1.3 Статистико-вероятностные зависимости надежности технических устройств.

Для оценки надежности технических устройств разрабатываются различные аналитические модели на базе непрерывных дискретных распределений случайных величин. Наиболее употребимыми являются непрерывные распределения.

В самом общем случае эти зависимости можно представить

1. функцией надежности, называемой функцией вероятности о безотказной работы объекта в момент времени t [4, 5]:

(1.1)

где P(t) – вероятность безотказной работы объекта в момент времени t; Tg – время, по истечении которого P(t) = 0 (предельный ресурс работы объекта); λ(t) – функция интенсивности отказов [4, 5];

2. функцией надежности, называемой также функцией распределения вероятности отказов объекта в момент времени t:

(1.2)

Часто в качестве модели используется плотность вероятности, представляющая собой первую производную от функции вероятности отказов:

(1.3)

Вид функций распределения, который называют законом распределения, определяется функцией интенсивности отказов. Самый простой случай будет иметь место при λ(t)= λ = Const. (1.4)

В этом случае будет иметь место так называемое экспоненциальное распределение. Его уравнения имеют вид

(1.5)

Геометрический вид функции экспоненциального распределения приведен на графиках (рис. 1.7). Экспериментальная информация предоставляется в виде протоколов испытаний или в виде гистограмм.

Рис. 1.7

Гистограмма интенсивности λ_N(t), определенная экспериментально (рис. 1.8), с достаточно хорошей точностью показывает, что λ_N(t) ≠ Const, распределение практически не является экспоненциальным, Методика обработки информации и построения подобных гистограмм будет рассмотрена ниже.

Рис. 1.8

Интенсивность отказа, выражение степенной функции вида

, (1.6)

приводит к распределению Вейбулла – Гнеденко [4, 5, 9].

(1.7)

В формулах (1.6) и (1.7) μ и α – параметры распределения. Распределения Вейбулла – Гнеденко практически позволяет путем подбора параметров μ и α описать большинство кривых.

Видно (рис. 1.9), что экспоненциальное распределение является частным случаем распределения Вейбулла – Гнеденко при α = 1.

Для оценки надежности применяется и нормальное распределение. Его основные аналитические зависимости следующие:

(1.8)

(1.9)

В формулах (1.8) и (1.9) T₀ , σ – параметры распределения.

Рис. 1.9. Вид кривой интенсивности отказов распределения Вейбулла – Гнеденко при различных значениях α.

В работе [6] показано, что детерминированные и статические зависимости для одних и тех же условий старения являются подобными. В общем виде функция работоспособности имеет вид.

(1.10)

где R_o – начальный запас работоспособности; λ_r(t) – детерминированный аналог интенсивности отказов. Детерминированная функция старения имеет следующий вид:

(1.11)

Уравнение (1.10) и (1.11) подобны уравнениям (1.1) и (1.2), константой подобия является R_o.

Краткое знакомство с информацией о надежности и работоспособности, а также об их взаимосвязи и подобии еще раз подчеркивает важность научных способов обработки, в том числе и аппроксимации.

2. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ АППРОКСИМАЦИИ ГРАФИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

   1. Общие сведения.

Аппроксимация в качестве своих составных элементов предусматривает два комплекса приемов.

1.Установление и формирование общего вида и структуры уравнений. Определяется вид, число членов и структура уравнения.

2.Вычесление по экспериментальным данным параметров формул, дающих наилучшее приближение к результатам эксперимента.

Большинство современных работ [2, 10 - 12], рассматривая вопросы аппроксимации, в качестве формул принимают алгебраические уравнения: полином Лагранжа, степенную, показательную и другие функции. Необходимо отметить, что до настоящего времени не разработано алгоритма “угадывания” вида формул и ее структуры. Специалисту, занимающемуся аппроксимированием, необходимо знать вид и структуру уравнений, используемых в той области науки и технике, которой он занимается, и нередко интуитивно применять их.

Как известно, уравнениями работоспособности и надежности являются трансцендентные функции. В данной работе рассматриваются непрерывные дифференцируемые трансцендентные функции.

