- •Описание опытной установки:
- •Описание устройства:
- •Описание устройства:
- •Описание устройства:
- •Проведение опыта:
- •Обработка результатов опыта:
- •Отчет по работе:
- •2. Максимально возможная ошибка одного измерения
- •3. Повышение точности и вычисление вероятной ошибки при многократных измерениях.
- •Список литературы.
Отчет по работе:
Отчет по работе должен включать следующие пункты:
-
Титульный лист.
-
Наименование и цель работы.
-
Схему опытной установки.
-
Таблицу наблюдений.
-
Обработку результатов опыта.
-
Определение погрешности измерений основных величин.
-
Выводы.
Лабораторная работа №7
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОШИБКИ ИЗ ВЕЛИЧИНЫ.
1. Систематические и случайные ошибки
Измеряя какую-нибудь физическую величину, не удается получить ее истинное значение. Поэтому необходимо указать, насколько полученный результат может быть близким к истинному значению, т.е. указать, какова точность измерения. Для этого вместе с полученным результатом указывают приближенную ошибку измерения.
Оценивать ошибки необходимо, так как, не зная их величину, сделать определенных выводов из эксперимента нельзя.
Чаще всего с понятием "точность экспериментальных данных" связывают величину максимально возможной ошибки. Так, например, если утверждают, что точность полученных значений плотности 0,2%; то это значит, что величина максимально возможной ошибки в этих данных не превышает 0,25%.
Источники ошибок экспериментальных данных многочисленны, и здесь в первую очередь следует указать на имеющиеся всегда погрешности приборов, используемых при измерениях, несовершенство методики измерения, недостаточно строгое поддержание требуемого режима во время опыта, а также отдельные ошибки самого экспериментатора при работе на установке.
Ошибки измерения принято делить на систематические и случайные.
К систематическим ошибкам относят такие, которые получаются всегда на данной установке; они имеют одну и ту же величину, и в окончательный результат измерений вносят одну и ту же погрешность.
Систематические ошибки лучше всего могут быть обнаружены при сравнивании экспериментальных данных, полученных на различных установках. Некоторые из них могут быть устранены, а другие устранить невозможно. Так, например, ошибка величиной не более 0,04 °С при измерении температуры термометром сопротивления устранена быть не может, так как гарантировать большую точность измерения температуры (при t = 500°С) просто невозможно.
Случайные ошибки проявляются в так называемом разбросе экспериментальных данных. Это означает, что при многократном измерении одной и той же величины на одной и той же установке и с теми же приборами (манометрами, термометрами и т.д.) получаются несколько отличающиеся друг от друга значения.
Влияние случайных ошибок на окончательный результат Измерения . мокко значительно снизить, многократно повторяя измерения и выбирая в качестве окончательного среднее значение из многих полученных.
Полностью исключить случайные ошибки, т.е. полностью избавиться от разброса экспериментальных данных, невозможно: следует стремиться к более строгому поддержанию режима при измерении и тщательному выполнению отсчетов по приборам.
2. Максимально возможная ошибка одного измерения
Необходимо выяснить, как будут влиять ошибки измерения отдельных величин на искомую величину определяемую при помощи формулы. Разберем этот вопрос в общем виде.
Пусть искомая величина W является функцией нескольких (допустим, трех) величин, измеряемых непосредственно в опыте:
w=f(x,y,z) |
(61) |
Если бы ошибки в измерении величин x,y и z были бесконечно малыми, то ошибка в величине w, определялась бы ее полным дифференциалом:
(62) |
В действительности, ошибки в измерения величин x, y и z не будут бесконечно малыми, однако для расчета величины ошибки можно воспользоваться аналогичной формулой, подставляя вместо dx, dy и dz действительно конечные величины ошибок Δx, Δy и Δz.
Итак, получаем:
|
(63) |
где Δw - максимально возможная абсолютная ошибка искомой величины w;
Δx, Δy и Δz - абсолютные ошибки в измерении величины x, y и z
По формуле (63) вычисляется максимально возможная ошибка, поэтому все ее члены берутся по абсолютному значению и суммируются.
