Теория_линейных_электрических_цепей_Ч1
.pdf
Изменим частоту генератора или пара- |
I |
||||||
метры катушки индуктивности или емкости так, |
|||||||
чтобы для |
этой |
схемы |
выполнялось |
условие |
|
||
X экв = X L − X С = 0 , |
тогда |
U L +UC |
= jX L I − |
U вх |
|||
− jX C I = 0, |
напряжение |
на |
входе U |
вх = RI = |
|||
|
|||||||
= U R , т.е. ток и напряжение на входе цепи совпа-
дают по фазе. В цепи наблюдается режим резонанса и угол сдвига фаз:
ϕ = arctg X экв = 0 .
R
R
U R |
L |
U L |
|
||
C |
|
|
U C
Рис.. 4.1
(4.2)
Получение резонансных режимов в цепи возможно путем изменения ω , L, С.
Частота ω 0 , соответствующая резонансному режиму, может быть определена из соотношения
ω 0 L = |
ω |
1 |
ω 0 |
= 1 . |
(4.3) |
|
0C |
|
LC |
|
Аналогично определяются резонансные значения индуктивности и емкости:
L |
= |
1 |
, |
С |
|
= |
1 |
. |
(4.4) |
|
|
|
|||||||
0 |
|
ω 2C |
|
0 |
|
ω 2 L |
|
||
Полное сопротивление цепи при резонансе минимально, а ток принимает максимально возможное при заданных параметрах контура
значение, I0 = |
Uвх |
= |
Uвх |
R2 + (X L − X C )2 |
R . |
Полная мощность цепи S = I02 Z = I02 R = P , т.е. равна мощности, выделяемой на активном сопротивлении.
151
|
|
|
|
|
|
1 |
На рис. 4.2 представлена век- |
|
U = jIω L |
|
|
|
торная диаграмма, которая соответст- |
||||
|
|
|
UC = − j |
|
|
I |
вует режиму резонанса. Графики из- |
|
L |
0 |
|
ω |
|
||||
|
|
|
|
|
0C |
менения во времени тока и напряже- |
||
|
|
|
|
|
|
I |
||
|
|
|
|
|
|
ний представлены на рис. 4.3 ( ψ i = 0 ). |
||
U R |
= IR |
|
|
|
|
|
В каждый момент времени |
|
|
|
|
Рис. 4.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.2 |
|
|
|
|
U L +UC = 0 , U L = UC , т.е. напряжение |
|
|
|
|
|
|
|
||
на индуктивности и напряжение на емкости находятся в противофазе, и происходит их компенсация.
Учитывая, что ω 0 = 1 , получаем сопротивление реактивных
LC
элементов |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
LC |
|
L |
|
|
ω 0 L = ω 0C = |
LC L = |
C |
= |
C = ρ |
, |
(4.5) |
где ρ – характеристическое, или волновое сопротивление резонансного |
||||||
контура, измеряемое в омах. |
|
|
|
|
|
|
u, i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uL(t) |
|
|
|
|
i(t) |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
uC(t) |
|
|
|
Рис. 4.3 |
|
|
|
|
|
Отношение напряжения на реактивных элементах (U L |
и UC ) к |
|||||
напряжению на входе в режиме резонанса называют добротностью |
||||||
контура: |
|
|
|
|
|
|
Q = U L |
= UC = ω 0 L I0 |
= |
I0 |
= ρ . |
(4.6) |
|
Uвх |
Uвх |
R I0 |
|
ω 0CI0 R R |
|
|
152 |
|
|
|
|
|
|
Чем больше волновое сопротивление ρ и чем меньше активное
сопротивление в цепи, тем выше напряжение на реактивных элементах по сравнению с напряжением на входе контура. Это обстоятельство определяет наличие избирательных свойств контура. В радиотехнических устройствах добротность контуров, состоящих из катушек индуктивности и конденсаторов, может принимать значения в пределах 200 – 500.