Особенности этих уравнений заключаются в их трудной разрешимости относительно искомых параметров. В ряде случаев возможны только приближенные решения.

Для нахождения параметров выбранных уравнений в настоящие время применяются способ выбранных точек, метод выравнивания кривых и метод наименьших квадратов [10, 12].

2. Способы выбранных точек.

Сущность названного способа заключается в следующем. На аппроксимируемой кривой произвольно выбирается ряд точек таким образом, чтобы их количество в 1,5 – 2 раза превышало число неизвестных параметров уравнения. Для них записывается система уравнений:

(2.1)

В уравнениях (2.1) y_i, x_i – известные значения аргумента и функций, соответствующие выбранным точкам на графике; α, β, γ – искомые параметры уравнения. Решая уравнения (2.1) относительно искомых параметров, устанавливают их численные значения:

(2.2)

и т.д.

Способ выбранных точек имеет невысокую точность, так как точки выбирают наугад. В соответствии с принципом Лежандра [10] параметры α, β, γ по уравнениям (2.1) вычисляются 2 - 3 раза, для чего выбирается избыточное число точек. Способы вычисления и уточнения полученных результатов будут рассмотрены ниже.

3. Методы выравнивания кривых.

Данный метод является существенно более точным, но имеет ограниченное применение. Сущность его заключается в преобразовании уравнения для понижения порядка или приведения уравнения к известному. Наиболее простым и применяемым способом является линеаризация. Например, нелинейное уравнение вида

(2.3)

заменой переменных можно привести к виду

(2.4)

Уравнение (2.4) представляет собой прямою линию и его параметр легко определяется.

К этому же методу можно отнести более сложные замены экспериментальной кривой, например аппроксимацию параболой, окружностью и т. д.

4. Метод наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов имеет репутацию наиболее точного, но и более трудоемкого с точки зрения техники вычислений. И в этом случае предполагается, что вид уравнения известен:

(2.5)

Должны быть вычислены также все отклонения от средних значений функции при соответствующем значении аргумента:

(2.6)

Наилучшими коэффициентами α, β, γ считаются те, при которых сумма квадратов отклонений будет минимальной.

(2.7)

Используя условия экстремума, можно получить нормальную систему уравнений для определения коэффициентов:

(2.8)

Значения α, β, γ удовлетворяющие уравнению (2.8), будут искомыми коэффициентами.

3. ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИМЕРЫ АППРОКСИМАЦИИ КРИВЫХ РАБОТОСПОСОБНОСТИ И НАДЕЖНОСТИ.

1. Линейная аппроксимация экспериментальных кривых.

Аппроксимация экспериментальных кривых старения уравнениями прямых известно уже давно. Особенно часто оно применяется для аппроксимации кривых износа. Кривую линию или семейство экспериментальных точек заменяют прямой линией (рис. 3.1 экспериментальные кривые выполнены пунктиром, а аппроксимирующие сплошными линиями).

В ряде случаев экспериментальную кривую заменяют прямой 1, проходящей через начало координат (рис. 3.1).

В этом случае аппроксимирующее уравнение будет иметь вид:

y =K x (3.1.)

где

K = γ_ср = tg β (3.2.)

является средней скоростью старения объекта.

Рис.3.1.

При вычислениях необходимо иметь в виду, что соотношение (3.2) справедливо, если масштабы по осям x и y будут одинаковы. В противном случае коэффициент “К” будет пропорционален tg α, но не равен.

Параметр уравнения γ_ср находится непосредственно по графику измерением угла β, или по измеренным абcциccе x_i и ординате y_i, с последующим вычислением γ_ср = x_i / y_i.

Более сложной является аппроксимация уравнением прямой 2, не проходящей через начало координат (рис. 3.1). Уравнение этой прямой имеет вид

y =a₀ + K x (3.4)

где К – имеет тоже смысл, что и в уравнение (3.1), параметр легко находится из графика 2 (рис. 3.1). При x = 0, y = a₀.

