Математика. Аналитическая геометрия

3.Общее уравнение плоскости.

Пусть плоскость задана уравнением A x x0 B y y0 C z z0 0. Раскроем скобки и преобразуем уравнение: Ax By Cz Ax0 By0 Cz0 0.

Частные случаи общего уравнения плоскости.

1)Если D 0, то Ax By Cz 0. Этому уравнению удовлетворяет точка O 0,0,0 , следовательно, плоскость проходит через начало координат.

2)Если C 0, то уравнение плоскости имеет вид: Ax By D 0.

Вектор нормали n A,B,0 перпендикулярен оси OZ , следовательно,

плоскость параллельна оси OZ . Аналогично, если A 0, то плоскость параллельна оси OX ; если, B 0 плоскость параллельна оси OY .

3) Если C D 0, то плоскость проходит через начало координат и параллельна оси OZ , следовательно, плоскость, задаваемая уравнением Ax By 0, проходит через ось OZ . Аналогично: если A D 0, то плоскость By Cz 0 проходит через осьOX ; если B D 0, то плоскость Ax Cz 0 проходит через ось OY .

4) При A B 0, уравнение плоскости имеет вид Cz D 0,

следовательно, плоскость z D проходит параллельно плоскости XOY .

C

Аналогично: если B C 0, то плоскость x D параллельна плоскости

A

YOZ ; если A C 0, то плоскость y D параллельна плоскости XOZ .

B

5) Если A B D 0, то уравнение плоскости имеет вид:Cz 0, т.е. z 0. Это уравнение является уравнением самой плоскости XOY .

Если A C D 0, то y 0, получим плоскость XOZ . Если B C D 0, то x 0 уравнение плоскости YOZ .

21

6.Нормальное уравнение плоскости.

направления ON запишется как:

e cos ,cos ,cos . Так как прямая ON перпендикулярна плоскости , то ON NM , но тогда npON OM всегда равна p. Т.е. np r p,

уравнение плоскости в координатной форме.

4.2.Плоскость в пространстве. Основные задачи.

1.Угол между двумя плоскостями.

23

2.Условие параллельности двух плоскостей.

3.Условие перпендикулярности двух плоскостей.

Так как плоскости 1 и 2 взаимно перпендикулярны, то и n1 n2 ,

4.3.Уравнения прямой линии в пространстве

1.Векторное уравнение прямой линии.

Так как векторы M0M и коллинеарны, то M0M t , где t скалярный множитель или параметр, который может принимать различные значения в зависимости от положения точки на прямой. Тогда уравнение можно

записать в виде: r r0 t .

24

2.Параметрические уравнения прямой линии.

Пусть прямая линия в ДСК задана векторным уравнением r r0 t ,

тогда r x,y,z xi yj zk , r0 x0,y0,z0 x0i y0 j z0k ,

m,n, p направляющий вектор прямой, t tm,tn,tp tmi tnj tpk ,

следовательно, векторное уравнение прямой линии можно записать в виде:xi yj zk x0 tm i y0 tn j z0 tp k . Отсюда получим

x x0 tm,

равенства: y y0 tn, Они называются параметрическими уравнениями

z z0 tp.

прямой линии в пространстве.

3.Канонические уравнения прямой линии.

Пусть: точка M0 x0,y0,z0 принадлежит прямой линии , M x,y,z

4.Уравнения прямой линии, проходящей через две точки.

5.Общее уравнение прямой линии.

Прямую линию в пространстве можно задать линией пересечения двух плоскостей 1 : A1x B1y C1z D1 0,

2 : A2x B2 y C2z D2 0.

25

A1x B1y D1 0,

положив, например, z 0. Найдем x0 и y0 из системы:

A2x B2 y D2 0.

Получим точку M0 x0,y0,z0 . Уравнение прямой линии запишется в виде

x x0 y y0 z z0 . m n p

4.4.Взаимное расположение прямых линий в пространстве

1.Условие принадлежности двух прямых одной плоскости.

в одной плоскости, если они компланарны, т.е. M1M2, 1, 2 0, тогда

лежат в одной плоскости, т.е. либо пересекаются, если 1 2 , либо

параллельны, если 1 2 .

26

Если определитель отличен от нуля, то M1M2, 1, 2 0, то прямые 1 и 2

не лежат в одной плоскости, т.е. скрещиваются.

2.Угол между двумя прямыми линиями в пространстве.

Пусть прямые линии 1 и 2 , заданные соответственно уравнениями