Основные равносильности логики предикатов

Основные тавтологии логики предикатов

Определение 12. Приведенной формой для формулы логики предикатов называется такая равносильная ей формула, в которой из операций алгебры высказываний имеются лишь операции а знаки отрицания относятся лишь к предикатным переменным или к высказываниям.Предварённой нормальной формой для формулы логики предикатов называется такая её приведенная форма, в которой все кванторы стоят в её начале, а область действия каждого из них распространяется до конца формулы (либо кванторы в формуле совсем отсутствуют).

Можно доказать [3,c. 158-159], что для каждой формулы логики предикатов существует предваренная нормальная форма.

Упражнения

1. Указать свободные и связанные переменные в следующих формулах:

Ответы: б) связанная переменная,свободная переменная;

в) связанная переменная, а формуласлужит примером приведенной нормальной формы формулы алгебры предикатов.

2. Интерпретация замкнутой формулы состоит из следующих шагов [2, c.107]:

1) задается множество

2) каждой предикатной букве, входящей в местный предикатный символ, ставится в соответствиеместный предикат, определенный на

3) каждому нуль-местному предикатному символу приписывается одно из значений истинности.

Если формула – открытая, то добавляется ещё один шаг:

4)каждому свободному вхождению переменной ставится в соответствие элемент множества

Пример. Дать интерпретацию открытой формуле

1. Пусть

2. предикатной букве поставим в соответствие предикат, заданный таблицей

1	0	1	0

а предикатной букве – предикат, заданный таблицей

1	2
1	0

3) предикатному символу припишем значение 1 (истина);

4) свободному вхождению переменной припишем значение 1.

При такой интерпретации данная формула обращается в истинное высказывание. Действительно, существует такое, чтоистинно

Следовательно, посылка (антецедент) импликации принимает значение 1, а заключение (консеквент) тоже истинно. Значит, импликация истинна.

Дать интерпретации следующим формулам (см., например, [3,c. 144-145]:

3. Для следующих формул найти равносильную им приведенную форму:

Ответы:

4. Привести следующие формулы к предваренной (пренексной) нормальной форме:

Ответы:

Упражнения для самостоятельной работы

1. Указать свободные и связанные переменные в следующих формулах:

Ответы: и связанные переменные,свободная переменная.

и связанные переменные,свободная переменная.

2. Дать интерпретацию следующим формулам логики предикатов:

3. Для следующих формул найти равносильную им приведенную форму:

Ответы: Используя правило де Моргана для предикатов, имеем:

4. Привести следующие формулы к предварённой (пренексной) нормальной форме:

Ответы: