Задачи по ТВ_2014

КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

1. В магазин поступило 30 новых цветных телевизоров, среди которых 5 имеют скрытые дефекты. Наудачу отбирается один телевизор для проверки. Какова вероятность, что он не имеет скрытых дефектов?

2. Автомат изготавливает однотипные детали, причем технология изготовления такова, что 5% произведенной продукции оказывается бракованной. Из большой партии взята наудачу одна деталь для контроля. Найти вероятность события А = {деталь бракованная}.

3. Подбрасываются 2 игральные кости. Найти вероятности указанных событий: A = { числа очков на обеих костях совпадают}, B = {число очков на первой кости больше, чем на второй}, C = {сумма очков четна}, D = {сумма очков больше двух}, E = {сумма очков не меньше пяти}, F = {хотя бы на одной кости появится цифра 6}, G = {произведение выпавших очков равна 6}.

4. Наудачу выбирается пятизначное число. Какова вероятность событий: A = {число читается одинаково как слева направо, так и справа налево (например, 13531), B = {число кратно пяти}, C = {число состоит из нечетных цифр}.

5. На шахматную доску случайным образом ставят 2 ладьи. Какова вероятность того, что они не побьют друг друга?

6.Из полного набора домино (28 штук) наудачу выбирают 7 костей. Какова вероятность, что среди них окажется по крайней мере одна кость с шестью очками?

7.Из десяти первых букв русского алфавита наудачу составляется новый алфавит, состоящий из

пяти букв. Найти вероятности событий: A = {в состав нового алфавита входит буква а}, B = {в состав нового алфавита входят только согласные буквы}.

8. Среди кандидатов в студенческий совет факультета 3 первокурсника, 5 второкурсников и 7 третьекурсников. Из этого состава наудачу выбирают 5 человек на предстоящую конференцию. Найти вероятности событий: A = {будут выбраны одни третьекурсники}, B = {все первокурсники попадут на конференцию}, C = {не будет выбрано ни одного второкурсника}, D = {будут выбраны 2 первокурсника и 2 второкурсника}, E = { будут выбраны 4 второкурсника}.

9.Числа 1, 2, 3, 4, 5 написаны на пяти карточках. Наугад последовательно выбираются три карточки, и вытянутые таким образом цифры ставятся слева направо. Найти вероятность того, что полученное при этом трехзначное число будет четным.

10.Для уменьшения числа игр 2n футбольных команд, среди которых 2 призера предыдущего чемпионата, путем жеребьевки разбиваются на 2 подгруппы по n команд каждая. Какова вероятность qn того, что обе команды–призеры попадут в разные группы?

11.Числа 1, 2, … , 9 записываются в случайном порядке. Найти вероятности событий: A = {числа будут записаны в порядке возрастания}, B = {числа 1 и 2 будут стоять рядом и в порядке возрастания}, C = {числа 3, 6 и 9 будут следовать друг за другом и в порядке возрастания}.

12.Полная колода карт (52 карты) делится пополам. Найти вероятность того, что количество черных и красных карт в обеих пачках одинаковым.

13.n мужчин и n женщин случайным образом рассаживаются в ряд на 2n мест. Найти вероятности событий: A = {никакие два мужчины не будут сидеть рядом}, B = {все мужчины будут сидеть рядом}.

14.12 студентов, среди которых Иванов и Петров, случайным образом занимают очередь за

учебниками в библиотеку. Какова вероятность, что между Ивановым и Петровым в образовавшейся очереди окажутся ровно 5 человек?

15. В подъезде дома установлен замок с кодом. Дверь автоматически отпирается, если в определенной последовательности набрать три цифры из имеющихся десяти. Некто вошел в подъезд и, не зная кода, стал наудачу пробовать различные комбинации из трех цифр. На каждую попытку он тратит 20 секунд. Какова вероятность события A = {вошедшему удастся открыть дверь за один час}?

16. Общество состоит из 5 мужчин и 10 женщин. Найти вероятность того, что при случайной группировке их на 5 групп по три человека в каждой группе будет мужчина.

1

17. Телефонная книга раскрывается наудачу и выбирается случайный номер телефона. Считая, что телефонные номера состоят из 7 цифр, причем все комбинации равновероятны, найти вероятности событий: A = {четыре последние цифры номера одинаковы}, B = {все цифры различны}, C = {номер начинается с цифры 5}, D = {номер содержит три цифры 5, две цифры 1 и две цифры 2}.

18. Из разрезной азбуки выкладывается слово Экономика. Затем все буквы этого слова тщательно перемешиваются и снова выкладываются в случайном порядке. Какова вероятность того, что снова получится это слово?

19.9 пассажиров наудачу рассаживаются в трех вагонах. Найти вероятность того, что а) в каждый вагон сядет по 3 пассажира; б) в один вагон сядут 4, в другой – 3 и в третий – 2 пассажира.

20.52 карты раздаются четырем игрокам (каждому по 13 карт). Найти вероятности событий: A = {каждый игрок получит туза}, B = {хотя бы один из игроков получит все 13 карт одной масти}, C = {все тузы попадут к одному из игроков}, D = {двое определенных игроков не получат ни одного туза}.

