- •Омский государственный технический университет
- •Раздел 1. Классическая и релятивистская
- •Лекция 4.
- •4.1. Механическая работа
- •Установлено, что все взаимные превращения различных форм движения материи происходят в строго определенных
- •Необходимым признаком работы является наличие
- •Элементарная механическая работа
- •Полная работа силы совершается на конечном
- •Графическое изображение работы
- •Если FS ≠ const, то графиком FS будет некоторая кривая.
- •Графически полная механическая работа равна
- •Вряде случаев приведённые интегралы вычисляются просто.
- •1.Работа силы тяжести: Amg mg s cos90O 0
- •Работа силы тяжести
- •Совершенная при этом работа равна
- •Проекцию
- •Тогда для работы силы тяжести получим выражение:
- •Работа силы упругости
- •Х - абсолютное удлинение пружины.
- •Вычислим интеграл
- •Работа упругой силы графически равна площади
- •Мощность:
- •Мгновенная мощность равна пределу, к которому стремится средняя мощность при неограниченном убывании промежутка
- •Для мгновенной мощности можно получить другое выражение:
- •Работа силы при вращательном движении
- •Элементарная работа силы F , действующей на тело, равна
- •Как известно dr dS r d
- •Тогда
- •4.2. Консервативные и неконсервативные силы
- •Искомые работы соответственно равны
- •Получили, что , двигаясь из положения 1 в положение 2 по разным траекториям
- •Неконсервативной называется сила, работа которой
- •4.3. Полная механическая энергия
- •Полная механическая энергия является:
- •Материальные объекты:
- •Полная механическая энергия
- •Полная механическая энергия равна сумме кинетической энергии взаимодействия частей тела и потенциальной энергии
- •4.4. Кинетическая энергия и её связь с работой
- •Преобразуем это выражение:
- •Полная работа силы F при изменении скорости точки от v1 до v2, равна
- •2)не зависит от способов, посредством которых было достигнуто данное изменение скорости;
- •Кинетическая энергия при поступательном движении прямо пропорционально зависит от массы тела и квадратично
- •Кинетическая энергия при вращательном движении
- •Как показано ранее, работа всех действующих на тело сил, равна изменению кинетической энергии
- •Графическая интерпретация
- •Если тело одновременно движется поступательно и вращается вокруг оси, проходящей через центр масс
- •Свойства кинетической энергии
- •Изменение кинетической энергии равно работе всех действующих на тело сил (консервативных и неконсервативных,
- •4.6. Потенциальная энергия и её связь с работой
- •3. Числовое значение потенциальной энергии
- •4.Практически имеет значение только изменение потенциальной энергии, поскольку оно не зависит от выбора
- •7.Изменение потенциальной энергии, взятое с обратным знаком, равно работе консервативных сил.
- •Потенциальная энергия тела, поднятого над землёй:
- •4.7. Связь потенциальной энергии с консервативной силой
- •Пусть материальная точка перемещается в потенциальном поле в произвольном направлении dr.
- •Работа консервативной силы равна убыли потенциальной энергии: dA dEП
- •Полученное соотношение справедливо для любого направления в пространстве, в частности, для осей Х,
- •Зная проекции силы, можно найти сам вектор силы:
- •Вектор, стоящий в правой части этого выражения, называется градиентом функции потенциальной энергии и
- •dЕ dЕ dЕ gradEП dxП i dуП j dkП k
- •Рисунок отражает указанные выше соотношения для силы тяжести и потенциальной энергии тела, находящегося
Полная работа силы F при изменении скорости точки от v1 до v2, равна интегралу:
или
|
|
2 |
|
2 |
|
v2 |
|
||||
A dA m v dv |
|
A mv2 |
mv1 |
|
|
v1 |
|
2 |
|
2 |
. |
|
|
|
|
Получили, что работа силы:
1) не зависит от формы пути перехода материальной точки из начального состояния со скоростью v1 к конечному состоянию со скоростью v2;
2)не зависит от способов, посредством которых было достигнуто данное изменение скорости;
3)не зависит от того, каковы были промежуточные состояния:
а) быстро или медленно изменялась скорость,
б) постоянная или переменная сила действовала на точку,
в) по прямолинейной или криволинейной траектории она перемещалась.
|
mv2 |
|
mv2 |
|
|
2 |
1 |
|
|
Таким образом, величина |
2 |
|
2 |
есть |
|
|
|
изменение некоторой функции ЕК механического состояния, зависящего от скорости.
A |
mv2 |
|
mv2 |
EK2 EK1 |
2 |
1 |
|||
|
2 |
|
2 |
|
Кинетическая энергия определяется формулой:
E K |
mv2 |
|
2 |
||
|
Изменение кинетической энергии равно работе
силы:
ΔΕK A
Кинетическая энергия при поступательном движении прямо пропорционально зависит от массы тела и квадратично от скорости.
EK |
mv2 |
|
2 |
||
|
ЕК |
ЕК |
|
V
m
Кинетическая энергия при вращательном движении
Элементарная работа силы при вращательном |
|
|
|||||||||||||
движении |
|
записывается как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
dA Mz |
d |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
εz d |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ранее показано, что |
|
M |
z |
J ε |
z |
, где |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
dω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
dA J |
dt |
d J ω dω |
|
|
|
|
|
||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Jω2 |
Jω2 |
||
Интегрируя, получим |
|
|
A J ω dω |
2 2 |
21 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Как показано ранее, работа всех действующих на тело сил, равна изменению кинетической энергии этого тела: А = .
Поэтому выражение |
Ek J ω |
2 |
|
||
|
|
|
|
2 |
|
представляет собой кинетическую энергию
вращательного движения твердого тела.
Графическая интерпретация |
|||
|
|
|
ЕК |
EK(вр) |
|
J ω2 |
J |
2 |
|
||
|
|
ЕК |
|
|
|
|
w |
Если тело одновременно движется поступательно и вращается вокруг оси, проходящей через центр масс
и сохраняющей неизменную ориентацию в пространстве, то кинетическая энергия такого движения равна сумме энергий поступательного и
вращательного движений:
EK m2v2 J ω2 2
Свойства кинетической энергии
Кинетическая энергия:
-однозначная, конечная, непрерывная, дифференцируемая функция механического состояния объекта;
-не может быть отрицательной;
-величина аддитивная: кинетическая энергия системы тел равна сумме кинетических энергий отдельных тел.
Изменение кинетической энергии равно работе всех действующих на тело сил (консервативных и неконсервативных, внутренних и внешних).
Ek Алюбыхсил
Если работа сил положительна, то кинетическая энергия тела возрастает, если отрицательна – уменьшается.
Тело, обладающее кинетической энергией, способно передать её другим телам, т.е. совершить работу.
Вэтом смысле говорят об энергии, как о способности
тела совершать работу.