Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Омский Государственный Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

R_R_S__R_R_-1_1.doc

Скачиваний:

Добавлен:

30.03.2015

Размер:

1.25 Mб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

О. А. Заблоцкая

Линейное программирование

ЧАСТЬ 1

Омск 2005

Министерство путей сообщения Российской Федерации

Федеральное агентство железнодорожного транспорта

Омский государственный университет путей сообщения

_________________

О. А. Заблоцкая

Линейное программирование

Часть 1

Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве методических указаний по высшей математике для студентов второго курса специальностей «Мировая экономика» и «Финансы и кредит»

Омск 2006

УДК 512 ББК

Линейное программирование. Часть 1: Методические указания по высшей математике / О. А. Заблоцкая; Омский гос. ун-т путей сообщения. Омск, 2006. 45 с.

Методические указания содержат основные теоретические сведения, необходимые для освоения темы «Линейное программирование» в курсе высшей математики. В части 1 приведены различные постановки задачи линейного программирования (ЛП), описан графический метод решения двумерной задачи ЛП, для задачи произвольной размерности изложен симплекс-метод, а также даны понятие двойственной задачи ЛП, основные результаты теории двойственности и их экономическая интерпретация. Изложение теоретического материала сопровождается примерами решения типовых задач. Методические указания содержат также задания контрольной работы по теме «Линейное программирование. Часть 1».

Предназначены для студентов второго курса специальностей «Мировая экономика» и «Финансы и кредит» очной и заочной форм обучения.

Библиогр.: 10 назв. Табл. 11. Рис. 2.

Рецензенты: доктор физ.-мат. наук И.И.Гончар, канд. пед. наук Е. И. Федорова.

_______________________________

 Омский гос. университет путей сообщения, 2006

Содержание

Введение 5

Примеры постановок задач 5
Задача линейного программирования 7
Графический метод решения задачи линейного программирования 10
Каноническая задача линейного программирования. Базисные решения 14
Специальная задача линейного программирования 17
Симплекс-метод 19
Нахождение начального базисного решения методом искусственного базиса 24
Двойственность в линейном программировании 28
Экономическая интерпретация теорем двойственности 31
Задачи для самостоятельного решения 32

Библиографический список 44

Введение

В различных областях человеческой деятельности возникают задачи, при решении которых необходим выбор одного из множества вариантов (выбор оптимального плана), например при решении проблем управления и планирования производственных процессов. Математическая дисциплина, разрабатывающая теоретические основы решения подобных задач, называется математическим программированием.

Содержание математического программирования составляют теория и методы решения задач, в математических моделях которых требуется определить экстремум некоторой функции нескольких переменных, связанных условиями в виде равенств и неравенств:

(1)

где  некоторые функции n переменных.

Если функции линейные, то задача (1) называется задачей линейного программирования (лп).

Отдельный класс составляют так называемые задачи ЛП транспортного типа и задачи сетевого планирования, для решения которых разработаны методы, учитывающие их специфику. Указанным задачам и методам их решения посвящена часть 2 настоящих методических указаний.

ПРИМЕРЫ ПОСТАНОВОК ЗАДАЧ

Пример 1. Задача о распределении ресурсов

Предприятие располагает тремя видами ресурсов  , необходимыми для производства трех видов продукции . Затраты ресурсов на производство одной партии продукции каждого вида, запасы ресурсов и доход от реализации одной партии продукции каждого вида приведены в табл. 1. Определить план выпуска продукции, позволяющий предприятию получить максимальный суммарный доход.

Т а б л и ц а 1

Ресурс	Затраты ресурсов на продукцию			Запас ресурса
Ресурс				Запас ресурса
	2	4	2	120
	1	4	3	100
	3	0	3	200
Доход	30	50	40	

Составим математическую модель этой задачи.

Пусть  количество выпускаемых партий продукции . Векторхарактеризует план выпуска, который должен удовлетворять следующим ограничениям, связанным с запасами ресурсов:

(2)

В этих ограничениях имеем неравенства, так как ресурсы могут быть истрачены не полностью.

Суммарный доход от реализации продукции, произведенной в соответствии с планом х, выражается следующей функцией:

. (3)

Таким образом, получаем следующую задачу математического программирования:

(4)

Задача (4) относится к классу задач линейного программирования, так как все фигурирующие в ней функции линейны.

