U, S, l,n, max, ib,eps)

Complex y(l,l), U(n), S(n), c

do iter=1,max

k=0

do i=1,n

if (i.ne.ib) then

coniq (S(i)/U(i))

do j=1,n

if (i.ne.j) c=c-y(i,j)*U(j)

end do

c=c/y(i,i)

if ( c abs(U(i)-c) . gt. eps) k=1

U(i)=c

end if

end do

it=iter

if (k.eq.0) exit

end do

if (k.eq.0) then

S(ib)=(0,0)

do i=1,n

S(ib)=S(ib) +y(ib, j)*U(j)

end do

S(ib)=conjq(S(ib))*U(ib)

write (3,1) it

1_format (5x, « кол-во итераций it=» , ib)

else

write (3, «(‘итерационный процесс не сходится’)»)

stop

end if

return end

30’ Свойсва метода Зейделя, используемого для расчета установившихся режимов сложных ЭЭС. Коэффициент ускорения.

Св-ва:

1) В алгоритмическом отношении очень прост(программир-ся только 1 ф-ла)

2) естественным образом учитывает слабую заполненность матрицы узловых проводимостей;

3) сход-ть мож быть оценена по достаточным условиям сх-ти СЛАУ , в частности их можно оценивать как условия сх-ти в методе простой итерации: i≠ j

׀Y_ii׀>Σ׀ _ijY׀

а) если в схеме нет поперечных ветвей (емкостных проводимостей) и узел связан с базисным узлом, то достаточные условия сходимости выполняются

Y_ii= Σ ׀ -Y_i-j-Y_i-δ ׀ => ׀Y_ii׀>Σ׀ _ijY-׀

б) если мы не имеем емкостных проводимостей на землю и узел не связан с базисным балансирующим узлом

׀Y_ii׀≤Σ׀ _ijY׀, если есть трансформаторная ветка ׀Y_ii׀< Σ ׀ -Y_i-j-Y_т/к_т ׀

в) если в схеме есть поперечная емкостная проводимость и узел не связан с базисным Y_ii= Σ ׀ -G_i-j +jB_i-j -jB_i-0 ׀ => ׀Y_ii׀<Σ׀ _ijY׀

достаточное условие не выполняется; Если дост условия выполняются, то сходится. Если нет – то либо сх либо не сходится

4) область сходимости не очень велика , т.е. при расчете тяжелых режимов, близких к пределу по существованию метод З расходится

5) нечувствителен к начальным приближениям

6) сходится достаточно медленно

Для ускорения используют коэффициент ускорения

U_iq ^(k)= U_iq ^(k-1)+q(U_i ^(k)- U_iq ^(k-1)) Пример: n=75, 220/110, n_г=11

31’ Достаточное условие сходимости метода Зейделя применительно к решению нелинейного узлового уравнения в форме баланса токов.

а) Если в схеме нет поперечных ветвей (емк. проводимостей на землю) и узел связан с базисным узлом, то достаточные условия сходимости выполняются.

б) Если нет емкостных проводимостей на землю и узел не связан с базисным балансирующим узлом

Если есть трансформаторная ветка

в) Если в схеме имеется поперечная емкостная проводимость и узел не связан с базисным узлом.

, следовательно

Метод Зейделя не сойдется, если в ветви есть явновыраженный УПК

Если достаточные условия выполняются, то сходится. Если нет – то либо сх либо не сходится.

32’ Вычислительная схема метода Зейделя при задании ген. узлов в форме P_г, U_г

ген. Узел задан опорным, нам нужно найти Q

33’ Решение уравнения в форме баланса токов на основе метода Гаусса. Блок-схема алгоритма установившегося режима.

Правая нелинейная часть принимается линейной.

Если режим находится далеко от предела по устойчивости, то кол-во итераций при решении линейной и нелинейной системы уравнений одинаково (и сходимость). Сходимость определяется св-вами матрицы Y.

- вычисляем

На каждой внешней итерации - метод Гаусса.

На каждой внутр итерации – решаем алгебр систему линейных уравнений методом гаусса

34’ Решение нелинейного узлового уравнения в форме баланса токов на основе обращения матрицы Y. Блок-схема алгоритма-расчёта установившегося режима.

Нелинейное уравнение в форме баланса токов:

Обращение:

-вычисляется один раз (это +). Первоначально слабозаполненная Y превращ в полностью заполненную матрицу Z (это -)

Первоначально заполненная матрица Y превратилась в полностью заполненную Z.

35’ Решение нелинейного узлового уравнения в форме баланса токов на основе L-H факторизации матрицы Y. Блок-схема алгоритма расчета установившего­ся режима.

Совмещает достоинства методов обращения и Гаусса:

1)Операция факторизации только 1 раз → слабозаполнен. Матрицы L и H. 2)Вычисления существенно проще Гаусса, где на каждой итерации пересчит. матрица; алгоритмич прост.

“-“ ген. узлы только неопорные

Вывод: ↓ объем вычислений и объем требуемой памяти.

З6’ Решение уравнений установившегося режима на основе L-H факторизации матрицы коэффициентов. Вычислительная схема прямой и обратной подста­новки.

1-й этап:

Решается прямой подстановкой

2-й этап:

Решается обратной подстановкой

только везде вместо g -> q

37’ L-H факторизация матрицы коэффициентов системы линейных алгебраиче­ских уравнений (матрицы А). Алгоритм вычисления элементов факторизованной матрицы.

38’ Алгоритмическая и программная реализация L-H факторизации матрицы А.

Subroutine lhfact (A,n,l)

Complex A(l,l),t

Do k=1, n-1

Do j=k+1, n

t=a(k,j)/a(k,k)

do i=k+1, n

a(i,j)=a(i,j)-a(i,k)*t

enddo

enddo

enddo

return

end

Совмещает достоинства методов обращения и Гаусса:

1)Операция факторизации только 1 раз → слабозаполнен. Матрицы L и H.

2)Вычисления существенно проще Гаусса, где на каждой итерации пересчит. матрица; алгоритмич прост.

“-“ ген. узлы только неопорные

Вывод: ↓ объем вычислений и объем требуемой памяти.

Алгоритм см билет 36!

39’/41’ Методы, используемые для расчета УР при записи узловых уравнений в форме баланса токов. / Методы, применяемые для решения комплексного узлового уравнения в форме баланса токов.

1) Метод Зейделя

- прост в алгоритмическом отношении

- естественным образом учитывает слабую заполненность матрицы узловых проводимостей

- при расчете утяжеленных режимов область сходимости невелика

- нечувствителен к начальным приближениям

2) Метод Гаусса

- важным достоинством является высокая скорость решения

- надо хранить в памяти как исходную, так и пересчитанную матрицы

- на каждом шаге прямого хода надо выбирать главный элемент

3) Метод обращения матрицы Y

- обращение матрицы узловых проводимостей проводится 1 раз

- из слабозаполненной матрицы Y получается сильнозаполненная Z

4) LH-факторизация

Совмещает достоинства методов обращения и Гаусса.

- операция факторизации производится 1 раз => слабозаполненные матрицы L и H

- вычисления существенно проще метода Гаусса, где на каждой итерации пересчитывается матрица; алгоритмически прост

- может использоваться только с НЕОПОРНЫМИ ген. узлами.

=> малый объем вычислений и памяти ПК.

40’ Методы расчета режимов, основанные на сочетании методов Зейделя и Гаусса. Достоинства и недостатки.

Матрицу Y разбиваем на блоки, выделяя блок генераторных и опорных узлов.

Решая ур-е (1) методом Зейделя относительно напряжений в ген. оп. Узлах, получим:

Из ур-я (3):

Ур-е (4) решаем на основе метода Гаусса, ищем комплексы напряжений в нагрузочных узлах.

Только метод Зейделя даст возможность учесть опорные ген. узлы.

42’ Методы расчета установившегося режима, требующие разделения узлового уравнения в комплексной форме на два уравнения с действительными коэф­фициентами. Прямоугольная и полярная системы координат.

Поскольку брать производные по комплексным величинам нельзя => переходим от записи в комплексном виде к 2м уравнениям с веществ. коэффициентами.

(n-1) ур-й с компл. → (2n-2) с веществ.

Пр. Метод Ньютона

В зависимости от формы записи эффективность методов м.б. различна, т.е может отличаться сходимость и время расчета(кол-во итераций).

43’ Узловое уравнение в форме баланса мощности, записанное в прямоугольной системе координат.

44’ Узловое уравнение состояния эл. сист. в форме баланса S при записи напряжений в полярной, а проводимостей – в прямоугольной системах координат.

45’ Узловое уравнение состояния эл. сист. в форме баланса мощности, записанное в полярной системе координат.

46’ Возможные формы записи нелинейных узловых уравнений установившегося режима для решения их методами, требующими разделения комплексных переменных на действит.сост.

1)узловые уравнения в форме баланса токов в прямоугольной системе координат

2)---//-----//--- в полярной системе координат

3)узловые уравнения в форме баланса мощности в прямоугольной системе координат

4)---//-----//--- в полярной системе координат

47’ Метод Ньютона. Решение узлового уравнения методом Ньютона, записанного в прямоугольной и полярной системе координат.

1)Начальные приближения

2)В точке начального приближения данная система линеаризуется путем разложения в ряд Тейлора и отбрасыванием нелинейных частей.

Т.о. метод Ньютона сводится к многократному решению (на каждой итерации) СЛАУ.

3)

Прямоуг. сист. коорд.

Полярная ;

48’/49’ 3ависимость размерности матрицы Якоби от формы представления генераторных узлов и системы координат, в которой записаны узловые уравнения в форме баланса мощности.

Опорные: k- опорных узлов

- входит в уравнение баланса Q

Вывод: При опорных генераторных узлах кол-во уравнений в полярной форме снижается (при решении уравнения в форме баланса мощности)

50’ Аналитическое выражение элементов матрицы Якоби узловых уравнений в форме баланса мощности, записанных в полярной системе координат.

При решении уравнений установившегося режима, записанных в форме баланса мощности, предпочтительным является решение в полярной системе координат:

50’ Продолжение.

Аналогично,

С билетом тебе не повезло. Улыбайся преподу 

51’ Свойства матрицы Якоби. Свойства метода Ньютона.

Св-ва матрицы Якоби:

1) Слабозаполненная

2) Структурно-симметричная, но числовой симметрии нет:

Структурная симметрия облегчает учет слабой заполненности, поиск и хранение ненулевых элементов.

3) Диагонально-доминирующая: Св-ва совпадают со св-вами м.Y

Св-ва матрицы Ньютона:

1) Сильная чувствительность к начальным приближениям.

2) Квадратичная сходимость

1. При отсутствии активных ограничений:

– Наличие резервов акт. и реакт. мощности, – Большой Кз по ста­ти­­ческой устойчивости, – Отсутствие перегрузок по линиям

2.При наличии активных ограничений:

­– Дефицит Q, – Предел по станциям (вышли на ограничения по генерат. узлам), – Pг, Uг, Pг,Qг

3.Сходимость может ухудшиться при плохой обусловленности матрицы Якоби

(режимы, близкие к пределу по статике; резко неоднородная сеть)

4.Погрешности исходных данных влияют на сходимость метода Ньютона, решение системы уравнений по Гауссу.

5.Хорошо согласуется с методами решения оптимизац-ых задач.

6.Трудоемок в части алгоритмического представления.

52’ Модификации метода Ньютона

Метод Ньютона основан на решении всех уравнений системы на каж­­­­дой итерации, это повышает вычислительную эффективность. Применение этих методов требует перехода от (n-1)-го уравнений с комплексными к (2n-2)-м ур-ям с вещественными коэффициентами и переменными. Это связано с тем, что применение этих методов тре­бует диффер. ур-й по искомым переменным (а про­из­вод­ные по комплексным переменным не определены). Кроме того, для общего случая задания оп. генер. узлов (P, U), иско­мые переменные Q, δ– вещественные. Переход осуществляется на ос­нове записи компл. чисел в прямоуг. или полярной системах ко­ординат.

1) В мет. Н с обращением матрицы Якоби СЛАУ решается на каждой итерации относительно вектора приращения независимых перем. с использованием обратной матр. Якоби:

[ 2]

3) С разделением параметров (блочная диагонализация). Существенно уменьшает объем расчетов на ит., из-за отбрасывания недиаг. блоков матр. Якоби, т.е. полагая ∂P/∂δ=0 и ∂Q/∂δ=0 (см.55’)

4) Модифицированный – матрица Якоби вычисляется только 1 раз.

53’ Модифицированный метод Ньютона. Сущность и область

сходимости.

Основан на том, что если Δx ^(k)→ 0, то и ΔW(x ^(k–1))→ 0, т.е. можно вычислять матрицу Якоби 1 раз.

Эту матрицу можно однократно факторизовать и использовать в процессе итераций в факторизованном виде, что значительно уменьшает объем вычислений на каждой итерации.

Особенность: из-за невысокой сходимости этот метод применяется только для нетяжелых режимов.

54’ Метод Ньютона по параметру. Сущность и область метода.

Введение параметра t (0< t <1) т.е. переход от итерационной формулы к выражению ниже есть переход к мет. Н. по параметру (при t=1 – простой мет. Н)

Данный метод применятся для расчетов режимов близких к преде­лу по статике.

