1.3. Пример решения задачи в специальной форме симплекс-методом

Решить задачу, записанную в виде:

Составим симплексную таблицу:

L	0	1	2
	3	1	1
	1		1

Так как коэффициенты строки целевой функции неотрицательны, то начальное базисное решение не является оптимальным. Значение целевой функции для этого базисаL=0.

Выбираем ведущий столбец – это столбец, соответствующий переменной . Выбираем ведущую строку. Для этого находим. Следовательно, ведущая строка соответствует переменной.

Проводим преобразование симплексной таблицы, вводя переменную в базис и выводя переменнуюиз базиса. Получим таблицу:

L	-2	2	-2
	2		-1
	1		1

Одна итерация метода завершена. Переходим к новой итерации. Полученная таблица неоптимальная. Базисное решение, соответствующее таблице, имеет вид . Значение целевой функции на этом базисеL= -2.

Ведущий столбец здесь – столбец, соответствующий переменной . Ведущая строка – строка, соответствующая переменной. После проведения преобразований получим симплексную таблицу:

L		-4/3	-2/3
	4/3	2/3	-2/3
	5/4	1/3	2/3

Еще одна итерация завершена. Переходим к новой итерации.

Строка целевой функции не содержит положительных значений, значит, соответствующее базисное решение

,

является оптимальным и алгоритм завершает работу.

1.4. Пример решения задачи методом искусственного базиса

Выделить допустимое базисное решение для задачи ЛП.

Приведем задачу к канонической форме на минимум с неотрицательными правыми частями.

Заметим, что переменные иможно использовать для введения в исходный базис, поэтому в первую и третью строку ограничений можно не вводить искусственные переменные.

Во вторую строку ограничений вводим искусственную переменную z, потому что в этой строке нет переменной, которую можно взять базисной, не проводя при этом дополнительных преобразований всей системы ограничений.

Полученная вспомогательная задача имеет вид

Приведем задачу к виду (16):

Выпишем соответствующую симплексную таблицу:

	B
	10	5	4	-1
	3	3	-2	0
	10	5	4	-1
	5	2	1	0

Ведущий столбец рекомендуется выбирать не по максимальному положительному элементу строки целевой функции, а так, чтобы из базиса выводилась искусственная базисная переменная (соответствующая ведущая строка должна быть строкой искусственной переменной). Так, выбрав ведущим столбцом столбец переменной , получим ведущую строку – строку с переменнойz (выбирая ведущим столбцом , получили бы ведущую строкуи из базиса выводилась бы переменная).

Итак, искусственная переменная z выйдет из базиса, а переменная введется в базис.

Симплексная таблица преобразуется к виду

	B
	0	0	-1	0
	8	11/2	1/2	-1/2
	5/2	5/4	1/4	-1/4
	5/2	3/4	-1/4	1/4

Так как значение , то полученный базисявляется начальным допустимым базисом для исходной задачи ЛП. Чтобы выразить целевую функцию через небазисные переменные, подставим значение базисной переменнойв целевую функцию. В результате получим

Тогда исходная задача будет иметь вид специальной формы задачи ЛП:

что и требовалось получить в результате решения вспомогательной задачи.