Пример 2. Задача о диете

Рацион солдата складывается из двух продуктов питания, например из хлеба и мяса, питательная ценность которых выражается в количестве протеина и калорий. Их содержание в единице хлеба и мяса, минимальная суточная потребность одного солдата в протеине и калориях, а также стоимость единицы продукта питания приведены в табл. 2. Требуется определить рацион одного солдата, имеющий минимальную стоимость.

Т а б л и ц а 2

Продукт питания	Протеин	Калории	Стоимость
Хлеб	1	5	1
Мясо	5	1	3
Потребность	15	15	

Предположим, что солдат ежедневно получает единиц хлеба иединиц мяса. Тогда суточные затраты на питание солдата

, (5)

причем переменные идолжны удовлетворять следующим условиям:

(6)

Учитывая, что суточные затраты надо минимизировать, получаем следующую задачу линейного программирования:

(7)

ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Определение 1. Задачей линейного программирования (ЛП) называется задача математического программирования вида:

(8)

(9)

(10)

(11)

для некоторых . (12)

Определение 2. Функция (8) называется целевой.

Определение 3. Любой вектор , удовлетворяющий условиям (9)−(12), называетсядопустимым решением, или планом задачи ЛП. Множество всех планов задачи обозначим D.

Определение 4. Вектор называетсяоптимальным решением (оптимальным планом) задачи ЛП, если для любогов задаче максимизации илидля любогов задаче минимизации.

Определение 5. Задача ЛП (9)−(12) называется разрешимой, если она имеет хотя бы один оптимальный план.

Из определения задачи ЛП ясно, что она относится к классу задач на условный экстремум, однако частные производные целевой функции постоянны, т. е. не зависят от точек. Следовательно, обычные методы математического анализа неприменимы для решения задач ЛП, поэтому для таких задач созданы специальные методы, учитывающие их специфику.

Особый класс задач составляют так называемые канонические задачи.

Определение 6. Канонической задачей ЛП (КЗЛП) называется задача вида:

(13)

Заметим, что характерными особенностями КЗЛП являются следующие: целевая функция максимизируется; из ограничений (9)−(11) присутствуют только ограничения, имеющие вид равенств; все переменные задачи неотрицательны.

Определение 7. Две задачи ЛП называются эквивалентными, если любому допустимому решению х одной из них соответствует допустимое решение другой и наоборот, причем планх оптимален в первой задаче тогда и только тогда, когда соответствующий ему план оптимален во второй задаче.

Теорема 1 (теорема об эквивалентности). Для всякой задачи ЛП существует эквивалентная ей каноническая задача ЛП.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для простоты изложения проведем доказательство в случае задачи ЛП, имеющей две переменные и три ограничения (n = 2, m = 3):

(14)

Для перехода к эквивалентной КЗЛП необходимо добиться того, чтобы эта задача была на максимум, все линейные ограничения были равенствами и все переменные  неотрицательными. Покажем, как этого можно добиться.

1) Пусть . Очевидно, что функциядостигает своего максимума тогда и только тогда, когдаf(x) достигает минимума.

2) В линейные ограничения задачи (14), имеющие вид неравенств, введем неотрицательные переменные , называемыедополнительными. Получим следующие ограничения:

(15)

3) По условию задачи (14) переменная может принимать значения любого знака. Такую переменную можно представить в виде разности двух неотрицательных переменных:

. (16)

После выполнения этих преобразований получаем каноническую задачу:

(17)

Докажем эквивалентность задач (14) и (17).

Очевидно, что каждому допустимому решению задачи (14) соответствует допустимое решениеКЗЛП (17) и наоборот. Действительно, задав упорядоченную пару, найдем:

(18)

Для положительных значений положим:, для неположительных значенийпримем:. Тогда для любых значенийимеем:гдеиопределяются однозначным образом по значению. Обратно, задав набор, легко получаем упорядоченную пару:, где.

Оптимальность или неоптимальность соответствующих планов задач (14) и (17) следует из соотношения .

Теорема доказана.

Итак, чтобы решить произвольную задачу ЛП, достаточно решить эквивалентную ей каноническую задачу ЛП, и поэтому в дальнейшем можно ограничиться исследованием именно канонических задач ЛП.

ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Задача ЛП, имеющая только две переменные, может быть решена графически. В этом случае допустимое множество D задачи ЛП (если оно не пусто) образует на плоскости некоторую область, границами которой являются прямые линии. Такое множество назовем многогранным. Задача ЛП сводится к поиску точки многогранного множества D, в которой целевая функция принимает наибольшее (наименьшее) значение.

Напомним, что линией уровня функции f(x) называется линия, во всех точках которой f(x) принимает одно и то же значение , т. е. линия, заданная уравнением.Градиентом функции f(x) называется вектор

, (19)

где  частные производные функции f(x). Вектор , т. е. противоположный векторуназываетсяантиградиентом. Если f(x)  линейная функция, то  постоянный вектор, а линии уровня  прямые линии перпендикулярные градиенту.

Из курса высшей математики известно, что градиент указывает направление наискорейшего возрастания функции f(x), а антиградиент  убывания, поэтому, чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение целевой функции f(x), необходимо мысленно сдвигать линию уровня этой функции в направлении градиента (антиградиента). Точка, в которой линия уровня функции в последний раз касается множества D, будет оптимальной.

З а м е ч а н и я.

1) Если линия уровня целевой функции f(x) касается множества D в последний раз по целому ребру, то задача ЛП имеет бесконечное множество оптимальных решений, они соответствуют каждой точке этого ребра.

2) Если допустимое множество D таково, что сколько бы ни сдвигали линию уровня целевой функции f(x) в направлении градиента для задачи на максимум (антиградиента − для задачи на минимум), она всегда будет пересекать множество D, то функция неограниченно возрастает (убывает) на множестве D. Это означает, что задача ЛП не имеет решения.

Проиллюстрируем графический метод решения задач ЛП на примерах.

Пример 3. Решить задачу ЛП:

(20)

Изобразим на плоскости(рис. 1) множествоD допустимых решений задачи (20). Получим четырехугольник (заштрихованный). Градиент целевой функции также изображен на рис. 1.

Через начало координат проходит линия уровня, соответствующая уравнению , т. е.. Для отыскания наибольшего значения целевой функции на допустимом множествеD линию уровня следует мысленно смещать в направлении вектора . При рассмотрении рис. 1 видно, что при таком перемещении прямойпоследнее касание с заштрихованным четырехугольником произойдет в точкеВ (1; 2), следовательно, оптимальным решением задачи (20) будет точка . Подставив ее координаты в целевую функцию, получим:.

Пример 4. Изменим в примере 3 целевую функцию, оставив прежней допустимое множество D. Получим задачу:

(21)

Заметим, что линии уровня функции имеют уравнения, т. е. параллельны прямойАВ, поэтому последнее касание области D при перемещении линии уровня в направлении произойдет во всех точках отрезкаАВ. Следовательно, задача (21) имеет бесконечное множество оптимальных решений, среди которых есть две вершины заштрихованного четырехугольника: А (3; 0) и В (1; 2) (см. рис. 1).

Пример 5. Решим графически задачу о диете (см. пример 2).

Допустимое множество D задачи (7), градиент целевой функции и ее линия уровня, проходящая через начало координат и имеющая уравнение, показаны на рис. 2.

Поскольку в задаче требуется найти наименьшее значение целевой функции на множествеD, то для его отыскания линии уровня следует перемещать в направлении антиградиента, т. е.. Очевидно, что в этом случае последнее касание линии уровня с областьюD произойдет в точке . Координаты точкиА можно вычислить, решив систему уравнений Следовательно, оптимальное решение задачи (7) , а оптимальное значение функции, т. е. минимальные суточные затраты на питание одного солдата составляют 10 денежных единиц.

Заметим, однако, что если бы в задаче (7) целевую функцию требовалось максимизировать, то ее линии уровня следовало бы перемещать в направлении , и последней точки касания с областьюD не существовало бы в силу неограниченного роста функции наD. В этом случае задача была бы неразрешима.

КАНОНИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ЛП. БАЗИСНЫЕ РЕШЕНИЯ

Рассмотрим каноническую задачу ЛП (13). Обозначим через вектор-столбец, составленный из коэффициентов при переменнойограничений вида равенств системы (13),, а черезB  вектор-столбец свободных членов :

. (22)

Тогда задача (13) может быть записана в виде:

(23)

где  скалярное произведение векторов и.

