Задания на самостоятельную работу

1. Составить таблицу «сложения» и «умножения» для алгебры Буля из трех чисел игде Проверить для этой алгебры выполнение аксиом алгебры Буля.

2. Проверить с помощью диаграммы Эйлера справедливость соотношения

3. Сконструировать контактные схемы, соответствующие высказываниям:

а)

б)

Занятие 2. Представление булевых функций формулами. Сводка тавтологий. Совершенные формы

Определение 2. Переменными высказываниями или пропозициональными переменными называются переменные вместо которых можно подставлять высказывания (истинные или ложные).Формулы алгебры высказываний определяются индуктивно:

а) любая пропозициональная переменная есть формула;

б) если иформулы алгебры высказываний, то

также являются формулами алгебры высказываний;

в) других формул алгебры высказываний, кроме формул, построенных по правилам а) и б), нет.

Формула называетсявыполнимой, если существует набор высказываний обращающий её вистинное высказывание. Формула называется тавтологией, если она обращается в истинное высказывание при всех наборах значений пропозициональных переменных (обозначается ).

Основные тавтологии алгебры высказываний

	закон исключенного третьего
	закон отрицания противоречия
	закон двойного отрицания
	закон тождества
	закон контрапозиции
	закон противоположности
	правило цепного заключения
	правило «истина из чего угодно»
	правило «из ложного что угодно»
	правило modus popens
	правило modus tollens
	правило перестановки посылок
	правило объединения и разъединения посылок
	правило разбора случаев
	правило приведения к противоречию
	конъюнкция сильнее каждого из сомножителей
	дизъюнкция слабее каждого из слагаемых

Определение 3. Формула называется логическим следствием формул , если она обращается в истинное высказывание на всяком наборе значений переменныхдля которого все формулыобращаются в истинные высказывания. Обозначают

Формулы иназываютсяравносильными (эквивалентными), если при любых значениях переменных значения истинности высказываний, получающихся из формули, совпадают. Обозначают

Основные равносильности алгебры высказываний

	закон двойного отрицания
	идемпотентность конъюнкции
	идемпотентность дизъюнкции
	коммутативность конъюнкции
	коммутативность дизъюнкции
	ассоциативность конъюнкции
	ассоциативность дизъюнкции
	дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции
	дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции
	законы поглощения
	законы де Моргана

Определение 4. Конъюнктивным (дизъюнктивным) одночленом от переменных называется конъюнкция (дизъюнкция) этих переменных или их отрицаний. Дизъюнктивной (конъюнктивной)нормальной формой называется произвольная дизъюнкция (конъюнкция) конъюнктивных (дизъюнктивных) одночленов.

Одночлен от переменных называетсясовершенным, если

каждая из этих переменных входит в него только один раз со знаком отрицания или без знака отрицания.

Нормальная форма от переменных называетсясовершенной (обозначается СДНФ или СКНФ), если каждый входящий в эту форму одночлен является совершенным одночленом переменных .

Определение 5. Функцией алгебры логики называется всякая функция принимающая значения 0 или 1 (истина или ложь), когда её пропозициональные переменные (аргументы) принимают значения 0 или 1.

Кроме уже известных по занятию 1 функций конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквиваленция, рассматривают функции: штрих Шеффера , стрелка Пирсаи суммаЖигалкина (сложение по модулю два), за

данные таблицей истинности

Определение 6. Система булевых функций называетсяполной, если любая функция алгебры логики есть суперпозиция функций системы .

Система булевых функций называетсянезависимой, если никакая функция не представима суперпозицией функций из подсистемы

Система булевых функций из называетсязамкнутой, если вместе с любыми функциями этой системы в нее входят и любые суперпозиции булевых функций системы.

Независимая система функций называетсябазисом замкнутого класса булевых функций если любая функцияесть суперпозиция функций системы.

Примеры.

1) 2) 3)

4) Следующие системы булевых функций является полными:

3. Следующие системы булевых функций является неполными: