Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Омский государственный технический университет»

Лабораторные работы № 9 – 12

по вычислительному практикуму

Методические указания

Омск - 2007

Составители: Котюргина Александра Станиславовна, доцент;

Цветкова Валентина Дмитриевна, ст. преподаватель

Печатается по решению редакционно-издательского отдела

Омского государственного технического университета.

Лабораторная работа № 9

РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

МЕТОДОМ ПРОГОНКИ

Пусть на отрезке требуется найти решение дифференциального уравнения:

, (1)

удовлетворяющее следующим краевым условиям:

	(2)

Численное решение задачи состоит в нахождении приближенных значений искомого решенияв точках. Для этого разобьем отрезокнаравных частей с шагом. Полагаяи вводя обозначения,,для внутренних точекотрезкавместо дифференциального уравнения (1) – (2) получаем систему конечноразностных уравнений:

После соответствующих преобразований будем иметь

, (3)

где

.

Полученная система имеет линейных уравнений снеизвестными. Решим эту систему методом прогонки.

Решая уравнение (3) относительно , будем иметь

.

Предположим, что из этого уравнения исключена неизвестная . Тогда это уравнение примет вид

, (4)

где

―некоторые коэффициенты. Отсюда

.

Подставляя это выражение в (3), получим

и, следовательно,

. (5)

Сравнивая формулы (4) и (5), получим для определения рекуррентные формулы:

.

Определим :

.

Из формулы (4) при имеем

. (6)

Поэтому

, . (7)

На основании формул (6) и (7) последовательно определяются коэффициенты

до включительно (прямой ход). Обратный ход начинается с определения. Решая систему

,

получим

и по формуле (4) последовательно находим .

Для простейших краевых условий формулы дляупрощаются.

Полагая

получим .

Отсюда .

Пример.

Методом перегонки решить краевую задачу: .

Решение. Пусть .

;

;

; ;

.

Найденные значения записываем в первых двух строках таблицы. Используя известное значение, вычисляеми запишем в таблицу.

Для значения в последней строке даны значения точного решения .

	0	1	2	3	4	5
	0	-0,498	-0,662	-0,878	-0,890	-0,900
		0,001	0,002	0,004	0,008	0,012
	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
	0	-0,025	-0,049	-0,072	-0,078	-0,081
	0	-0,015	-0,029	-0,041	-0,050	-0,057

	6	7	8	9	10
	-0,908	-0,915	-0,921	-0,926
	0,16	0,022	0,028	0,035
	0,6	0,7	0,8	0,9	1
	-0,078	-0,070	-0,055	-0,032	0
	-0,058	-0,054	-0,044	-0,026	0