- •Министерство образования российской федерации
- •Оглавление
- •1. Правила обработки результатов измерений1
- •Обработка результатов прямых измерений
- •Коэффициенты Стьюдента
- •Погрешности приборов
- •1.2. Обработка результатов косвенных измерений
- •2.Оформление отчетов о лабораторных работах7
- •3. Введение
- •4. Виды измерений
- •4.1. Измерение
- •4.2. Прямые измерения
- •4.3. Косвенные измерения
- •5.Представление результатов измерений
- •5.1. Запись результата измерений
- •5.2. Среднее значение
- •5.3. Истинное значение
- •5.4. Доверительный интервал
- •5.5. Коэффициент надежности
- •6. Виды погрешностей
- •6.1. Абсолютная погрешность
- •6.2. Относительная погрешность
- •6.3. Систематическая ошибка
- •6.4. Случайная ошибка
- •6.5. Промах
- •7. Погрешности измерительных приборов
- •7.1. Предельная ошибка прибора
- •7.2.Класс точности
- •7.3. Ошибка прибора
- •7.4. Ошибка округления прибора
- •7.5. Суммарная ошибка измерения
- •8. Статистическая обработка результатов измерений, содержащих случайную ошибку
- •8.1. Обработка результатов прямых измерений
- •Результаты измерения расстояния шагомером
- •8.2. Распределение Гаусса
- •8.3. Метод Стьюдента
- •8.4. Обработка результатов косвенных измерений
- •9. Приближенные вычисления при обработке экспериментальных данных
- •9.1. Число значащих цифр при определении погрешности
- •9.2. К вычислению суммарной ошибки измерения
- •9.3. О точности вычислений
- •10. Лабораторные работы по статистической обработке результатов измерений
- •10.1. Лабораторная работа Изучение распределения случайной величины. Газ Лоренца
- •Рассеяние шариков периодической решеткой
- •Контрольные вопросы к работе 10.1
- •10.2. Лабораторная работа
- •Игла Бюффона
- •Данные для определения числа π
- •Результаты измерений числа π
- •Дополнение. Решение задачи об Игле Бюффона
- •Результаты измерений числа π
- •Контрольные вопросы к работе 10.2
- •10.3. Лабораторная работа Моделирование измерений, сопровождающихся большой случайной погрешностью
- •Результаты измерения длины листа масштабной линейкой
- •Контрольные вопросы к работе 10.3
- •10.4. Лабораторная работа Пример оценки погрешности косвенных измерений.
- •Данные для определения плотности материала кольца
- •10.5. Лабораторная работа определение плотности твердого тела правильной геометрической формы
- •Контрольные вопросы к работам 10.4 и 10.5
- •11.Как писать отчеты о лабораторных и научно-исследовательских работах и научные статьи [4]
- •Библиографический список
- •Юрий Клавдиевич Братухин Геннадий Федорович Путин обработка экспериментальных данных
Данные для определения плотности материала кольца
Материал - латунь.
Комнатная температура 20° С.
Рис. 10.4.1.
Обозначения размеров кольца
Результат измерения массы кольца m
m= 58.80 г; ω = 100 мг.
Весы технические № 4002.
Таблица 10.4.1
Результаты измерения внешнего диаметра кольца D
Штангенциркуль № П – 44249
i |
Di, мм |
<D>-Di, мм |
(<D>-Di)2, мм2 |
1 2 3 4 5 |
69.1 69.5 69.3 69.3 69.2 |
0.2 - 0.2 0 0 0.1 |
0.04 0.04 0 0 0.01 |
Среднее значение |
69.3 |
- |
- |
Таблица 10.4.2
Результаты измерения внутреннего диаметра кольца d
Штангенциркуль № П – 44249
i |
di,мм |
<d>-di,мм |
(<d>-di)2, мм2 |
1 2 3 4 5 |
51.5 51.5 51.3 51.2 51.3 |
- 0.1 - 0.1 0.1 0.2 0.1 |
0.01 0.01 0.01 0.04 0.01 |
Среднее значение |
51.4 |
- |
- |
Таблица 10.4.3
Результаты измерения толщины кольца h
Микрометр № 1858
i |
hi,мм |
<h>-hi,мм |
(<h>-hi)2,мм2 |
1 2 3 4 5 |
4.03 4.02 4.02 4.01 4.02 |
- 0.01 0 0 0.01 0 |
0.0001 0 0 0.0001 0 |
Среднее значение |
4.02 |
- |
- |
Вычисляем по формуле Стьюдента (8.3.1) случайные ошибки при измерениях внешнего и внутреннего диаметров и высоты кольца. Эти ошибки равными 0.19, 0.17 и 0.0089 мм, соответственно.