В действительности, при проведении измерений ошибка может быть значительно меньше, так как входящие в (63) слагаемые могут иметь разные знаки, однако в наихудшем варианте все три слагаемые будут иметь один и тот же знак, что даст максимально возможную ошибку.
Часто требуется найти максимально возможную относительную ошибку δw=Δw/w . Её можно получить, разделив (63) на W, т.е.:
|
(64) |
Формула (64) является общей, по ней можно вычислить максимально возможную ошибку искомой величины w при любой функциональной зависимости w=f(x,y,z).
Для выражения δw в процентах формулу (64) следует умножить на 100.
В дополнение к общей формуле рассмотрим несколько частных случаев.
Очень часто встречается случай, когда искомая величина w определяется как произведение измеряемых величин x, y и z в различных степенях и постоянной А, т.е.:
w=A·xα · yβ · zγ |
(65) |
Причем α, β и γ могут быть любыми положительными или отрицательными числами. Заметим, что формула (65) охватывает случаи, описанные формулами (61) и (62).
Для функциональной зависимости (65) можно получить более конкретное выражение для подсчета максимально возможной относительной ошибки величины.
Возьмем производные, входящие в (64):
|
(66) |
Подставив в (64) эти значения и значение w по (66), получим:
|
(67) |
Откуда:
|
(68) |
Обозначая относительные ошибки величин, непосредственно измеряемых в опыте:
|
(69) |
Окончательно получаем:
δw=|αδx|+|βδy|+|γδz| |
(70) |
Эта формула еще больше упрощается, если α, β и γ равны единице или единице с минусом. Тогда получим:
δw=|δx|+|δy|+|δz| |
(71) |
Последнее можно сформулировать следующим образом: если искомая величина w является произведением постоянной и измеряемых величин x, y и z в первой или минус первой степени, то относительная ошибка искомой величины w является суммой относительных ошибок этих измеряемых величин.
Разберем другой случай. Пусть:
w = x + y + z |
(72) |
Определим величину максимально возможной относительной ошибки. Согласно (64) получим:
|
(73) |
Однако чаще всего бывает желательно выразить относительную ошибку искомой величины через относительные ошибки величин, измеряемых в опыте, а не через абсолютные, как это сделано в формуле (73).
Для этого преобразуем каждое слагаемое в (73):
|
(74) |
Тогда для функциональной зависимости (72) получим формулу для расчета ошибки:
|
(75) |
Вполне естественно, что формулы (63) - (71) могут быть распространены на любое число переменных.
Величина относительной ошибки искомой величины в (76), (77) и (75) будет выражена в процентах, если δx, δy и δz подставляются также в процентах.
Особо следует остановиться на случае, когда искомая величина w определяется как разность двух измеряемых в опыте величин, т.е.:
w= x – y |
(76) |
Если величины x и у близки друг другу по величине, то вследствие погрешностей этих величин искомое значение w может получиться с очень большой ошибкой, что совершенно неприемлемо.
Разберем следующий пример. Пусть величина x = 50 и измерена с точностью ± 1, т.е. с ошибкой ± 2 %. Пусть величина y = 45 и измерена с точностью также ± 1, т.е. ошибка составляет ± 2,22 %,
Вычислим величину w совместно с максимальной абсолютной погрешностью:
w= x – y = (50 ± 1) – (45 ± 1)= 5 ± 2. |
|
Таким образом, несмотря на то, что погрешность в измерениях x и y так уж велика (2 и 2,22 %), погрешность в искомой величине получается очень большая, т.е.:
|
|
Применяя к этому случаю формулу (81), получаем тот же результат:
|
|
Приведенный пример показывает, что надо крайне осторожно идти на такие измерения, при которых приходится вычитать близкие друг к другу по величине числа.
В таблице. 1 приведены формулы для расчета максимально возможной относительной ошибки для некоторых функциональных зависимостей. В этой таблице через А, В, С, Д; α, β, γ и l обозначены численные коэффициенты, а через x, y, z и υ - величины, непосредственно измеряемые в эксперименте; δx, δy, δz и δυ - относительные ошибки измеряемых величин, а δw - максимально возможная относительная ошибка искомой величины.