Необходимо иметь в виду, что на интервале x₁ расчет по уравнению (3.4) будет иметь значительную погрешность. На этом участке линейная аппроксимация является неприемлемой.

Можно для аппроксимации воспользоваться и уравнением прямой, проходящей через две точки. Если на кривой 2 (рис. 3.1) выбрать две точки m и n, то уравнение аппроксимации прямой можно записать в виде

(3.5)

Параметры K и α, можно выразить следующим образом:

(3.6)

(3.7)

Линейная аппроксимация в задачах надежности и работоспособности применяется для нахождения параметров ряда линейных распределений, плотностей, интенсивности и их детерминированных аналогов. Линейная аппроксимация широко применяется в силу своей просторы и доступности. Однако это представление маскирует сущность происходящих явления и на ряде интервалов по оси абсцисс является весьма неточным.

2. Аппроксимация простейших кривых с одним участком наибольшей кривизны.

К простейшим кривым относятся кривые старения или работоспособности, имеющие один участок наибольшей кривизны (рис. 1.1). Они могут быть выпуклы как вверх, так и вниз. Это не имеет принципиального значения для нахождения величины параметров.

По геометрическому виду кривая h_g (рис. 3.2.) – это неполная кривая износа с одним участком наибольшей кривизны. Кривая стремится к некоторой постоянной величине h – асимптоте.

Рис. 3.2

Следовательно, физически h представляет собой начальный запас физических возможностей объекта, а кривая h_g показывает количество израсходованных физических свойств объекта в любой момент времени. Символ будет иметь смысл начального запаса материала (объема, линейной величины), конструктивно предназначенного для износа от начала эксплуатации до полного выхода изделия из строя.

Поэтому кривая h_g названа детерминированной кривой старения [6].

Кривая r_g, называемая кривой работоспособности объекта [6], является дополняющей кривой к h_g. Это означает, что в любой момент времени выполняется следующее условия:

r_g + h_g = h₀ = Const. (3.8)

Из этого краткого анализа следует, что, аппроксимируя кривую h_g или r_g, можно решить ряд задач и в первую очередь задачу вычисления начального уровня работоспособности по результатам эксперимента.

Рассмотрим ряд соображений по определению (“угадыванию”) структуры уравнений работоспособности и старения. Из литературы [4 – 6, 9] известно, что основным уравнением непрерывных законов работоспособности и надежности является уравнение

(3.9)

При R₀ = 1 уравнение (3.9) будет являться статистической функцией надежности – вероятности безотказной работы.

Вид кривой определяет подлинность подинтегральной функцией λ_r(t). Как указывалось выше, большинство экспериментальных кривых работоспособности и надежности можно аппроксимировать распределением Вейбулла – Гнеденко. В табл. 3.1 приведены основные уравнения старения и работоспособности, выведенные при условии, что старение подчиняется закону Вейбулла – Гнеденко.

Анализ показывает, что практически любые виды кривых могут быть описаны приведенными уравнениями. Рассмотрим конкретный пример аппроксимации.

По геометрическому виду кривая b (рис. 3.3) – это неполная кривая износа. Предполагаемым уравнением при α = 1 может быть экспоненциальное уравнение (табл. 3.1)

(3.10)

Рис 3.3

Аппроксимирование будет заключаться в отыскании значений h₀, и λ, наилучшим образом описывающих экспериментальную кривую. Оно может осуществляться различными приемами и технологией вычислений. Как правило, результаты вычислений будут нередко существенно отличаться друг от друга. Задача вычислений найти наиболее точный вариант вычисления искомых параметров.

Таблица. 3.1

Виды кривых аппроксимирующие формулы при процессах работоспособности и старения, описываемых законом Вейбулла – Гнеденко и экспоненциальным.

