Образец выполнения контрольной работы № 1
“МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ”
Вычислить определители
а)
Решение. Этот определитель вычислим по правилу диагоналей. Приписываем справа к определителю первый и второй столбцы. Перемножаем элементы, стоящие на главной диагонали и складываем это произведение с аналогичными произведениями элементов, стоящих на диагоналях, параллельных главной. Затем к произведению элементов, стоящих на побочной диагонали, прибавляем аналогичные произведения элементов, стоящих на диагоналях, параллельных побочной. Затем от первой суммы вычитаем вторую. Это и будет искомый определитель.
7 8 9 7 8 |
|
Ответ:
б)
Решение. Решение найдем разложением по первому столбцу, но сначала с помощью свойств определителя сделаем нули в этом столбце везде кроме элемента, равного минус единице.
Для этого элементы второй строки умножим на два и прибавим к соответствующим элементампервойстроки; элементывторой строки прибавим к соответствующим элементамтретьейстроки; элементывторойстроки умножим на два и прибавим к соответствующим элементамчетвертойстроки. Эти действия записываем так:
.
Разложив определитель 4-го порядка по 1-му столбцу, свели его вычисление к нахождению одного определителя 3-го порядка, который можно вычислить по правилу диагоналей, разобранному выше. Можно дальше применить свойства определителя и свести этот определитель к одному определителю 2-го порядка. Продолжаем делать нули теперь уже во второй строке, умножая элементы третьего столбца на и прибавляя к первому и второму столбцам:
=
(-4)
(-4)
Ответ:
Умножить матрицы:
.
Решение. Произведение матриц получили, умножая элементы строк первой матрицы на соответствующие элементы столбцов второй матрицы и складывая их.
Ответ:.
3) Найти обратные матрицы:
а) .
Решение. Сначала находим;, значит, существует матрица. Находим алгебраические дополнения:
Ответ:.
4) Найти двумя способами ранг матрицы: .
Решение.
1 способ. Метод окаймляющих миноров.Находим любой минор второго по
рядка, отличный от нуля, например , по-
этому выписываем другой определитель . Нашелся определитель второго порядка, отличный от нуля, значит ранг. Теперь найдем определитель третьего порядка, окаймляющий найденный.
Берем другой определитель, окаймляющий
, как и предыдущий.
Больше окаймляющих миноров третьего порядка для нет, поэтому ранг А, равный наивысшему порядку минора, отличного от нуля, равен двум.
2 Способ. Метод элементарных преобразований.
.
Получили 2-е нулевые строки. Поэтому ранг А равен 2 (очевидно минор второго порядка ).
Ответ:.
Контрольная работа № 2
“СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ”
ЗАДАНИЕ 1. Решить системы матричным способом и по формулам Крамера:
1. |
а) ; |
б) . |
2. |
а) ; |
б) . |
3. |
а) ; |
б) . |
4. |
a) ; |
б) . |
5. |
а) ; |
б) . |
6. |
а) ; |
б) . |
7. |
а) ; |
б) . |
8. |
а) ; |
б) . |
9. |
а) ; |
б) . |
10. |
а) ; |
б) . |
11. |
а) ; |
б) . |
12. |
а) ; |
б) . |
13. |
а) ; |
б) . |
14. |
а) ; |
б) . |
15. |
а) ; |
б) . |
16. |
а) ; |
б) . |
17. |
а) ; |
б) . |
18. |
а) ; |
б) . |
19. |
а) ; |
б) . |
20. |
a) ; |
б) . |
21. |
а) ; |
б) . |
22. |
а) ; |
б) . |
23. |
а) ; |
б) . |
24. |
а) ; |
б) . |
25. |
а) ; |
б) . |
26. |
а) ; |
б) . |
27. |
а) ; |
б) . |
28. |
а) ; |
б) . |
29. |
а) ; |
б) . |
30. |
а) ; |
б) . |
Задание 2. Решить системы методом Гаусса:
1. |
а) ; |
б) ; |
в) ; |
г) . | |
2. |
а) ; |
б) ; |
в) ; |
г) ; | |
3. |
а) ; |
б) ; |
в) ; |
г) . | |
4. |
а) ; |
б) ; |
в) ; |
г) . | |
5. |
а) ; |
б) ; |
в) ; |
г) . | |
6. |
а) ; |
б) ; |
в) ; |
г) . | |
7. |
а) ; |
б) ; |
в) ; |
г) . | |
8. 8. |
а) ; |
б) ; |
в) ; |
г) . | |
9. |
а) ; |
б) ; |
в) ; |
г) . | |
10. |
а) ; |
б) ; |
в) ; |
г) . | |
11. |
а) ; |
б) ; |
в) ; |
г) . | |
12.
|
а) ; |
б) ; |
в) ; |
г) . | |
13. |
а) ; |
б) ; |
в) ; |
г) . | |
14. |
а) ; |
б) ; |
в) ; |
г) . | |
15. |
а) ; |
б) ; |
в) ; |
г) . | |
16. |
а) ; |
б) ; |
в) ; |
г) . | |
17. |
а) ; |
б) ; |
в) ; |
г) . | |
18. |
а) ; |
б) ; |
в) ; |
г) ; | |
19. |
а) ; |
б) ; |
в) ; |
г) . | |
20. |
а) ; |
б) ; |
в) ; |
г) . | |
21. |
а) ; |
б) ; |
в) ; |
г) . | |
22. |
а) ; |
б) ; |
в) ; |
г) . | |
23. |
а) ; |
б) ; |
в) ; |
г) . | |
24.
|
а) ; |
б) ; |
в) ; |
г) . | |
25. |
а) ; |
б) ; |
в) ; |
г) . | |
26. |
а) ; |
б) ; |
в) ; |
г) . | |
27. |
а) ; |
б) ; |
в) ; |
г) . | |
28.
|
а) ; |
б) ; |
в) ; |
г) . | |
29. |
а) ; |
б) ; |
в) ; |
г) . | |
30. |
а) ; |
б) ; |
в) ; |
г) . |
Задание 3. Решить системы однородных уравнений:
1. |
а) ; |
б) . |
2. |
а) ; |
б) . |
3. |
а) ; |
б) . |
4. |
а) ; |
б) . |
5. |
а) ; |
б) . |
6. |
а) ; |
б) . |
7. |
а) ; |
б) . |
8. |
а) ; |
б) . |
9. |
а) ; |
б) . |
10. |
а) ; |
б) . |
11. |
а) ; |
б) . |
12. |
а) ; |
б) . |
13. |
а) ; |
б) . |
14. |
а) ; |
б) . |
15. |
а) ; |
б) . |
16. |
а) ; |
б) . |
17. |
а) ; |
б) . |
18. |
а) ; |
б) . |
19. |
а) ; |
б) . |
20. |
а) ; |
б) . |
21. |
а) ; |
б) . |
22. |
а) ; |
б) . |
23. |
а) ; |
б) . |
24. |
а) ; |
б) . |
25. |
а) ; |
б) . |
26. |
а) ; |
б) . |
27. |
а) ; |
б) . |
28. |
а) ; |
б) . |
29. |
а) ; |
б) . |
30. |
а) ; |
б) . |