Определение 8. Допустимое решение (план) канонической задачи ЛП (23) называетсябазисным решением (опорным планом), если либо , либо система вектор-столбцов, соответствующих ненулевым компонентам векторах, линейно независима (напомним, что система векторов называется линейно зависимой, если хотя бы один из векторов системы является линейной комбинацией остальных, линейно независимой в противном случае).

Пример 6. Рассмотрим каноническую задачу ЛП:

(24)

Ее допустимое решение х = (0, 0, 1, 2) является базисным, так как векторы илинейно независимы.

Теорема 2 (теорема о существовании оптимального базисного решения). Если каноническая задача ЛП (23) разрешима, то существует ее оптимальное базисное решение.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть задача (23) разрешима, т. е. множество ее оптимальных решений не пусто. Среди всех оптимальных решений существует такое, которое имеет наименьшее число ненулевых компонент. Обозначим его (если таких решений несколько, то возьмем залюбое из них). Переобозначив при необходимости переменныеможно считать, чтоимеет вид:

(25)

Докажем, что является базисным решением задачи (23). Предположим, что это не так. Тогда система векторов, соответствующих ненулевым компонентам вектора, линейно зависима: существуют такие не все равные нулю числа, что

, (26)

где  вектор-столбец, целиком состоящий из нулей.

Введем n-мерный вектор и рассмотрим скалярное произведение, где коэффициенты целевой функции задачи (23). Без ограничения общности можно считать, что(в противном случае вместо векторарассмотрим вектор).

Рассмотрим вектор , где. Если все, тоt  произвольное положительное число.

Проверим, что вектор удовлетворяет ограничениям задачи (23). Действительно, с учетом условия (26), получим:

(27)

Неотрицательность компонент вектора очевидна, следовательно,является допустимым решением задачи (23).

Кроме того, , т. е. векторимеет меньше ненулевых компонент, чем вектор.

Вычислим: .

Возможны два случая:

1). Тогда, однако это противоречит оптимальности решения;

2) . Можно считать, что векторимеет хотя бы одну положительную компоненту (в противном случае вместорассмотрим вектор). Тогда вновь. Получим:

, (28)

т. е. является оптимальным решением задачи (23), однако число ненулевых компонент вектораменьше, чем у вектора, а это противоречит определениюкак оптимального решения с наименьшим числом ненулевых компонент.

Полученные в обоих случаях противоречия доказывают, что  базисное решение. Теорема доказана.

Теорема 3 (теорема о конечности множества базисных решений). Если каноническая задача ЛП (23) разрешима, то множество ее базисных решений конечно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть х и  два различных базисных решения задачи (23). Покажем, что существует такой номер j, что j-я координата одного из векторов х или равна нулю, а у другого отлична от нуля.

Действительно, если предположить противное, т. е., что все координаты векторов х и , имеющие одинаковые номера, либо одновременно равны нулю, либо отличны от нуля, то можно считать, что

, (29)

где , но не всеравны нулю, так какх и предполагаются различными базисными решениями,.

Рассмотрим:

, (30)

так как х и  допустимые решения задачи (23). Следовательно, система векторов является линейно зависимой, а это противоречит тому, чтох и  базисные решения.

Доказанное свойство базисных решений позволяет утверждать, что число базисных решений разрешимой канонической задачи ЛП (23) не превосходит числа векторов длины n с компонентами, равными нулю или единице, которое, в свою очередь, не больше числа , т. е. конечно. Теорема доказана.

Из теорем 2 и 3 вытекает, что оптимальное решение канонической задачи ЛП можно искать перебором базисных решений, число которых конечно. Эта идея и лежит в основе излагаемого далее метода последовательного улучшения базисного решения, называемого симплекс-методом.

СПЕЦИАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Рассмотрим систему линейных уравнений, входящую в ограничения канонической задачи ЛП (23). Матрицу коэффициентов левых частей уравнений этой системы обозначим А.

Определение 9. Система линейных уравнений называется системой с базисом, если в каждом уравнении имеется переменная, которая входит в это уравнение с коэффициентом 1 и отсутствует в остальных уравнениях. Такие переменные называются базисными, остальные  небазисными.

Матрицу А системы с базисом с помощью перенумерации переменных можно привести к виду:

. (31)