1. Алгебраические системы, алгебры, классы алгебр и формальные модели. Практическое применение. Помехоустойчивый код как алгебра.
Алг.
система – пара компонентов. Первый –
базовое множество (носитель) т.е.
собственно элемент, второе – сигнатура
т.е. множество отношений установленных
для элемента этого множества.
x – носитель, Ω – сигнатура
Если отношения м/у эл-ми заданы только операц-ми, алгебраич. система наз-ся алгеброй. A=<x, {Оп_i}>.
Отношения (подмн-во, собств. подмн-во, равенство, несравнимость), – самые простые связи между элементами множества по сравнению с операциями. Они только фиксируют сами элементы, из которых сост связь, но не показывают как элементы связаны. Алг.операции (объедин, пересечение, разность \, дополнение -) не только указывают какие элементы связаны, но и указывают как они связаны.
Среди отношений выделяют отнош-ия (бинарные, n-арные). Обычная бинарная операция позволяет определить как некий элемент образуется из данных первых двух. Они примитивны, но удобны для моделирования.
a&b = c
n-арное отнош устанавливает и фиксирует подмножество всех троек, специфических для данного объекта. Она порождает картежи из элемнтов из (n+1) элемента и показывает как (n+1) элемент образуется из n элементов.
Простейшая алгебра связ-ет эл-ты множ-ва только одной опер-ей. Ak=<x, φ>. Если отнош-ия представлены просто отнош-ми (в частн. бинарными), то такая алгебраич. система наз-ся формальной моделью.
Формальная алг. модель:
Помехоустойчивый код представляет собой простейшую алгебру – группу (эл-ты которой связ. одной опер-ей)
2. Алгебраическая операция и её основные свойства. Примеры.
Алгебраич. опер. – особый вид отнош-ия которое указ-ет не только эл-ты, вход-ие в состав картежа, порядок их след-ия, но и указ-ет как из одних эл-ов получать др.
Сначала были открытии операции на натур числами, затем появились более сложные мат.объекты – комплексные числа и были сформулир операции.
Затем открыли операции над векторами, потом ещё более сложные – матрицы. Кроме того множества и операции над ними (объедин, пересечение, дополнение \, отрицание).
Т.о. открыто много мат объектов и операций над ними. Операции для объектов той или иной природы всегда сформулир чётко как процедуры. Эти действия м.б. различны, но они все обладают свойствами. Если таковые не наблюдаются то действия нельзя назвать алг.
Свойства:
1) Возможность получения 3 элемента из 2
2) Ассоциативность (сочетательность)
3) Коммутативность
4) Дистрибутивность (распределительность одноц операции относит другой)
Выделенные элементы. Еденица операции
5) Имеет противоположный элемент
Без ассоциат – не операция
Аксиомы:
1) о существовании 3-его
2) Об ассоциативности (сочетательности)
3) о коммутативности
4) свойство дистрибутивности (справа и слева)
5) «l» - еденица операции
6) существовании обратного (противоположного) элемента
3. Классификация алгебр на основе одной операции. Групповой код как алгебра.
Некую классиф алгебр можно осуществить т.к. все свойства и аксиомы известны
Всё множество алгебр с одной операцией между элементами называется группоидами.
|
Св-ва Назв. Алг |
ассоц |
коммут |
Еденица операции «1» |
-a |
|
1) Полугруппа |
+ |
- |
- |
- |
|
2) Коммутативная полугруппа (абелева) |
+ |
+ |
- |
- |
|
3) Моноид. |
+ |
- |
+ |
- |
|
4) Коммутативный моноид (абелев) |
+ |
+ |
+ |
- |
|
5) Группа |
+ |
- |
+ |
+ |
|
6) Коммутативная (абелева) группа |
+ |
+ |
+ |
+ |
Групповой код представляет собой простейшую алгебру – группу (эл-ты которой связ. одной опер-ей).