Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский государственный национальный исследовательский университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория_линейных_электрических_цепей_Ч1

.pdf

Скачиваний:

299

Добавлен:

30.03.2015

Размер:

3.42 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2813 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

При равенстве сумм комплексных величин суммы их модулей в общем случае не равны друг другу. Отсюда следует, что для полных мощностей S баланс не соблюдается.

3.4.5. Метод контурных токов

Алгоритм расчета цепей гармонического тока методом контурных токов аналогичен рассмотренному при изучении цепей постоянного тока (глава 2.3.2) с поправкой на символический метод.

При решении задачи данным методом составляется система уравнений вида

[Z ij ][Iii ]= [Eii ],	(3.66)
где [Z ij ] – квадратная матрица комплексных	сопротивлений, в ко-
торой

Z ij (i= j ) – собственное комплексное сопротивление i-го контура, Z ij (i≠ j ) – общее комплексное сопротивление i и j контуров; [Iii ] – матрица-столбец контурных токов;

[Eii ] – матрица-столбец контурных ЭДС.

Пример. В цепи на рис. 3.26 гармонические источники ЭДС

e (t) = E

sin(ω t + ψ

) →

= Em1 e jψ 1 ,

e (t) = E

sin(ω t + ψ

)

→

= Em2

e jψ 2 .

Составим систему уравне-

X L

ний для контурных токов:

Z 11 I11 + Z 12 I22 = E11 ,

I 22

+ Z 22 I22 = E22

X C

Z 21 I11

I11

где

Рис. 3.26

121

Z 11 = R1 + R2 − jX C2 ,

Z 22 = R2 + R3 + j(X L3 − X C2

Z 12 = Z 21 = −(R2 − jX C2 ),

E11 = E1 ,

E22 = E2 ,

∆ =

Z 11

Z 12

, ∆ 1 =

E11

Z 12

, ∆ 2

Z 11

E11

Z 21

Z 22

E22

Z 22

Z 21

E22

I1 = I11 ,

I2 = I11 − I22 ,

I3 = I22 .

3.4.6. Метод узловых потенциалов

Алгоритм расчета цепей гармонического тока методом узловых потенциалов аналогичен рассмотренному при изучении цепей постоянного тока (глава 2.3.3) с поправкой на символический метод.

При решении задачи данным методом составляется система уравнений вида

[Y ij ][ϕ i ]= [Jii ],

(3.67)

где [Y ij ] – квадратная матрица комплексных проводимостей, в кото-

рой

Y ij (i = j ) – собственная комплексная проводимость i-го узла,

Y ij (i ≠ j ) – общая комплексная проводимость ветвей, соединяю-

щих i и j узлы;

[ϕ i ] – матрица-столбец потенциалов; [Jii ] – матрица-столбец узловых токов.

Для представленной цепи на рис. 3.26 система уравнений вырождается в одно уравнение, поскольку в цепи два узла.

ϕ 2	= 0, ϕ 1	=	J11	,

			Y 11

122

Y 11

, J11

−

− jX C2

+ jX L3

R1 R2

+ jX L3

− ϕ 1 + E1

I 2 =

ϕ 1

ϕ 1 + E2

R2 − jX C2

R3 + jX L3

3.4.7. Метод наложения

Алгоритм расчета аналогичен, приведенному в главе 2.3.4. Рассмотрим применение этого метода на примере схемы, изображенной на рис. 3.26, которую можно заменить на две составляющие подсхемы (рис. 3.27):

I1'	R1		R3		X L3	I1'	R1	R3 X L3
e1		R2					R2		e2
e1	X C						X C		e2
	X C						X C
		2					2
					Рис. 3.27
	Составляющая тока I1 от действия источника e1:
		'	=			E1
		I1	=	+	(R2 − jX C )(R3 + jX L ) ,
			R1	+		2	3
						2	3
					R2 + R3 + j( X L3		− X C2 )
составляющая тока I1 от действия источника e2:
	"				E2		R2 − jX C2
	I1	=		+	R1 (R2 − jX C2 )		R1 + R2 − jX C2		,
		R3 + jX L3		+	R1 + R2	− jX C2
					R1 + R2	− jX C2

полный ток

I1 = I1′ + I1" .

123

3.4.8. Метод эквивалентного генератора

Алгоритм расчета аналогичен приведенному в главе 2.3.5. Рассмотрим применение этого метода на примере определения

тока I1 схемы на рис. 3.26. На рис. 3.28 представлены схема цепи в

режиме холостого хода (обрыв потребителя в ветви, в которой находят ток) и пассивная схема, в которой удалены источники (напоминаем, что источники исключаются из схемы по следующему правилу: источники ЭДС замыкаются накоротко, а ветви с источниками тока обрываются). Направление напряжения холостого хода U ХХ выбирается в соответствии с выбранным направлением искомого тока (см.

рис. 3.26). Для определения U ХХ

записывается II закон Кирхгофа для

контура, содержащего U ХХ , в соответствии с направлением обхода,

указанным на рис. 3.28.