Примеры кривых и формул старения	Примеры кривых и формул	Примеры кривых безразмерной скорости старения	Значения параметров для данного вида кривых
			Геометрический параметр 0 < α ≤ 1 Масштабный параметр μ > 0
			α > 2, μ > 0
			1 < α < 2, μ > 0

Геометрический вид кривой определяет экспоненциальная структура уравнения и частично параметр λ. Параметр h₀, с геометрической точки зрения является асимптотой и с хорошей степенью точности может быть принят из графика. Из графика (рис. 3.3) определяем h₀ = 0,64.

Для определения λ воспользуются методом выбранных точек (рис.3.3). Выбираем пять точек; точки следует выбирать на участке с наибольшей кривизной.

В соответствии с принципом Лежандра [10] число точек должно быть больше числа разыскиваемых неизвестных. Это необходимо для уточнение вычисленных значений параметров.

Первый вариант нахождения параметров уравнения.

Запишем в общем виде для выбранных на графике точек (рис. 3.3) уравнения (3.10):

(3.11)

Определим λ из двух соседних уравнений (3.11):

(3.12)

После преобразования получим

(3.13)

Обозначим x₁ = - λ t₁; x₂ = - λ t₂ и подставим в уравнение (3.14):

(3.14)

Приближенное решение уравнения (3.14) можно получить, разложив в ряд и взяв два значащих члена:

(3.15)

После подстановок и преобразований получим

(3.16)

Данное решение является весьма приближенным, и наилучшее приближение имеет место на начальном участке кривой.

Данные расчета λ_i по формуле (3.16) приведенные в таблице 3.2.

Таблица 3.2

№№ точек	ti	hi	λi	Проверочный расчет по уравнению				Разность вычисленных и измерен. значений	%
				ti 2,42			hi
1	0,125	0,23	3,4	0,3025	0,7389	0,2611	0,167	-0,063	27,4
2	0,25	0,33		0,605	0,5461	0,4539	0,290	-0,04	12,1
1	0,125	0,23	2,39	-	-	-	-	-	-
3	0,5	0,43		1,21	0,2982	0,7018	0,449	+0,019	4,4
1	0,125	0,23	1,45	-	-	-	-	-	-
4	1,0	0,55		2,42	0,0889	0,9111	0,583	+0,033	6,0
1	0,125	0,23	0,127	-	-	-	-	-	-
5	2,5	0,62		6,05	0,0023	0,9977	0,638	+10,018	2,9

Как видно из табл. 3.2 значения λ_i увеличиваются при приближении точек к началу координат. Это следует из математической сущности разложения в ряд. Аппроксимирующая кривая а (рис. 3.3) построена по уравнению (3.10) при h₀ = 0,64, λ_i = 3,4. Она прошла выше экспериментальной. При h₀ = 0,64, λ_i = 1,45 кривая с (рис. 3.3) прошла ниже экспериментальной. Отбросим значения λ_i = 0,127, как явно выпадающее из ряда других, и определим среднее арифметическое

(3.17)

При λ = 2,42 имеет место наилучшее приближение к результатам эксперимента (рис 3.3, показанного крестиками). Аппроксимирующее уравнение будет иметь вид

(3.18)

Первая производная

(3.18)

В табл. 3.2 приведены результаты контрольного расчета значений по уравнению (3.18). Как видно из сравнения вычисленных и измеренных значений, наблюдаются существенное несовпадение, особенно на начальном участке кривой.

Алгоритм аппроксимации для вышеприведенного примера будет содержать следующие приемы:

1. По результатам эксперимента строится кривая и осуществляется ее геометрическое аппроксимирование (проводится линия, наилучшим образом соединяющая точки).

2. Определяется асимптота h_o из графика. Можно h_o вычислить решением любого уравнения (3.11), но после определения и усреднения λ.

3. Выбираются точки, не менее четырех, таким образом, чтобы большинство их были на участке с наибольшей кривизной. Составляется таблица значений t_i и h_i.

4. Вычисляются значения λ_i для различных пар точек по уравнению (3.16) и заносятся в табл. 3.2.

5. Резко отличные значения λ_i отбрасываются, по остальным вычисляется среднеарифметическое.