ОТВЕТЫ

1.5/6. 2. 0,05. 3. P(A) = 1/6; P(B) = 5/12; P(C) = 1/2; P(D) = 35/36; P(E) = 5/6; P(F) = 11/36; P(G) =

1/9; 4. P(A) = 0,01; P(B) = 0,2; P(C) = 5/144. 5. 7/9. 6. 1 С721 / C728 =0,932. 7. P(A) = 1/2; P(B) = 1/42. 8. P(A) = 1/143; P(B) = 2/91; P(C) = 12/143. 9. 0,4; 10. n/(2n–1). 11. P(A) = 1/9!; P(B) = 1/9; P(C) =

22. На перекрестке установлен автоматический светофор, в котором одну минуту горит зеленый свет и полминуты – красный, затем снова одну минуту – зеленый и полминуты – красный и т.д. В случайный момент к перекрестку подъезжает автомобиль. Какова вероятность того, что он проедет перекресток без остановки?

23. Какова вероятность, не целясь, попасть бесконечно малой пулей в прутья квадратной решетки, если толщина прутьев равна а, а расстояние между их осями равно ℓ (ℓ > a)?

24. В случайный момент времени x [0, T ] появляется радиосигнал длительностью t1 . В случайный момент времени y [0, T] включается приемник на время t2 t1 . Найти вероятность обнаружения сигнала, если: а) приемник настраивается мгновенно; б) время настройки приемника равно t 3 (t 3 t 2 t1) .

25. Значения a и b равновозможны в квадрате a 1, b 1. Найти вероятности событий: A =

{корни квадратного трехчлена x2 2ax b действительны}, B = {корни квадратного трехчлена положительны}.

26.На плоскость с нанесенной на ней квадратной сеткой многократно бросается монета диаметра d, в результате чего установлено, что в 40% случаев монета не пересекает ни одной стороны квадрата. Оценить размер сетки.

27.Из отрезка [–1, 2] наудачу взяты два числа. Какова вероятность того, что их сумма больше единицы, а произведение меньше единицы?

28.На плоскости начерчены параллельные прямые, находящиеся на расстоянии 2a друг от друга.

На плоскость наудачу брошена тонкая игла длиною 2 a . Найти вероятность того, что игла

пересечет одну из прямых. (Задача Бюффона).

29. Кусок проволоки длиною в 20 см был согнут в наудачу выбранной точке (точка сгиба равномерно распределена). После этого, перегнув проволоку еще в двух местах (не ломая ее) сделали прямоугольную рамку. Найти вероятность того, что площадь полученной рамки не

2

превосходит 21 см2.

30. В сфере радиуса R случайно и независимо друг от друга разбросано N точек. а) Найти вероятность того, что расстояние от центра до ближайшей точки будет не меньше a. б) Найти

31. (Парадокс Бертрана). В круге радиуса R случайно проводится хорда, – ее длина. Найти вероятность того, что длина хорды больше стороны правильного треугольника, вписанного в окружность.

ОТВЕТЫ

0,25 a2 , если 0 a 1,

ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ, УМНОЖЕНИЯ, УСЛОВНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ

32. Бросаются две игральные кости. Пусть событие А состоит в том, что сумма очков нечетная; В – состоит в том, что хотя бы на одной из костей выпала единица. Описать события АВ. А+В, АВ . 33. Пусть события А, В и С – три произвольных события. Найти выражения для событий, состоящих в том, что из А, В, С а) произошло только А, б)произошли только А и В, в) все три события произошли; г) произошло по крайней мере одно из событий; д) произошли по крайней мере два события; е) произошло одно и только одно событие; ж) произошли два события; и) произошло не более двух событий.

34. Один раз подбрасывается игральная кость. События: А = {выпало простое число очков}, В = {выпало четное число очков}. Вычислить вероятность P A | B .

35. Вероятность того, что СМО не откажет к моменту времени t1 , равна 0,8, а вероятность того, что она не откажет к моменту времени t2 t1 , равна 0,6. Найти вероятность того, что СМО, не отказавшая к моменту времени t1 , не откажет и к моменту времени t2 .

36. В семье двое детей. Считая, что рождение мальчика и девочки – независимые и равновероятные события, вычислить вероятность того, что оба ребенка – мальчики, если известно, что в семье есть мальчик.

37. Из колоды в 36 карт наудачу извлекается одна карта. События: A = {вынутая карта – туз}, B = {вынута карта черной масти}, F = {вынутая карта – фигура, т.е. валет, дама, король или туз}. Установить, зависимы или независимы три пары событий: A и B, A и F, F и B.

38.В ящике лежат 12 красных, 8 зеленых и 10 синих шаров. Наудачу вынимаются 2 шара. Найти вероятность того, что будут вынуты шары разного цвета, при условии, что не вынут синий шар.

39.Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шаров, наудачу и последовательно извлекают по одному шару до появления черного шара. Найти вероятность того, что придется производить четвертое извлечение, если выборка производится: а) с возвращением; б) без возвращения.

40.Только один из n ключей подходит к данной двери. Найти вероятность а)того, что придется

опробовать ровно k ключей k n для открывания данной двери. б) Найти вероятность, что для открытия двери потребуется не более 4 попыток.

41. Студент может уехать в университет или троллейбусом, который ходит через каждые 20 мин., или автобусом, который ходит через каждые 10 мин. Какова вероятность того, что студент, подошедший к остановке, уедет в течение ближайших пяти минут?

3

42. Вероятность разорения в течение года для первого банка равна p1 , для второго банка – p2 .

Прошел год. Считая разорение банков независимыми событиями, найти вероятности событий: А = {ни один банк не разорился}, В = {разорился один из банков}.

43.Новому работнику предоставляются три попытки проявить свои способности. Вероятность того, что ему удастся это с первой попытки, равна 0,2, со второй – 0,3, с третьей – 0,4. Исходы попыток представляют независимые события. