Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский государственный национальный исследовательский университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория_линейных_электрических_цепей_Ч1

.pdf

Скачиваний:

299

Добавлен:

30.03.2015

Размер:

3.42 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2818 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

ω 0

R22C − L

5002 4

10−6 −

0,2

=1000

-1

R2C 2 L

5002 (4

10−6 )2

0,2

Входное сопротивление цепи при резонансе

1 2

500 2502

Z вх = R1 +

= 20 +

= 20 +100 = 120 Ом.

1 2

5002 + 2502

ω C

3. При качественном		построе-
нии топографической диаграммы дли-			+j	R I	a
ны векторов напряжений и токов вы-
				1 1	U
бирают произвольными,	а направле-		I
					jX
ния – в зависимости от характера со-			3			L	I	1
				I1
противлений на соответствующих уча-			d	I2	c		+1
стках цепи. Построение удобно начи-

нать с наиболее отдаленных от источ-				Рис. 4..22
ника питания ветвей (рис. 4.22).
Последовательность построения:
Ucd → I2 →	I3 →	I1 → jX L I1 →	R1I1 →	U .
Вектор напряжения на индуктивности			jX L I1	направлен под уг-

лом 90° в сторону опережения тока I1 , а его длина выбрана так, чтобы входные напряжения и ток совпадали по направлению (цепь работает в режиме резонанса). Вектор напряжения R1I1 совпадает по фазе с током

I1 .

Вопросы и упражнения для самоконтроля

1.Как связаны добротность и полоса пропускания резонансного

контура?

2.Справедливо ли утверждение: а) для любой электрической цепи, содержащей R, L, C элементы, резонансная частота определяется

171

по формуле ω 0	= 1 ; б) для любой электрической цепи условие ре-
	LC

зонанса напряжений Xэкв = 0; в) для электрической цепи, содержащей L и C элементы, условием резонанса токов является равенство нулю входного сопротивления соответствующей пассивной цепи?

3. Какое реактивное сопротивление следует подключить последовательно к параллельному участку (рис 4.23), чтобы входное напряжение получившейся цепи совпало по фазе с входным током, если из-

вестно, что Rк = 100 Ом, Lк = 0,2 Гн, С = 10 мкФ, ω = 1000 рад/с.

4. В цепи (рис 4.24) наблюдается резонанс токов. Чему равно показание вольтметра, если R1 = R2 = XL = XC = 2 Ом и напряжение на

входе uвх (t) = 100			2 sin(ω t + 30D) В.
							ХL
							A
U вх	Rк	C	uвх	R1	R2	U вх	CR	V
				V	РисC. 4.13		ХC	V
	Lк			L	РисC. 4.13
	Lк			L
	Рис. 4.23			Рис. 4.24			Рис. 4.25

5.В цепи (рис. 4.25) наблюдается резонанс напряжений. Определить действующее значение входного напряжения и параметры пас-

сивных элементов XL, XC, если известна величина входной активной мощности цепи Р = 432 Вт, а показания вольтметра и амперметра соответственно равны UV = 60 В, IA = 12 А.

6.Цепь настроена в резонанс (рис. 4.26). Известно, что XC =

= 40 Ом, а показания амперметров соответственно I A1 = 10 А и I A2 = 5 А. Определить значения параметров пассивных элементов цепи

XL и R.

7. Цепь (рис. 4.27) настроена в резонанс. Известны показания вольтметров UV1 = UV6 = 60 В; UV2 = 80 В. Определить показания

вольтметров V3, V4, V5.

172

R L C

	R	R
U вх	XL	X	V1	V2	V3
	XL		C
	A1	A2			V5
	A1	A2
	Рис. 4.26			V6
	Рис. 4.26			Рис. 4.27
				Рис. 4.27

8. Цепь настроена в резонанс (рис. 4.28). Определить показание амперметра A0, если R2 = XC, а показания амперметров I A1 = 4 А,

I A2 = 1А.

9. Для цепи (рис. 4.29), настроенной в резонанс, определить показание амперметра, если U = 100e j 45° В, L = 0,1 Гн, С = 10 мкФ,

R1 = 10 Ом, R2 = 40 Ом.