Область сходимости выше чем у обычного метода Ньютона.

Недостаток – большой объем вычислений по итерации: вычисление элементов матрицы Якоби и вектора небалансов, решение СЛАУ

55’ Способы определения параметра t в методе Ньютона по параметру.

.

Если функция не уменьшается, то шаг делится пополам.

На одном шаге:

– уменьшение шага. Многократные вычисления на одном шаге.

Если , то - метод Ньютона,

Если , то .

56’ Метод Ньютона с разделением переменных (блочная диагонализация матрицы Якоби). Сущность и область сходимости метода.

Применяется при незначительной разнице в фазах векторов напряжения в узлах, что соответствует нетяжелым режимам сети. Предполагается, что в виду малой зависимости P от U и Q от δ можно принять и .

Отсюда следует, что итерационный процесс описывается следующими уравнениями:

Решая последовательно эти системы уравнений относительно приращений δΔ и ΔU либо методом Гаусса, либо методом обращения матриц, можно получить значения независимых переменных на следующем шаге:

Его область сходимости небольшая – это нетяжелые режимы с небольшими разностями фаз напряжений в узлах.

57’ Модификации метода Ньютона, сокращающие объем вычислений на каждой итерации. Скорость и область сходимости этих методов.

К модификациям метода Ньютона, позволяющим сократить объем вычислений на каждом шаге относятся Модифицированный метод Ньютона и метод Ньютона с разделением переменных.

В модифицированном методе Ньютона сокращение числа расчетов достигается за счет устранения необходимости пересчета коэффициентов матрицы Якоби на каждом шаге итерационного процесса. Коэффициенты матрицы Якоби рассчитываются только один раз на первом шаге с нулевыми приближениями, и далее используется эта матрица. За счет подобного упрощения существенно страдает сходимость метода, так как значения коэффициентов матрицы Якоби могут достаточно существенно изменяться при переходе к следующему шагу.

В методе Ньютона с разделением переменных сокращение числа расчетов достигается за счет приравнивания нулю некоторых коэффициентов матрицы Якоби. Таким образом, расчеты выполняются быстрее, но это снова влияет на точность и скорость сходимости метода. В частности, из-за принимаемых допущений этот метод подходить только для расчета нетяжелых режимов сети.

58’ Методы расчета установившихся режимов сложных ЭЭС. Их сопоставление.

Абсолютно сходящихся методов нет!

Эффективность метода оценивается по 2 критериям:

1. Количество вычислений на одной итерации;

2. Общее число итераций для достижения заданной точности.

Методы – Зейделя (считает все, что считается), Ньютона + его модификации (сильно чувствительны к выбору начальных приближений) и градиентные методы.

Зейделя – см. 27, 28

Ньютона + модификации – см. 47, 52-54.

Градиентные – см. 67.

59’/60’ Использование метода Гаусса, обращения, L-H факторизации матрицы коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений в расчетах режимов методом Ньютона.

При расчетах режимов методом Ньютона на каждом шаге приходится решать СЛАУ, например . Причем метод ее решения может быть выбран из уже рассмотренных:

1. Метод Гаусса – см. 18

2. Обращения – суть метода сводится к получению обратной матрицы коэффициентов. Далее, путем ее домножения на столбец свободных членов, напрямую получается столбец неизвестных. Сложность метода состоит в сложности получения обратной матрицы.

3. L-H факторизация – см. 35, 36.

61’ Характеристика современных программно-вычислительных комплексов (ПВК), содержащих расчет УР.

В настоящее время существуют программно-вычислительные комплексы, позволяющие значительно упростить расчет установившихся режимов энергосистем, и осуществлять ряд других смежных задач.

Основные из них:

А) РАСТР (расчет УР, эквивалентирование, расчет предельных режимов, оптимизация режимов по Q, РПН)

Б) ДАКАР (расчет УР с учетом изменения частоты, возможность учета СХН, потерь на корону, РПН, утяжеление режимов, расчет колебательной статической устойчивости, расчет эл.-мех. п.п., несимметричных и неполнофазных режимов, эквивалентирование)

В) МУСТАНГ (расчет УР с возможностью учета СХН и вставок постоянного тока, утяжеление режимов, расчет эл.-мех. п.п.)

Г) EUROSTAG (расчет УР с учетом изменения частоты, расчет колебательной устойчивости, динамической устойчивости, длительных п.п.)

Д) КОСМОС (расчеты УР по показаниям телеметрии, построение модели режима, утяжеление режима, оптимизация по Q, оптимизация по P для обеспечения функционирования энергорынка)