ХХ

X L

I3x

I2x

X C

Рис. 3.28

UХХ − I3x (R2 − jX C2 ) = E1,

2 x = I3x

R2 + R3 + j( X L3

− X C2 )

вх

= (R2 − jX C2 )(R3 + jX L3 ) , Z

= R ,

I = UХХ .

+ R3 + j( X L3

− X C2 )

Z1 + Z вх

124

			3.5. Задачи и вопросы
				Типовые задачи
	Задача 1.
	Дано:	электрическая цепь,			изобра-		R
женная	на	рис.	3.29,	для	которой	a			b

i(t) = 10sin(314t + 30°) , А;				R = 5 Ом; С =			U R	UC	С
318 мкФ; L = 47,8 мГн.						U
							U L
	Найти:
						d			c
	1) комплексные и мгновенные зна-						L

чения напряжений на элементах схемы;							Рис. 3.29
	2) построить векторную диаграмму

тока и напряжений и топографическую диаграмму напряжений.

Решение

1. Перейдем от мгновенного значения тока к комплексному

(п. 3.3.1).

Комплекс тока: I = Im e jψ i = 10 e j30° А.

2. Найдем комплексные сопротивления реактивных элементов:

		jω L = jX L = j314 47,8 10−3 = j15 Ом;
− j	1	= − jX C = − j	1	= − j10	Ом.

	ω C		314 318 10−6

3. По закону Ома в символической форме (п. 3.3.2) найдем комплексы напряжений на элементах схемы:

U R = RI = 5 7,07e j30° = 35,35e j30° В;

U L = jX L I = j15 7,07e j 30° = 106e j120° В;

UC = − jX C I = − j10 7,07e j 30° = 70,7e− j 60° В.

4. По известным комплексам напряжений найдем мгновенные значения напряжений:

125

uR (t) = 35,35	2 sin(314t + 30°) В;
uL (t) = 106	2 sin(314t +120°) В;
uC (t) = 70,7	2 sin(314t − 60°) В.

5. Векторная диаграмма цепи.

При построении векторной диаграммы (рис. 3.30) векторы на-

пряжений и токов откладываются из

U L начала координат комплексной плоскости.

	I		При	построении	топогра-
U R		фической диаграммы (рис. 3.31) век-
		торы напряжений на элементах цепи
	+1	строятся в той же последовательности,
UC		в какой эти элементы включены в це-
UC		пи. При этом каждой точке схемы со-
		пи. При этом каждой точке схемы со-
. 3.30		ответствуют		определенная	точка на
. 3.30		комплексной плоскости. Принцип то-
Рис. 3.30		комплексной плоскости. Принцип то-
пографичности	выполняется	только		+j
для напряжений.				+j
для напряжений.
Построение топографической			c	UC
диаграммы начинают с того, что по-				UC
диаграммы начинают с того, что по-
тенциал одной из точек цепи прини-				U L U R a	I
мают за 0, а затем, обходя цепь в ка-				b
ком-либо направлении, подсчитыва-				U
ют потенциалы	всех точек	цепи и		d	+1

отображают их на комплексной плос-

кости.	Рис..33..31

ϕd = 0 ;

ϕc = ϕ d + jX L I = 0 + j15 7,07e j 30° = 106e j120° = 106 cos120° +

+j106sin120° = −53 + j91,8 В;

126

ϕ b = ϕ c + (− jX C )I = −53 + j91,8 − j10 7,07e j30° = −53 + j91,8 + + 70,7 cos(−60°) + j70,7 sin(−60°) = −53 + j91,8 + 35,35 − j61,23 = = −17,65 + j30,56 В;

ϕ a = ϕ b + RI = −17,65 + j30,56 + 5 7,07e j 30° = −17,65 +

+j30,46 + 35,35 cos 30° + 35,35sin 30° = −17,65 +

+j30,46 + 30,61 + j17,68 == 12,96 + j48,14 = 50 e j 75° В.

Задача 2.
Дано: электрическая цепь, изобра-		iR	R
женная на рис 3.32, для которой		iR	R
женная на рис 3.32, для которой
iR =1sin(1000t) , А; R = 1 Ом;	i	iL	L
iR =1sin(1000t) , А; R = 1 Ом;	i	iL
L = 1 мГн; С = 500 мкФ.		iC	С
Найти: мгновенное значение тока i
в неразветвленной части цепи и построить			u
векторную диаграмму токов и напряжений.			. 3.32
векторную диаграмму токов и напряжений.			Рис. 3.32
Решение
1. Найдем комплекс тока в ветви с активным сопротивлением:

I R	= 1 e j 0° = 1 A.
	2	2

2. Определим комплексные сопротивления ветвей с реактивными элементами:

X L = jω L = j103 1 10−3 = j1 Ом;

X = − j = − j = − j2 Ом.