(3.19)

6 Для проверки или определения h_o, если это необходимо, можно воспользоваться уравнением

(3.20)

Второй вариант расчетов

Первый вариант аппроксимации показал, что для повышения точности аппроксимирования в первую очередь наиболее важно определить величину h_o – координату горизонтальной асимптоты. К сожалению, соответствующий раздел математически разработан очень слабо.

Асимптоту можно с достаточной точностью определить из графика (рис. 3.3). В этом случае уравнение (3.10) можно преобразовать следующим образом:

откуда

(3.21)

В табл. 3.3 приведены результаты расчета h_i и λ_i по уравнению (3.21) и проверочные вычисления.

Таблица 3.3

№№ точек	ti	hi		λi	Проверка
					2,4 ti		hi расч	Разность Значений изм. и расч.
1	0,125	0,23	-0,4447	3,55	0,3	0,7408	0,165	-0,065
2	0,25	0,33	-0,7236	2,89	0,6	0,5488	0,288	-0,042
3	0,5	0,43	-1,1147	2,23	1,2	0,3011	0,447	+0,017
4	1	0,55	-1,9589	1,95	2,4	0,0907	0,582	+0,032
5	2,5	0,62	-3,4420	1,37	6,0	0,0024	0,638	+0,018

Как видно из приведенных данных, результаты получились близкими полученными по первому варианту и практически с таким же несовпадением с измеренными значениями.

Третий вариант

К нему необходимо прибегнуть, если не устраивает точность аппроксимации по первым двум вариантам. Попробуем повысить точность аппроксимации, усложним уравнение (3.10) с помощью распределения Вейбулла – Гнеденко [4]:

(3.22)

Преобразуем уравнение (3.22) к виду

(3.23)

Поделим уравнения двух соседних точек друг на друга, прологарифмируем еще раз

(3.24)

отсюда

(3.25)

По формуле (3.25) произведен расчет α_i и α_ср кривой (рис.3 3) при h_o = 0,64, результаты приведены в табл. 3.4.

Таблица 3.4

№№ точек	ti	hi						αi
1	0,125	0,23	-0,4447
2	0,25	0,33	-0,7236	2,0	0,30103	1,6272	0,2114	0,702
3	0,5	0,43	-1,1147	2,0	0,30103	1,5405	0,1876	0,623
4	1	0,55	-1,9589	2,0	0,30103	1,7573	0,2448	0,813
5	2,5	0,62	-3,4420	2,5	0,39794	1,7571	0,2447	0,615

Из уравнения (3.23) следует, что

(3.26)

В тбл.3.5 приведен расчет μ_i по формуле (3.26).

Таблица 3.5

№№ точек	ti	hi			μi	Проверка
						1,87ti0,69	hi	Разность Значений изм. и расч.
1	0,125	0,23	-0,4447	0,2381	3,55	0,4452	0,230	0
2	0,25	0,33	-0,7236	0,3842	2,89	0,7184	0,328	0,002
3	0,5	0,43	-1,1147	0,6198	2,23	1,1590	0,4391	0,009
4	1	0,55	-1,9589	1,0	1,95	1,87	0,5413	0,0087
5	2,5	0,62	-3,4420	1,8818	1,37	3,5189	0,6210	0,001

Искомое уравнение:

Как видно из данных (табл. 3.5), несовпадения результатов измерения и расчета по уравнению не превышает 2%, что позволяет считать точность аппроксимации очень высокой.

3. Аппроксимация кривой интенсивности отказов.

Рассмотрим еще одну разновидность кривой старения. На рис. 3.4 приведена экспериментальная кривая интенсивности отказов распределения Вейбулла – Гнеденко.

Как известно, структура формулы будет иметь вид

(3.27)

причем предварительно можно указать, что 0 < α <1.

Для аппроксимации воспользуемся методом выравнивания. Для этого нанесем экспериментальные данные на двойную логарифмическую сетку (рис. 3.5). Видно, что точки расположились на прямой лини. В этом состоит и сущность выравнивания, т.е. замены сложной кривой более простой прямой линий.