4.1.1. Энергетические процессы при резонансе
Рассмотрим распределение электрической и магнитной энергий в резонансном контуре. Пусть в последовательной цепи, состоящей из
элементов R, L, C, |
протекает ток i(t) = Im sin ω 0t , тогда напряжение на |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
емкости uC (t) = UCm sin |
ω 0t − |
|
= −UCm cos ω |
0t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Магнитная |
энергия |
индуктивности W |
|
= |
Li2 |
= |
LIm2 |
|
sin 2 ω |
|
t . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
магн |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Энергия, |
накопленная |
|
на |
емкости |
|
W |
= |
CuC2 |
= |
= |
CUCm2 |
cos2 ω |
|
t . |
По- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
эл |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
скольку |
U |
|
= |
|
Im |
= I |
|
L |
, |
то W |
эл |
= |
CI m2 |
|
L |
cos2 |
ω |
|
|
t = |
|
LIm2 |
cos2 ω |
|
t . |
|
В |
|||||||||
Cm |
ω |
0C |
m |
C |
|
|
0 |
|
2 |
|
0 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
каждый момент времени суммарная энергия контура в режиме резонанса
W = W |
+W = |
LIm2 |
sin2 ω |
|
t + |
|
LIm2 |
cos2 ω |
|
t = |
LIm2 |
= const , (4.7) |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
||||||||
магн |
эл |
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
аналогично можно показать, |
что W = |
СU m2 |
= const , т.е. сумма энергий |
||||||||||
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
магнитного и электрических полей с течением времени не изменяется. Уменьшение энергии электрического поля сопровождается увеличением энергии магнитного поля и наоборот. Таким образом, наблюдается непрерывный процесс перехода энергии из электрического поля в магнитное поле и наоборот. Вся энергия, поступающая в контур от источ-
153
ника, в любой момент времени целиком переходит в тепловую энергию |
|||||||||
на резисторе. Поэтому для источника контур эквивалентен одному ре- |
|||||||||
зистивному элементу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.1.2. Частотные и резонансные характеристики |
|
||||||||
|
последовательного RLC-контура |
|
|
||||||
Зависимости параметров RLC-контура от частоты называют |
|||||||||
частотными характеристиками. |
|
|
|
|
|
||||
К ним относят характеристики индуктивного сопротивления |
|||||||||
X L (ω ) = ω L , |
емкостного сопротивления |
X C (ω ) = |
1 , |
реактивного со- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
ω C |
|
|
противления |
X (ω ) = X L (ω |
) − X C (ω ) , |
активного |
сопротивления |
|||||
R(ω ) = const , полного |
сопротивления |
Z (ω ) = |
R2 (ω |
) + X 2 (ω ) , угла |
|||||
сдвига фаз |
ϕ (ω ) = arctg X (ω |
) . |
Качественный |
вид этих зависимостей |
|||||
|
|
R(ω |
) |
|
|
|
|
|
|
приведен на рис. 4.4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X, |
Z(ω |
) |
|
|
|
|
|
|
|
Z, |
|
|
|
XL(ω |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
) |
|
||
|
R |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|X(ω )| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R(ω ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
XC(ω ) |
|
|
|
|
|
|
ω 0 |
|
|
ω |
|
|
|
π /2 |
|
|
ϕ (ω ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
-π /2 |
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.4 |
|
|
|
|
|
|
В момент резонанса |
X L (ω ) = X C (ω |
), |
X (ω |
) = 0, |
Z (ω ) = R, |
||||
ϕ (ω ) = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
154 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зависимости тока I(ω ), напряжения на индуктивности UL(ω ), |
||||||||||
напряжения на емкости UC(ω ) называют резонансными характеристи- |
|||||||||||
ками. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I (ω |
) = |
Uвх |
(ω ) ; |
U L (ω |
) = ω LI ; |
UC = |
I |
|
|
|
|
R2 (ω )+ X 2 |
ω C . |
(4.8) |
||||||||
|
Графики этих характеристик при добротности Q = 2 представ- |
||||||||||
лены на рис. 4.5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
U, I |
UC(ω |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
UL(ω ) |
|
|
|
|
|
|
Uвх |
|
|
|
|
I(ω ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
ω 0C ω 0 |
ω 0L |
|
ω |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Рис. 4.5 |
|
|
|
|
||
|
Величина добротности определяет вид кривых UL и UC. При |
||||||||||
добротности |
контура |
Q < 5 |
максимумы |
напряжений |
|||||||
U L max |
= U C max |
= |
Q |
смещены от резонансной частоты ω |
0 |
на |
|||||
−1 (2Q)2 |
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
одно и то же значение частоты:
ω 0 |
= ω |
|
1− Q2 2; ω 0 |
|
= ω |
|
|
1 |
|
; ω 0 |
− ω 0 |
|
= ω 0 − ω 0 |
. (4.9) |
0 |
|
0 |
1 |
− Q |
2 2 |
|
||||||||
|
С |
|
|
L |
|
|
|
|
С |
|
L |
При добротности контура Q > 5 максимумы этих напряжений при резонансной частоте ω = ω 0 сливаются, а при добротности Q ≤ 1 
2 индуктивное и емкостное напряжения имеют монотонный характер.