Cω C 1000 500 10−6

3.Найдем напряжение на входе цепи (оно является одинаковым для всех параллельно включенных ветвей):

U = RI = 1 1	= 1 В.
2	2

127

4. Определим токи в ветвях с реактивными элементами:

	I L = U = 1			= − j 1 А;
		jX L	2 j1		2
IC	=	U =	1	=	1 j0,5 А.
		− jX C	2 (− j2)		2

1. Найдем комплекс тока в общей ветви по первому закону Кирхгофа:

I = IR + IL + IC =	1 (1 − j + j0,5) =	1	(1 − j0,5) = 1,12 e− j 26,6°	А.
	2	2	2
2. Мгновенное значение тока в общей ветви:
i(t) = 1,12	2 sin(1000t − 26,6°) =1,12sin(1000t − 26,6°)			А.
2
3. Построим векторную диаграмму (рис. 3.33 и 3.34).
+j			+j
IC
	U		U
	I R +1		I R +1
	I		I
I L			IC I L
Рис. 3.33			Рис. 3.34

Построение векторной диаграммы параллельного соединения удобнее начинать с напряжения.

При построении токов параллельных ветвей удобно каждый последующий ток строить из конца предыдущего (см. рис. 3.34).

Задача 3.

Дано: электрическая цепь, изображенная на рис. 3.35, для ко-

торой

e1 = e3 = 20 2 sin 314t В;

128

С1 = С2 = 318,5 мкФ;

R2 = 5 Ом; R3 = 10 Ом. L2 = 16 мГн;

Найти: токи ветвей методом узловых потенциалов и контурных токов.

Решение

Первые два пункта решения осуществляются независимо от выбранного расчетного метода.

1. Зададим положительные направления токов в ветвях.

	e1	С2	e3
	e1		e3
	С1	R2	i3
i1	С1		R3
	i2	L2
	Рис. 3.35
	Рис. 3.35

2. Заменим мгновенные зна-

чения ЭДС, токов и сопротивлений их

комплексными значениями (рис. 3.36):

E1 = E3 = 20 e j 0° = 20 В;

I11

Z 2

Z 1

I22

Z 3

Z 1 = − j

ω C1 = − j

314 318,5 10−6 = − j10

Ом;

= R

+ jω L − j

= 5 + j314 16 10−3 −

. 3. 6

− j10 = 5 + j5 − j10 = 5 − j5 Ом;

Рис. 3.36

Z 3 = R3 =10 Ом.

Метод узловых потенциалов

В цепи (см. рис. 3.36) два узла, поэтому используем метод двух узлов.

3. Выбираем узел 0 опорным (его комплексный потенциал принимаем равным нулю). Система уравнений для узловых потенциалов вырождается в одно уравнение с одним неизвестным потенциалом узла 1:

129

Y 11ϕ 1 = J11

, откуда ϕ 1 =

J11

Y 11

4. Определим коэффициенты уравнения и потенциал узла 1:

J11

= E1 + E3 =

20 + 20 = 2 + j2 = 2 2e j 45° А;

Z 1

Z 3

− j10

Y 11

= j0,1+

5 + j5

+ 0,1 = 0,2 + j0,2;

Z 1

Z 2

Z 3

− j10 5

− j5 10

25 + 25

ϕ= 2 + j2 =10 В.

10,2 + j0,2

5.По закону Ома определим токи в ветвях цепи:


I1	=	E1 − ϕ 1	=			20 −10		= j1 = 1e j 90° А;

		Z 1				− j10
I2	= ϕ 1 =			10 = 2e j 45° А;
		Z 2 5		− j5
I3	=	E3 − ϕ 1		=	20 −10		=1 А.

		Z 3		10

Метод контурных токов

3.Выбираем независимые контуры и задаем направление контурных токов.

4.Записываем уравнения для контурных токов и подготовим численные значения коэффициентов:

	+ Z 12 I22	= E11 ,
Z 11 I11
	+ Z 22 I22	= E22 ,
Z 21 I11

где

Z11 = Z1 + Z 2 = 5 − j15 Ом; Z 22 = Z 2 + Z 3 = 15 − j5 Ом;

Z12 = Z 21 = −Z 2 = −5 + j5 Ом;

E11 = E1 = 20 В; E22 = −E3 = −20 В.

130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2813 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.03.201518.9 Кб18теория государства и права.docx
#
16.04.20191.18 Mб81Теория и методология истории. Курс лекций. Лапт....doc
#
05.08.201939.75 Кб9Теория инноваций.docx
#
30.03.201528.49 Кб15Теория организации. Шпоры.docx
#
26.09.2019116.22 Кб2Теория организации.doc
#
30.03.20153.42 Mб299Теория_линейных_электрических_цепей_Ч1.pdf
#
30.03.201564.36 Кб43терминальные состояния и клиническая смерть.docx
#
11.08.2019242.18 Кб9Термины и понятия по геоморфологии_Анисимов.DOC
#
24.11.2018111.8 Кб3Термины ИГПЗС.docx
#
29.03.2015270.34 Кб14Термины.doc
#
29.03.201553.25 Кб151тест гормоны.doc