5.6.4. Периодический (колебательный) разряд конденсатора на цепь с резистором и катушкой

При соотношении параметров контура из конденсатора, катушки и резистора , где R_КР – критическое сопротивление цепи, корни характеристического уравнения комплексные сопряженные:

p_1,2 = -α ± jω,

где α = R / (2L) – коэффициент затухания свободной составляющей; – угловая частота собственных колебаний контура; Т₀ – период собственных колебаний.

Поскольку , то можно ввести обозначения

, , .

Свободная составляющая переходного напряжения при комплексно-сопряженных корнях (см. п.п. 5.2.1)

u_Cсв = A e^-αt sin(ω₀t + ψ),

Для свободной составляющей тока имеем

i_св = C A e^-αt (-α sin(ω₀t + ψ) + ω₀ cos(ω₀t + ψ)).

С учетом начальных условий при t = 0, u_C = U₀ , i = 0 из последних двух уравнений находим константы интегрирования:

U₀ = A sin ψ; 0 = C A (-α sin ψ + ω₀ cos ψ).

и далее

.

Запишем переходные напряжения и ток:

u_C = U_Cm e^-αt sin(ω₀t + ψ); i = -I_m e^-αt sin(ω₀t + π); u_L= U_Lm e^-αt sin(ω₀t - ψ),

где ; .

Рис. 5.15

Зависимости переходных напряжения и тока u_C, i показаны на рис. 5.15. Они представляют собой затухающие синусоиды. Скорость затухания колебаний оценивают декрементом колебаний. Декремент колебания - это постоянная, зависящая от параметров R, L, С и равная отношению амплитуд переходных параметров, отстающих друг от друга на период колебания Т₀, например:

.

Часто пользуются логарифмическим декрементом колебания:

.

В предельном случае чисто консервативной системы (R = 0) Δ = 1 колебания в параллельно соединенных конденсаторе и катушке носят незатухающий характер. Период этих колебаний дается формулой Томпсона , а частота незатухающих колебаний .

5.7. Включение контура из конденсатора, резистора, катушки на постоянное напряжение

Рис. 5.16

Рассмотрим электромагнитные процессы, возникающие после замыкания ключа в цепи, изображенной на рис. 5.16 в предположении, что конденсатор был предварительно не заряжен, т.е. u_C(0_-) = 0. Характеристическое уравнение и вид его корней будут такими же, как и в цепи, рассмотренной в п. 5.6.

5.7.1. Апериодический процесс

Между разрядом конденсатора на резистор с катушкой и включением на постоянное напряжение контура (см. рис. 5.16) существует аналогия. Так же, как при разряде конденсатора, установившаяся составляющая тока равна нулю. Установившееся напряжение на конденсаторе u_Cу = U. Следовательно, начальное значение свободной составляющей напряжения на конденсаторе

Рис. 5.17

u_Cсв(0₊) = u_C(0₊) - u_Cу(0_-)

равно u_Cсв(0₊) = -U. То есть знаки постоянных интегрирования А₁ и А₂ в отличие от рассмотренного в п. 5.6 случая изменяются на противоположные. В этом случае переходное напряжение на конденсаторе, ток и напряжение на катушке определяются по формулам:

; ;.

Кривые u_C(t), u_L(t) и i(t) приведены на рис. 5.17.

5.7.2. Колебательный процесс

Включение рассматриваемого контура на постоянное напряжение может сопровождаться колебательным переходным процессом. При этом в отличие от процесса разряда конденсатора (см. п. 5.6) знак начального значения преходящего напряжения, следовательно, и коэффициента А, изменится на противоположный. Переходные напряжения и ток приобретут вид:

Рис. 5.18

; ;.

Кривые u_C(t) и i(t) показаны на рис. 5.18. Кривая тока отображает затухающие колебания относительно нулевого значения, а напряжения на конденсаторе – относительно установившегося значения. Следует отметить, что за время переходного процесса контура часть энергии источника переходит в тепло, а другая часть запасается в электрическом поле конденсатора в виде:

т.е. .

55.Магнитные цепи постоянных и переменных магнитных потоков. Ферромагнитные материалы и их характеристики.

В реальных цепях переменного тока помимо обычных элементов - сопротивлений, индуктивностей и  ёмкостей часто встречаются и элементы с ферромагнитными сердечниками - катушки с сердечниками. Особенность цепей переменного  тока  с ферромагнитными элементами заключается в том, что переменные токи в обмотках и магнитные потоки в сердечниках взаимосвязаны.  С одной стороны,  магнитные потоки зависят от токов в обмотках, и при анализе цепей приходится в значительной мере пользоваться методами, разработанными для магнитных цепей с постоянными магнитными  потоками. С другой стороны,  токи в обмотках зависят от характера  изменения магнитных потоков, и это весьма усложняет исследования.      Учитывая эти особенности,  на практике вводят различные допущения и упрощения.  Например,  иногда считают связь между индукцией и напряженностью магнитного поля линейной, но учитывают потери энергии в сердечниках. Иногда - наоборот,  пренебрегают потерями в сердечниках,  но связь между индукцией и напряженностью считают нелинейной.