Прологарифмируем уравнение (3.27):

(3.28)

Уравнение (3.22) является уравнением прямой линии, не проходящей через начало координат. Выражение в скобках является угловым коэффициентом. Следовательно, измерения углов β (рис.3.5) получим

Рис. 3.4. Пример аппроксимации кривой интенсивности отказа.

Рис. 3.5. Аппроксимация кривой интенсивности отказов

методом выравнивания.

( 3.29)

откуда α = 0,3506.

Получим этот же результат методов выбранных точек (рис.3.4). Для этих точек уравнение (3.27) запишется следующей системой уравнений:

(3.30)

Из любых двух уравнений системы (3.30) следует, что

(3.31)

Данные вычисления α по уравнению (3.31) приведены в табл. 3.6.

Таблица 3.6

№№ точек
1; 2	1,285	0,1099	0,65	-0,1871	0,413
2; 3	1,59	0,2014	0,5	-0,3010	0,331
3; 4	1,57	0,1959	0,615	-0,2111	0,073
4; 5	2,045	0,3096	0,325	-0,4881	0,366

Воспользовавшись уже известной рекомендацией об отбрасывании выпадающего значения, определим среднее значение α.

α_ср = 0,370 (3.32)

Разность с полученными значениями α составляет меньше 1⁰ т.е. находится в пределах точности измерения угла на графике (рис. 3.5).

Значение μ можно вычислить по уравнению.

(3.33)

По данным (рис. 3.4 и табл. 3.6) значение μ вычислены по формуле (3.33) и приведены в табл. 3.7.

Таблица 3.7

№№ точек	1	2	3	4
μ	0,3060	0,3122	0,3037	0,2624

Отбросив значения 0,2624 и, вычислив среднеарифметическое, получим

μ_ср = 0,3073 (3.34)

При использовании метода выравнивания удобно выбрать точки А и Б (рис. 3.5), для которых уравнение (3.28) записывается в виде

(3.35)

Сложив оба уравнения, легко можно выразить μ.

(3.36)

Как видно из приведенного выше примера, метод выравнивания значительно точнее и менее трудоемок. Необходимо отменить, что не всегда удается линеаризовать аппроксимируемое уравнение или экспериментальную кривую. Разыскиваемое в приводимом примере уравнение будет иметь вид

.

4. Аппроксимация методом наименьших квадратов.

Для изучения сущности метода наименьших квадратов рассмотрим один простейший пример аппроксимирования.

Экспериментальная зависимость старения простейшего вида (рис 3.6) имеет вид S(t) = k∙t (3.37)

Рис. 3.6. Пример аппроксимации методом наименьших квадратов.

Угловой коэффициент K определяется элементарно:

(3.38)

В формуле (3.38) m_s, m_t – масштабные коэффициенты необходимо тогда, года по осям S и t используются разномасштабные шкалы.

Следовательно, уравнения прямой (рис. 3.6) будет иметь вид

(3.39)

Теперь определим значения параметра К из условия минимума суммы квадратов отклонений аппроксимирующих значений от экспериментальныхS_i.

Это формулируется следующим образом:

(3.40)

В связи с тем, что искомый параметр один, нет необходимости в составлении и решении системы уравнений.

Выразим экспериментальную ординату через абсциссу:

S_i = k t_i (3.41)

подставим в уравнение (3.40):

(3.42)

Наложим на условие (3.42) требования, чтобы оно удовлетворяло всем значениям зависимой S и не зависимой K переменных. Второе требование нахождение минимума суммы квадратов – определим дифференцированием уравнение (3.42) по параметру K и нахождению экстремума приравниванием производной к нулю:

(3.43)

Раскрываем выражение в скобках, после преобразований получим

(3.44)

По уравнению (3.44) вычислим параметр

(3.45)

Для вычисления К составим вспомогательную таблицу (рис. 3.8). Подсчитав полученные суммы (табл. 3.8), вычислим

(3.46)

Отклонений значений K от полученного методом выбранной точки

(3.47)

Это составляет примерно 0,5^° – 0,8^°, т.е. находится в пределах точности измерения угла на графике. Поэтому при использовании угломерного инструмента нужно помнить о невысокой точности измерения.

Таблица 3.8

ti	Si
10	70	55	100	550
25	116	133	625	3325
37	210	200	1369	7400
50	260	270	2500	13500
60	325	325	3600	19500
71	392	383	5041	21193
78	417	430	6084	33540
19319 105008

Точнее получится, если выбрать на прямой (рис.3.6) точку M и измерить абсциссу и ординату:

K = 300 / 56 = 5,357 (3.48)

Таким образом, метод наименьших квадратов дает весьма точные результаты, но он весьма трудоемкий.

Современные цифровые вычислительные машины оснащены стандартной программой «метод наименьших квадратов», что существенно облегчает проведение расчетов.

Хорошие результаты, как было показано выше, дают методы выбранных точек и выравнивания, подкрепленные процедурой уточнения вычислительных параметров.

5. Аппроксимация кривой с тремя неизвестными параметрами

Рассмотрим еще один пример аппроксимирования кривой работоспособности, когда ее уравнение имеет более сложный вид, соответствующий распределению Вейбулла-Гнеденко с темы неизвестными параметрами: α, μ и h.

Экспериментальную кривую (рис. 3.7) будем аппроксимировать уравнением

(3.49)

Для аппроксимации примем метод выбранных точек. На кривой отмечены точки 1, 2, 3, 4, 5.

Преобразуем уравнение (3.49):

(3.50)

Дважды прологарифмируем уравнение (3.50):

Рис. 3.7. Аппроксимация кривой с тремя неизвестными параметрами.

(3.51)

Для выбранных точек составим избыточную систему уравнений.

(3.52)

Из дух первых уравнений системы (3.52) можно получить следующие соотношения:

(3.53)

где

(3.54)

Из любого уравнения системы (3.52) следует, что

(3.55)

где М = 0,4343 – модуль перехода от натуральных логарифмов к десятичным.

В уравнения (3.53) и (3.55) выходит неизвестный параметр h₀, который простыми приемами выделить не удается. Поэтому определим h₀ приближенно из графика (рис. 3.7): h₀ = 50.

Подставляя поочередно в формулу (3.53) значений x_i и y_i на графике, определим величину α. Этот расчет приведен в табл. 3.9. при h₀ = 50.

Таблица 3.9

№№ точек	yi				xi		αi
1	8	-0,0757	3,1254	0,4948	10	0,6996	0,7072
2	21	-0,2366			50
1	8	-0,0757	7,6592	0,884	10	1	0,884
3	31	-0,5798			100
1	8	-0, 0757	9,2338	0,9656	10	1,3010	0,7421
4	40	-0,699			200
1	8	-0, 0757	18,4663	1,2662	10	1,699	0,7452
5	500	-1,3979			500

Вычислим среднюю величину α.

Примем округленное значение α = 0,75 Подобное округление целесообразно, т.к. находится в пределах точности измерений на графике и таблиц экспоненциальных функций.

Значение μ вычисляется по формуле (3.55) при α = 0,75, h₀ = 50 данные расчета приведены в табл. 3.10.

Таблица 3.10

№№ точек	yi		xi		μi
1	8	-0,0757	10	5,37	0,03099
2	21	-0,2366	50	17,38	0,02897
3	31	-0,5790	100	28,84	0,03059
4	40	-0,699	200	93,73	0,01724

Для расчета примем первые три значения:

Для проверки по уравнению (3.49) вычислим ряд значений y (x) при: h₀ = 50 α = 0,75; μ = 0,03 (табл. 3.11).

Таблица 3.11

xi	10	50	100	200	500
yi(xi)	7,815	20,86	30,665	39,905	47,96

Сравнение данных табл. 3.9 – 3.11 говорит о хорошем совпадение результатов. Недостаток этого приема в том, что h₀ определено визуально из графика и в дальнейшем уточнялось.