155
При частоте ω = 0 (режим постоянного тока), то XC = ∞ , XL = 0 |
|||||||||
(рис. 4.6, а). Значения напряжения U C (ω |
) |
|
ω =0 = U вх , |
U L (ω ) |
|
ω =0 |
= 0 . Если |
||
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||
частота равна |
резонансной ω = ω 0 , то |
X = 0 (рис. 4.6, б). |
При |
этом |
|||||
U L (ω 0 ) = U C (ω |
0 ). На бесконечно |
больших |
частотах |
( ω → |
∞ ) |
||||
X C → 0, X L → ∞ |
(рис. 4.6, в). При этом U L → |
Uвх , UC → 0 . |
|
|||
R |
|
|
|
R |
R |
|
XL |
|
|
|
XL |
|
XL |
|
|
|
|
|
|
|
Uвх |
XC |
U |
вх |
XC |
Uвх |
XC |
|
|
|
|
|||
а |
|
|
|
б |
в |
|
|
|
|
|
Рис. 4.6 |
|
|
|
|
|
|
. 4.6 |
|
|
Из приведенных характеристик следует, что RLC-контур обладает избирательными свойствами. Наибольшее значение ток достигает при резонансной частоте (ω = ω 0). Для оценки избирательных свойств контура вводят понятие полосы пропускания контура. Она равна разно-
сти частот, которым соответствует отношение I ≥ |
1 . |
|||||
|
|
|
|
|
I0 |
2 |
Граничные частоты |
|
|
|
|
||
ω 1, 2 = ω 0 |
( 1+ 4Q2 ±1) , |
(4.10) |
||||
|
2Q |
|
|
|
|
|
ширина полосы пропускания |
|
|
|
|
||
∆ ω = |
ω 0 |
|
= |
R |
. |
(4.11) |
|
|
|||||
Q L
I
I0
1
Q = 0,5
Q = 2
Q = 10 ω ω
1 Рис. 4.7 0
Рис. 4.7
Параметры цепи оказывают большое влияние на избирательность. Чем больше добротность контура, тем острее резонансная кривая, тем лучше избирательные свойства цепи.
156
В этом можно убедиться при рассмотрении кривых на рис. 4.7 ( I
I0 – отношение тока текущей частоты к току резонансной частоты; ω 
ω 0 – отношение текущей частоты к резонансной). Чем больше доб-
ротность контура, тем лучше его избирательность и тем меньше полоса пропускания.
4.1.3. Зависимости I, UL, UC от L и С
Как было сказано ранее, режим резонанса напряжений в RLC- цепи можно получить, не только изменяя частоту, но и изменяя параметры индуктивности и емкости. Представим электрические схемы последовательного RLC-контура при L = 0, L = L0 (индуктивность достижения резонанса), L → ∞ (рис. 4.8).
Значения I(L), UL(L), UC(L) для каждой схемы даны в табл. 4.1.
R |
XL |
|
|
R |
|
R |
|
|
|
|
|
XL |
|
|
XL |
U |
XC |
U |
вх |
XC |
U |
вх |
XC |
вх |
|
|
|
|
|
||
|
L = 0 |
|
|
L = L0 |
|
L → |
∞ |
|
|
|
|
Рис. 4.8 |
|
|
|
|
|
|
|
. 4. |
|
|
|
Таблица 4 . 1
L |
|
I = Uвх |
R2 + X 2 |
U L = ω LI |
UC = |
I |
|
|
ω C |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
|
Uвх |
R2 + X C2 |
0 |
Uвх2 − I 2 R2 |
|||
L0 |
|
Uвх R |
UC = UвхQ |
U L = UвхQ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
0 |
Uвх |
0 |
|
|
|
|
Электрические схемы RLC-контура при С = 0, С = С0 (значение |
|||||||
емкости при резонансе), С → |
∞ представлены на рис. 4.9. |
|
|
|||||
157
R |
XL |
|
R |
R |
XL |
|
|
|
XL |
|
|
Uвх |
XC |
Uвх |
XC |
Uвх |
XC |
|
C = 0 |
|
C = C0 |
C → |
∞ |
|
|
|
Рис. 4.9 |
|
|
|
Значения I(C), UL(C), UC(C) для каждой схемы даны в табл. 4.2. |
||||
|
|
|
|
Таблица 4 . 2 |
|
C |
I = Uвх |
R2 + X 2 |
U L = Iω L |
UC = |
I |
|
|
|
|
|
ω C |
0 |
|
0 |
0 |
Uвх |
|
C0 |
Uвх R |
UC = UвхQ |
U L = UвхQ |
||
∞ |
I = Uвх |
R2 + X L2 |
Uвх2 − I 2 R2 |
0 |
|
Характер изменения зависимостей I(L), UL(L), UC(L), I(C), UL(C), UC(C) представлен на рис. 4.10.
