Коммутативные законы

2) 2а)

Ассоциативные законы

3) 3а)

Идемпотентные законы

Правила, связывающие сложение и умножение:

4) 4а) .

Дистрибутивные законы

Правила, относящиеся к элементам 0 и 1:

5) 5а)

6) 6а)

Правила, относящиеся к операции «черта»:

7)

8) 8а)

Правила, связывающие операцию «черта» со сложением и умножением:

9) 9а)

Правила де Моргана

Примеры алгебр Буля.

1) Алгебра двух чисел «0» и «1», где операции заданы таблицей «умножения» и таблицей «сложения»

	0	1			0	1
0	0	0		0	0	1
1	0	1		1	1	1

Таблица умножения Таблица сложения

Заметим, что в этой алгебре «1»+«1»=«1», а не 1 + 1 = 2, как в обычной алгебре чисел.

2) Алгебра максимумов и минимумов, где означает взятие наибольшего числа из двух данных, аозначает взятие наименьшего числа из двух данных. Такое «сложение» и «умножение» можно задать таблицами:

3) Алгебра наименьших общих кратных и наибольших общих делителей двух чисел.

4) Алгебра множеств с операциями «сложения» (объединения), «умножения» (пересечение) и «черта» (дополнение).

5) Алгебра высказываний с операциями «сложения» (дизъюнкция), «умножения» (конъюнкция) и «черта» (отрицание).

6) Алгебра контактных схем с операциями «сложения» (параллельное соединение контактов), «умножения» (последовательное соединение контактов) и «черта» («замкнут» переводит в «разомкнут» и наоборот).

7) Алгебра событий в теории вероятностей с операциями «сложения» (сумма событий), «умножения» (произведение событий) и «черта» (противоположное событие).

Упражнения

1. Проверить выполнение аксиом алгебры Буля для алгебр Буля из примеров

1) - 7).

2. Используя диаграммы Эйлера, показать справедливость правил де Моргана (1806-1871), английского математика, в теории множеств:

где дополнение множествадо некоторого универсального множества

3. Пусть дизъюнкция, конъюнкция, импликация и эквиваленция высказываний заданы таблицей истинности:

Здесь и­– высказывания, т. е. предложения, о которых можно судить: истинны они или ложны (1 или 0),дизъюнкция высказываний

и (или); конъюнкция высказываний (и);импликация (если, то) иэквиваленция (тогда и только тогда, когда),отрицание(не).

1. Используя таблицу истинности, показать справедливость правил де Моргана:

2. Используя операции над высказываниями, дать определение

а) объединения и пересечения двух множеств;

б) суммы и произведения событий;

в) «суммы» и «произведения» двух контактов.

3) Построить контактную схему, отвечающую высказываниям:

a)

б)

в) проверить «равенство» двух контактных схем

и .