Нечеткая байесова сеть

Нечеткая байесова сеть (Fuzzy Bayesian network – FBN) определяется следующим образом:

FBN = (U, L, P) = (A, Ã, L, P),

(8)

где U – множество переменных нечеткой байесовой сети;

L – множество направленных связей между переменными сети (от предков к потомкам);

P – вероятностное распределение переменных сети по их переменным-предкам из U;

A – множество дискретных переменных;

à – множество нечетких переменных, полученных из соответствующих непрерывных переменных сети, U = A  Ã [7].

Возможны следующие способы введения нечеткости в байесовы сети:

• дополнение байесова правила функциями принадлежности соответствующих значений переменных;

• замена вероятностей значений переменных байесовой сети на нечеткие множества (термы лингвистических переменных), а операций над четкими значениями – на операции S- и Т-норм над нечеткими множествами;

• замена вероятностей значений переменных байесовой сети на нечеткие числа, а обычных операций – на расширенные операции над нечеткими числами.

Кратко рассмотрим эти способы.

1) Дополнение байесова правила функцией принадлежности соответствующего значения переменной-предка A, заданной на множестве значений переменной-потомка B.

В этом случае нечеткое байесово правило примет следующий вид:

2) Использование операций S- и Т-норм над нечеткими множествами.

Следует отметить, что таким образом (с использованием нечетких множеств) можно как представить дискретные переменные, так и аппроксимировать непрерывные переменные.

Например, замена в выражении

,

значений переменных байесовой сети на нечеткие множества, а операций суммирования и произведения – на операции S- и Т-норм над нечеткими множествами приводит к следующему выражению:

.

где _P() – функции принадлежности нечетких множеств, заменяющих значения переменных байесовой сети.

S- и Т-нормами являются обобщенные операторы дизъюнкции и конъюнкции, представляющие наиболее общий класс бинарных операций на единичном интервале: [0,1]´[0,1]®[0,1], удовлетворяющие требованиям коммутативности, ассоциативности, монотонности и граничным условиям [10].

3) Использование расширенных (по принципу обобщения) арифметических операций над нечеткими числами.

Данный способ введения нечеткости в байесову сеть заключается в следующем:

• вероятности значений переменных байесовой сети заменяются на нечеткие числа (если переменные байесовой сети являются непрерывными, то они аппроксимируются терм-множествами соответствующих лингвистических переменных);

• операции суммирования, вычитания, произведения и деления вероятностей значений переменных заменяются на расширенные (например, по принципу обобщения Л. Заде) операции суммирования, вычитания, произведения и деления нечетких чисел, соответственно.

Нечеткое число определяется как нечеткое множество, заданное на множестве действительных чисел R с функцией принадлежности , где x  R, и для которого выполняются следующие условия:

а)  x  R, такое, что ;

б) множества α-уровней нечеткого числа представляют собой закрытые ограниченные интервалы  = [a, b] = {x/  ≥ α};

в)  N  R, такое, что  x  R, если |x| ≥ N , то  = 1.

Операции над нечеткими числами могут выполняться с использованием различных методов.

Так, при осуществлении операций над нечеткими числами с использованием интервального арифметического метода интервальные вычисления выполняются над всеми множествами α-уровней этих чисел.

Пусть заданы два нечетких числа и , а также множества их α-уровней  = [a, b] = {x/  ≥ α} и  = [ c, d] = {x/  ≥ α для каждого значения α  [0, 1], соответственно.

Интервальные операции над множествами α-уровней нечетких чисел  = [a, b] и  = [ c, d] вычисляются в соответствии со следующими выражениями рассмотренными нами в первой части лекционного курса «Нечеткие модели и сети» (сложение, вычитание, умножение и др.)

В основе построения и использования нечеткой байесовой сети лежат следующие выражения.

1) Цепное правило для нечеткого совместного распределения вероятности

где – переменные-предки переменной .

2) Нечеткая совместная вероятность

.

3) Нечеткая полная вероятность

.

4) Нечеткое байесово правило

.

где – нечеткие числа, заменяющие значения переменных байесовой сети.

Методика построения нечеткой байесовой сети

Для построения нечеткой байесовой сети для анализа рисков инвестиционных решений необходимо выполнить следующие действия:

• сформулировать проблему в терминах вероятностей (возможностей) значений целевых переменных;

• определить переменные, имеющие отношение к целевым переменным, описать возможные значения этих переменных;

• задать на основе имеющейся информации нечеткие оценки значений переменных в зависимости от способа введения нечеткости в нечеткую байесову сеть (например, оценки вероятностей, возможностей, степеней принадлежности);

• описать отношения «причина–следствие» (как косвенные, так и прямые) в виде ориентированных ребер графа нечеткой байесовой сети, разместив в его узлах переменные;

• для каждого узла графа, имеющего входные ребра, указать нечеткие оценки различных значений переменной этого узла в зависимости от комбинации значений переменных-родителей на графе.