25 |
|
|
U, I |
|
U, I |
|
|
|
20 |
|
|
15 |
UL(L) |
U /R |
Uвх |
|
|
10 |
|
вх |
|
Uвх |
|
U /R |
UC(L) |
|
вх |
|
|
5 |
I(L) |
|
0 |
|
|
L |
|
|
L0 |
|
|
|
Рис. 4.10 |
|
UL(C) |
I(C) |
UC(C) |
C |
C0 |
4.2. Резонанс токов
Резонанс токов наблюдается при параллельных цепях. Рассмотрим характеристики таких цепей при резонансе токов на примере па-
158
раллельного соединения активного, индуктивного и емкостного элементов (рис. 4.11). Условием резонанса токов является также отсутствия сдвига фаз между током и напряжением на входе цепи. При этом в качестве входного напряжения принимают напряжение на разветвлен-
ном участке, а входного тока – |
ток общей ветви. |
|
|
|
||
Поскольку |
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
BL − BC |
|
I |
I |
|
|
ϕ = arctg |
= arctg |
|
, |
IС |
||
|
G |
L |
|
|||
G |
G |
|
U |
|
|
|
то условие ϕ = 0 |
|
|
G |
BL |
BC |
|
означает, что реактив- |
|
|
|
|||
ная проводимость B = BL − BC = 0 или |
Рис. 4.11 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 − ω C = 0; ω 2 LC = 1. |
|
Рис. 4.11 |
|
|||
|
|
|
|
|||
ω L |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, взаимная компенсация реактивных проводимостей, при которой наступает резонанс в данной цепи, имеет место, если либо частота, либо индуктивность, либо емкость подобраны согласно соотношениям:
ω |
|
= |
1 |
, |
L = |
1 , |
С |
|
= |
1 . |
|
0 |
|
LС |
|
0 |
ω 2C |
|
0 |
|
ω 2 L |
Следовательно, резонанса при параллельном соединении можно добиться либо изменением частоты, либо индуктивности, либо емкости.
При резонансе токов реактивная проводимость цепи равна нулю и полная проводимость цепи Y = G2 + (BL − BC )2 = G достигает минимального значения. Поэтому ток в общей ветви I = UвхY = UвхG при
неизменном напряжении оказывается наименьшим в отличие от резонанса напряжений, когда ток, наоборот, имел максимальное значение. Векторная диаграмма при резонансе в рассматриваемой цепи приведена на рис. 4.12.
Поскольку вектор тока в общей ветви является суммой векторов трех токов, два из которых IL и IC находятся в противофазе, то при
159
|
= − j |
|
1 |
I L = jω 0CU вх |
||||
IC |
|
|
U |
вх |
|
|||
ω |
|
|
||||||
|
|
0 L |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
U |
вх |
|
I G = U вхG |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. 4.12 |
|
|
резонансе возможны случаи, когда токи в индуктивной катушке и конденсаторе могут превосходить, и иногда намного, входной ток цепи. Поэтому резонанс при параллельном соединении называют резонансом токов.
Превышение токов в реактивных элементах цепи над входным током цепи имеет место при условии
|
|
1 |
|
|
C |
1 |
|
|
|
||||
G < ω 0C = ω 0 L |
= |
L |
= ρ = γ . |
(4.12) |
|||||||||
Величина C = γ , имеющая размерность проводимости, назы- |
|||||||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вается волновой проводимостью контура. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Отношение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q = |
IL0 |
= |
IC 0 |
= |
Uвхω 0C |
= |
ω 0C |
= |
γ |
(4.13) |
|||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
I0 |
|
I0 |
UвхG |
|
|
G G |
|
|||||
определяет кратность превышения тока в реактивной катушке и в конденсаторе над входным током при резонансе и является добротностью контура.
Энергетические процессы при резонансе токов аналогичны энергетическим процессам при резонансе напряжений. В цепи происходит обмен энергией между магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора, причем обмен энергией между реактивными элементами цепи и источником, питающим цепь, не происходит, т.к. суммарная энергия полей в цепи остается постоянной. Вся энергия источника, питающего цепь, расходуется в ветви с проводимостью G.
160