Блок 2.

Основные понятия аналитической геометрии на плоскости.

Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно-перпендикулярными осями координат X'X и Y'Y. Оси координат пересекаются в точке O, - начале координат.

Формула расстояния между двумя точками на плоскости.

Формула для координат середины отрезка.

Различные виды уравнений прямой на плоскости.

1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

2. Уравнение прямой в отрезках на осях

, где a и b – величины отрезков, отсекаемых на осях.

3. Общее уравнение прямой.

Особые случаи:

1)

2)

3)

4)

5)

4. Нормальное уравнение прямой.

, где p – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а β – угол наклона этого перпендикуляра к оси Ox. Чтобы привести общее уравнение прямой к нормальному виду, нужно все его члены умножить на нормирующий множитель , взятый со знаком, противоположным знаку свободного членаC.

Вычисление угла между двумя прямыми на плоскости.

(прямые расположены относительно друг друга против часовой стрелки)

Условие параллельности.

Условие перпендикулярности.

Формула расстояния от точки до прямой.

Кривая второго порядка – это линия, определяемая уравнением второй степени, которое в общем виде можно записать так:

Окружность – геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое её радиусом.

Уравнение окружности с центром в точке C(a;b) :

Эллипс – геометрическое место точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек F и F1 есть постоянная величина 2a, большая FF1.

Каноническое уравнение эллипса:

Эллипс, заданный этим уравнением, симметричен относительно осей координат.

Параметры a и b – полуоси эллипса.

! ПРИ a>b:

.

.

! ПРИ a<b :

;

Гипербола – геометрическое место точек, разность расстояний от каждой из которых до двух данных точек F и F1 есть постоянная величина 2a (0<2a<F1F).

. Гипербола, заданная этим уравнением симметрична относительно осей координат. Она пересекает ось Ox в точках A(a;0) и A1(-a;0).

Параметр a называется вещественной полуосью, b – мнимой полуосью.

;

Асимптоты:

Гипербола, у которой a=b , называется РАВНОСТОРОННЕЙ. ; асимптоты

Гиперболы иназываютсяСОПРЯЖЁННЫМИ.

Парабола – геометрическое место точек, одинаково удалённых от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы).

1. - Парабола симметрична относительно оси Ox.

; Директриса ;

2. - парабола симметрична относительно оси Oy.

; Директриса ;

Блок 3.

Основные понятия о векторах.

Вектор – это направленный отрезок , в котором точкаA рассматривается как начало, а точка B – как конец.

Коллинеарные векторы – векторы, параллельные одной прямой.

Компланарные векторы – векторы, параллельные одной плоскости.

Равные векторы – 1) имеют равные модули 2) коллинеарны 3) направлены в одну сторону.

Линейные операции над векторами.

1. Умножение вектора на число.

Произведением вектора на число m называется новый вектор, имеющий длину a|m| и направленный одинаково с (при m>0) или противоположно(при m<0).

2. Сложение векторов.

Суммой векторов называется вектор, замыкающий ломаную, построенную из этих векторов.

Правило параллелограмма. Для сложения двух векторов по правилу параллелограмма оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала.

Проекция вектора на ось.

Пусть вектор составляет угол f с осью Ox. Тогда проекция на эту ось определяется формулой:

Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций составляющих векторов на эту ось:

Два замечания о векторах.