	A1
	A2
E	XL
	R1
	A0

R2	L	C
U		A

R1 R2

Рис. 4.28

Рис. 4.29

173

5.ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ С ВЗАИМОИНДУКЦИЕЙ

5.1.Напряжение на индуктивно связанных элементах цепи

Явление наведения ЭДС в одном элементе цепи при изменении тока в другом называют взаимоиндукцией. Про такие элементы говорят, что они индуктивно (или магнитно) связаны.

	Ф1S	Ф2S		Пусть имеются две катушки
Ф11	Ф1S		(рис. 5.1), по		которым протекают
	Ф21		(рис. 5.1), по		которым протекают
			токи i1	и i2 . В первой катушке W1
			токи i1	и i2 . В первой катушке W1
		Ф22	витков,	во второй –		W2 . При этом
i1		Ф22	между катушками существует маг-
i1		i2	между катушками существует маг-
Ф12			нитная	связь, показанная на
Ф12			рис. 5.1, где обозначено:
	. .55.1.1			–	магнитный		поток,
	Рис			Ф11
созданный током i1		(поток самоиндукции первой катушки);
Ф1S	– часть магнитного потока Ф11 , связанная только с пер-
вой катушкой;
Ф22	– магнитный поток, созданный током i2 (поток самоин-
дукции второй катушки);
Ф2 S – часть магнитного потока Ф22 , связанная только со
второй катушкой;
Ф12 – поток взаимоиндукции –				часть потока		Ф22 ,	которая
связана с первой катушкой;
Ф21 – поток взаимоиндукции –				часть потока		Ф11 ,	которая
связана со второй катушкой.
Первую		катушку	пронизывает		магнитный		поток

Ф1 = Ф11 + Ф12 , вторую катушку – Ф2 = Ф22 + Ф21 . Потокосцепления первой и второй катушек соответственно

174

	ψ	1 = W1Ф11 +W1Ф12 = ψ 11 + ψ 12	,
	ψ	2 = W2Ф22 +W2Ф21 = ψ 22 + ψ	(5.1)
	ψ	2 = W2Ф22 +W2Ф21 = ψ 22 + ψ	21,
где	ψ 11, ψ 22 – потокосцепление самоиндукции соответственно

первой и второй катушек; ψ 12 , ψ 21 – потокосцепление взаимоиндукции соответственно

первой и второй катушек; Соотношения (5.1) справедливы только в том случае, когда

потокосцепления самоиндукции и взаимной индукции совпадают по знаку. При изменении направления тока, например во второй катушке, знаки перед потокосцеплениями взаимоиндукции должны измениться на противоположные. Поэтому формулы (5.1) можно переписать:

=ψ

± ψ	12	,
± ψ		(5.2)
± ψ	21 ,

при этом верхний знак в этих выражениях соответствует «согласному» включению катушек, а нижний – «встречному». Под согласным включением далее будем понимать такое включение индуктивно связанных катушек, при котором между ними образуется положительная магнитная связь, увеличивающая потокосцепление. При встречном включении образуется отрицательная магнитная связь и потокосцепление уменьшается.

Опытным путем установлена связь между токами и потокосцеплениями для катушек без ферромагнитных сердечников,

ψ 11 = L1i1 , ψ 22 = L2i2 , ψ 12 = M12i2 , ψ 21 = M 21i1.

(5.3)

В цепях, которые мы изучаем, M12 = M 21 = M . Здесь L1 , L2 – индуктивность соответственно первой и второй катушек, M – взаимная индуктивность между катушками, измеряемая в Гн.

Степень магнитной (индуктивной) связи двух элементов цепи характеризуется коэффициентом связи K,

175

K 2 =	M 2	=	ψ	21	i1 ψ	12	i2	<1,	(5.4)
	L1L2		ψ 11 i1 ψ			22	i2

т.к. ψ 21 < ψ 11 , а величина K < 1		и ψ		12	< ψ	22 , поскольку ψ 21			и ψ 12 яв-

ляются частью потокосцеплений соответственно ψ 11	и ψ 22 .
В соответствии с законом Фарадея – Ленца	e = −	dψ	. Тогда

		dt

напряжения на первой и второй катушках при изменении тока i(t) :

dψ 1

= L1

di1

± M

di2

= uL ± uM ,

dψ 2

di2

di1

(5.5)

= L

± M

= u

± u

2 dt

M 2

где uL1 , uL2 – напряжение самоиндукции; uM 1 , uM 2 – напряжение взаимоиндукции.

5.2. Одноименные зажимы катушек

Встречное и согласное включение индуктивно связанных элементов (катушек) зависит от направления тока в элементах и взаимного расположения катушек в пространстве.

Два зажима двух индуктивно (магнитно-) связанных элементов цепи называют одноименными, если при одном и том же направлении тока относительно этих зажимов потоки самоиндукции и взаимоиндукции на каждом элементе складываются, что соответствует случаю положительной магнитной связи между катушками. В электрических схемах такие зажимы обозначаются точками (•) или звездочками ( ). Магнитная связь между элементами обозначается дугой со стрелками (рис. 5.2).

	M	M
*	*	* *
	i	i
Согласное включение		Встречное включение

Рис. 5.2

. 5.

176

5.3. Расчет гармонических цепей с взаимоиндукцией

5.3.1. Последовательное соединение индуктивно связанных цепей

Рассмотрим расчет последовательной цепи с взаимоиндукцией на примере схемы, представленной на рис. 5.3, при согласном

включении		индуктивно		связанных		X L	R1
элементов.					*	X L	R1
элементов.					*	1
						1
Комплексные			сопротивления					*
первой	и	второй реальной катушки U						*
первой	и	второй реальной катушки U					M	X L
индуктивности без учета магнитного							M	X L
индуктивности без учета магнитного								2
								2
влияния	катушек		друг	на друга

Z 1 = R1 + jX L1 , Z 2 = R2 + jX L2 .

Уравнение по II закону Кирхгофа для мгновенных значений с учетом индуктивных связей имеет вид

R2 I

Рис..55..33


u = R1i + L1	di	+ M		di	+ R2i + L2		di	+ M	di	=
							dt
	dt			dt					dt
= uR1 + uL1 + uM1			+ uR2 + uL2 + uM 2			,		(5.6)

где uM1 = uM 2 – напряжение взаимоиндукции первой и второй кату-

шек.

В комплексной форме это уравнение имеет вид

	U = R1I + jω L1I + jω MI + R2 I + jω L2 I + jω MI = Uк1	+Uк2 =
	= (R1 + R2 )I + ( jω L1 + jω L2 + 2 jω M )I =	(5.7)
	= (R1 + R2 + j(ω L1 + ω L2 + 2ω M ))I =	(5.7)
	= (R1 + R2 + j(ω L1 + ω L2 + 2ω M ))I =
	= (Rэкв + jω Lэкв )I = (Rэкв + jX L экв )I = Z соглI ,
где	ω M – сопротивление взаимоиндукции, ω M = X M ;
X Lэкв	– реактивное сопротивление при согласном	включении,
X Lэкв	= X L1 + X L2 + 2 X M ;

177

Lэкв – эквивалентная индуктивность при согласном включении маг-

нитно-связанных элементов,		Lэкв = L1 + L2 + 2M ;
U к1	, U к2 – напряжение на	первой и	второй катушках, Uк1 =
= I	(R1 + j(X L1 + X M1 )); U к2 = I (R2 + j(X L2		+ X M 2 )).

U L	U M		1
1			1
	U к1		U R
	U к1		1
				U L	U M	2
				2		2
	U			U	к2		U R
				U			U R
							2
I	Рис. 5.4
	Рис. 5.4
			. 5.4
	X L			R1
	1		*
			*
E					*
E				M	X L
					X L
						2
	R2			I
		Рис. 5.5
		Рис. 5.5

Из приведенных соотношений следует, что при согласном включении индуктивно связанных катушек их суммарное сопротивление больше, чем сумма сопротивлений этих катушек, не включенных по такой схеме.

Векторная диаграмма при согласном включении в соответствии с выражением (5.7) имеет вид, представленный на рис. 5.4.

На рис. 5.5 дана схема встречного включения индуктивно связанных катушек. Для этой схемы справедливо


u = R1i + L1	di	− M		di	+ R2i + L2		di	− M	di	=

	dt			dt			dt		dt
= uR1 + uL1 − uM1			+ uR2 + uL2			− uM 2 .