В цепях с ферромагнитными элементами нельзя считать индуктивность и взаимную индуктивность постоянными, и приходится использовать непосредственную зависимость между ЭДС и магнитным потоком или  потокосцеплением.

     В основе  индукционного  действия  магнитного  поля  лежит  закон электромагнитной индукции (закон  Фарадея-Максвелла).  Согласно этому закону в контуре,  движущемся в неизменном поле так,  что его  стороны

пересекают магнитные линии,  или в контуре,  помещенном в изменяющееся  во времени магнитное поле, индуктируется ЭДС, численно равная скорости изменения во времени магнитного потока, пронизывающего этот контур:

     Когда контур состоит из W витков, пронизываемых одним  и  тем  же потоком, индуктированная в нем  ЭДС

равна:

     Часто различные группы  витков (W₁ ,  W₂ ,...) одной и той же катушки пронизываются различными потоками

Ф₁ ,  Ф₂ , ...; в этом случае полная ЭДС катушки равна сумме ЭДС отдельных групп витков:

    

  здесь            .

     Сумму магнитных потоков, сцепленных с каждым  из  витков, называют магнитным потокосцеплением. Произведения W Ф являются потокосцеплениями соответствующих групп витков.

     Уравнение, определяющее величину ЭДС как скорость изменения потокосцепления замкнутого контура представляет собой математическую формулировку закона электромагнитной индукции в наиболее общем виде. Знак "-" в  нем  определяется выбором условно положительных направлений индуктированной ЭДС и потока, пронизывающего контур.

     При возрастании  магнитного потока ( ) индуктированная ЭДС направлена противоположно выбранному положительному  направлению.  При убывании потока () направление ЭДС совпадает с положительным направлением. Это соотношение получило название правило Ленца.

     Общее выражение  для  индуктированной ЭДС справедливо и для цепей со взаимной индуктивностью.  Пусть Ф₂ - полный магнитный поток 2-й  катушки, а Ф_M2  - его часть, пронизывающая 1-ю катушку. Тогда потокосцепление 1-й катушки будет равно

           

но оно относится и к току i  :

            

получаем формулу для взаимной индуктивности:

             

     ЭДС, наведенную магнитным полем 2-й катушки в 1-й катушке, теперь удобно определить по формуле:

              

     Пусть витки  катушки  пронизывает синусоидально изменяющийся магнитный поток:

               

тогда, если пренебречь рассеянием поля,  ЭДС,  наведенная в витках катушки, определится выражением:

                

где - амплитудное значение ЭДС. Ее действующее значение

                

     Это выражение часто используется на практике при расчетах различных машин переменного тока.  Заметим,  что ЭДС отстает по фазе от магнитного потока на угол 90  .

     В цепях,  содержащих катушки с ферромагнитными сердечниками, возникают из-за их нелинейности несиносоидальные токи и напряжения. Часто для упрощения анализа их заменяют эквивалентными синусоидальными величинами. Амплитуда  эквивалентной  синусоидальной величины определяется

произведением действующего значения несиносоидальной величины на  2, а фазовый сдвиг между эквивалентными синусоидами напряжения и тока определяются из соотношения:

                    

где параметры P, U и I относятся к несинусоидальным величинам. Переход к эквивалентным синусоидам позволяет вести анализ цепей символическим методом, а также строить векторные диаграммы на комплексной плоскости.

 Переменный магнитный поток замыкается по внешнему контуру магнитной цепи, поэтому цепь постоянного тока не нужно защищать от действия больших переменных ЭДС, которые наводились этим потоком в обмотке с числом витков    в вышеуказанном примере. В данном случае и ток, и магнитный поток несинусоидальны. В силу симметрии ВбАХ сердечника четные гармоники тока в обмотках    должны были бы иметь разные знаки, но это невозможно, поскольку эти обмотки соединены последовательно и в них протекает один и тот же ток. Поэтому переменный ток    содержит только нечетные гармоники.

56.Применение закона полного тока для анализа магнитных цепей

Обмотка имеет W витков и обтекается током I. Магнитные линии внутри кольца представляют собой концентрические окружности с центров точке О. Применим к контуру C_х, совпадающему с одной из магнитных линий, проходящих в магнитопроводе, закон полного тока. При этом будем считать:

1.  и совпадают, следовательно α = 0;

2. величина Нх во всех точках контура одинакова;

3. сумма токов, пронизывающих контур, равна IW.

Тогда

.

Отсюда

[А/м],

где L_x – длина контура, вдоль которого велось интегрирование; r_x – радиус окружности.

Вектор внутри кольца зависит от расстояния r_х. Если α – ширина кольца << d, то эта разница между значениями Н в пределах сердечника не велика. При этом в расчет допустимо принять для всего поперечного сечения магнитопровода одно значение напряженности магнитного поля:

H_ср = IW / L