Для штангенциркуля в зависимости от цены наименьшего деления нониуса (0.1 или 0.05 мм) погрешность прибора ∆прравна 0.07 или 0.03 мм, а погрешность округления ∆окр- 0.05 или 0.02 мм (см. таблицу 7.1.1). Обе эти ошибки не превышают 0.5∙, поэтому при вычислении полной ошибки по формуле (7.5.1) ими можно пренебречь, поскольку мы договорились записывать полную погрешность с точностью до одной значащей цифры, если эта цифра больше или равна 2.
Покажем это на примере вычисления ошибки ∆D
|
|
Таким образом, поправки, связанные с учетом ∆при ∆окрв этом случае, практически сказываются лишь на второй значащей цифре и могут не вычисляться. В итоге имеем
|
|
|
D= (69.3 ± 0.2) мм |
(p= 0.95), |
(10.4.1) |
|
|
|
d= (51.4 ± 0.2) мм |
(p= 0.95). |
(10.4.2) |
|
|
|
Для микрометра погрешности ∆пр= 0.007 мм и ∆окр= 0.005 мм сравнимы со случайной ошибкойв измерении высотыh, и нам следует учесть их при вычислении ∆h
|
= |
|
= 1.24∙10-21.2∙10-2мм. |
|
Поскольку первой значащей цифрой в погрешности ∆hявляется 1, в соответствии с правилом, изложенным в разделе 9.1, здесь мы записали ошибку ∆hс точностью в две значащих цифры. Однако, если привести окончательный результат в видеh = (4.02 ± 0.012) мм, будет нарушена рекомендация раздела 9.1, требующая, чтобы погрешность приходилась на два последних разряда среднего. Поэтому в нашем примере приходится округлить ошибку ∆hдо одной значащей цифры
|
|
|
h= (4.02 ± 0.01) мм |
(p = 0.95). |
(10.4.3) |
|
|
|
При взвешивании тела, масса которого оказалась равной 58.80 г., для получения приемлемой точности – до четвертой значащей цифры – было вполне достаточно воспользоваться наименьшим разновесом в 100 миллиграммов. Это давало погрешность округления ∆окр= 0.05 г, намного превосходившую погрешность прибора ∆пр= 0.007 г (таблица 7.1.1). Кроме того, при использовании такого весьма большого разновеса разброс данных отсутствовал, т. е. случайная погрешностьбыла равна нулю. Поэтому при вычислении полной погрешности ∆mв формуле (7.5.1) приходилось учитывать лишь погрешность округления, так что
|
|
|
m= (58.80 ± 0.05) г |
(p= 0.95). |
(10.4.4) |
|
|
|
По средним значениям внешнего <D>и внутреннего<d>диаметров, высоты<h>и массы<m>кольца определяем среднюю плотность материала
|
|
(10.4.5) | |
|
|
Ошибку ∆ρкосвенного измерения находим по формуле (8.4.6)
|
|
(10.4.6) | |
|
|
Вычисляем производные:
| |
| |
|
(10.4.7) |
| |
Подставляя эти величины в формулу (10.4.6) и деля результат на <ρ>2, находим:
|
|
(10.4.8) | |
|
|
Отметим характерную особенность вычисления ошибки разности: в окончательной формуле для относительной погрешности результата эта разность оказывается в знаменателе. Поэтому, если уменьшаемое и вычитаемое имеют близкие значения, то это приводит к большим ошибкам. Указанное обстоятельство следует учитывать при планировании эксперимента, заранее предусматривая для таких величин измерения с помощью приборов, обеспечивающих повышенную точность.
Подставляя в последнее уравнение найденные нами ранее средние величины и их погрешности, находим
|
|
|
ρ= (8.62 ± 0.02) г/см3 |
(p= 0.95). |
(10.4.9) |
|
|
|
Табличные значения плотности латуни при температуре 20° С в зависимости от состава охватывают интервал
|
ρ = 8.208.85 г/см3. |
|
См. Таблицы физических величин: Справочник под ред. И.К. Кикоина. М.: Атомиздат. 1976. 1006 с. (См. таблицу с. 121).
Таким образом, результат наших измерений (10.4.9) попадает в указанный в справочнике интервал значений плотности латуни.
Контрольные вопросы к этой работе объединены с вопросами к работе 10.5 и приведены на с. 76.