Или в комплексной форме

U = R1I + jω L1I − jω MI + R2 I + jω L2 I − jω MI = U K1 +U K2 =

	= (R1 + R2 )I + ( jω L1 + jω L2 − 2 jω M )I =	(5.8)
	= (R1 + R2 + j(ω L1 + ω L2 − 2ω M ))I =	(5.8)
	= (R1 + R2 + j(ω L1 + ω L2 − 2ω M ))I =
	= (Rэкв + jω Lэкв )I = (Rэкв + jX Lэкв )I = Z встрI.

178

При этом эквивалентная индуктивность Lэкв и эквивалентное сопротивление X Lэкв при встречном включении

Lэкв = L1 + L2 − 2M , X экв = X L1 + X L2 − 2 X M .

(5.9)

При встречном включении индуктивно связанных катушек их суммарное сопротивление меньше, чем сумма сопротивлений этих катушек, не включенных по такой схеме.

Векторная диаграмма при встречном включении индуктивно связанных катушек дана на рис. 5.6.

При встречном включении может наблюдаться режим, при котором ток на одной из катушек опережает напряжение Uк . Это происходит в случае, если напряжение самоиндукции первой катушки U L1 < U M . При этом говорят, что в такой цепи наблюдается емко-

стный эффект. В этом случае векторная диаграмма имеет вид, представленный на рис. 5.7.

U	L1			U M1			U L
	L1	U M1		U M1			1
	Uк1 U R	U M1		U R
	Uк1 U R	U		U R	U		U	U L
	1	U	L2	1	U		к1	U L
			L2	U M2			к1	2
	U			U M2				U M2
	U	U к2						U M2
		U к2	U	R2	U		U R
				R2	U		2
I						к2
I							I
							I
	Рис. .55.6.6						. 5.7
							Рис. 5.7
	Напряжение первой катушки Uк1						отстает от тока	I , т.е. на-

блюдается емкостный эффект. Однако следует отметить, что напряжение U участка цепи с двумя индуктивно связанными последовательно включенными элементами всегда опережает ток, т.е. такая цепь носит индуктивный характер. Покажем это. Очевидно, что

0 < ( L1 − L2 )2 = L1 + L2 − 2 L1L2 .

179

Отсюда следует,	что L1 + L2 > 2	L1 L2 . Но из соотношения
для коэффициента магнитной связи M <		L1L2 , следовательно,
	2M < L1 + L2 ,
а Lвстр = L1 + L2 − 2M > 0	и X встр > 0 . Из приведенных соотношений

следует справедливость утверждения: цепь с двумя последовательными индуктивно связанными элементами всегда носит индуктивный характер.

5.3.2.Экспериментальное определение полярности взаимной индуктивности индуктивно связанных элементов

Существует несколько способов определения этих параметров. Один из них представлен на рис.5.8.

Если при проведении опытов окажется, что ток в первом

U V

X L

Рис. 5.8

. 5.8

опыте меньше, чем во втором, то первоначально катушки были включены согласно, т.к. Zсогл > Zвстр .

Для определения значения взаимной индуктивности необходимо найти разность согласного и встречного сопротивлений:

Zсогл − Zвстр =	Z согл − Z встр		=\| R1 + jω (L1 + L2 + 2M ) −
− R1 − jω (L1 +		L2 + 2M )\|=	4ω M ,
M =		Zсогл − Zвстр	.	(5.10)
M =		4ω	.	(5.10)
		4ω

180

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2818 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.03.201518.9 Кб18теория государства и права.docx
#
16.04.20191.18 Mб81Теория и методология истории. Курс лекций. Лапт....doc
#
05.08.201939.75 Кб9Теория инноваций.docx
#
30.03.201528.49 Кб15Теория организации. Шпоры.docx
#
26.09.2019116.22 Кб2Теория организации.doc
#
30.03.20153.42 Mб299Теория_линейных_электрических_цепей_Ч1.pdf
#
30.03.201564.36 Кб43терминальные состояния и клиническая смерть.docx
#
11.08.2019242.18 Кб9Термины и понятия по геоморфологии_Анисимов.DOC
#
24.11.2018111.8 Кб3Термины ИГПЗС.docx
#
29.03.2015270.34 Кб14Термины.doc
#
29.03.201553.25 Кб151тест гормоны.doc