1) Табличный способ
x |
x1 |
x2 |
x3 |
xn |
y |
y1 |
y2 |
y3 |
yn |
2) Графический способ.
3) Аналитический способ.
y=f(x) =>
Предел функции.
Число b называется пределом функции f(x) при x, стремящимся к a, если всегда из того, что x стремится к a, не принимая значения a, следует, что f(x) стремится к b.
Замечания о пределах.
Существуют пределы слева и справа от точки.
b1 – левый предел ; b2 – правый предел.
!!!!!!!!!ГРАФИК!
Функция имеет предел тогда, когда левое предельное значение равно правому предельному значению.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Определение: для любого M существует
–бесконечно малая функция
- бесконечно большая функция
Основные правила вычисления пределов
1) Предел
2) Предел от суммы 2х функций равен сумме их пределов
3)Предел произведения – аналогично П.2
4) Предел частного – аналогично П.2
Первый и второй замечательные пределы
Натуральные логарифмы.
при
Непрерывность функций.
Функция непрерывна в
Условия непрерывности
1) 2)3)
4)
Если выполняется 2 условие, но не выполняетя 3, то это разрыв 1го рода.
Если f из пределов равен бесконечности, то это разрыв 2го рода.
Блок 6.
Производная функции.
- приращение. x – произвольная точка.
Производная y=f(x) в точке x называется предел отношения приращения функции к прирощению аргумента, при стремлении последнего к нулю.
Физический смысл производной.
Производная функции – это скорость изменения функции.
Дифференциал и его практическое применение.
(I – дифференциал функции)
Производные высших порядков.
Уравнение касательной в точке M на кривой
Уравнение нормали
Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях.
Теорема Роля о корнях производной. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка и на концах x=a и x=b обращается в нуль [f(a)=f(t)=a], то существует внутри отрезка [a;b] по крайней мере одна точка x=c, a<c<b , в которой производная f'(x) обращается в нуль, т.е. f’(c)=0.
Теорема Лагранжа о конечных приращениях.
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри отрезка [a;b] найдётся по крайней мере одна точка c. a<c<b, что f(b)-f(f)=f’(c)(b-a).
Теорема Коши об отношении приращения двух функций.
Если f(x) и - дву функции, непрерывные на отрезке [a;b] и дифференцируемые внутри него, причём нигде внутри отрезка не обращается в нуль, то внутри отрезка [a;b] найдётся такая точка c , a<c<b , что
Раcкрытие неопределённостей вида 0/0 по правилу Лопиталя.
Пусть функции f(x) и на некотором отрезке [a;b] удовлетворяет условию теоремы Коши и обращается в нуль в точке x=a, т.е. тогда, если существует предел отношения
причём
Раcкрытие неопределённостей вида по правилу Лопиталя.
Пусть функции f(x) и непрерывны и дифференцируемы при всехв окрестности точкиa, причём производная не обращается в нуль; пусть, далее,
Тогда существует предел и
Формула Тейлора.
или
Примеры разложения функций по формуле Маклорена.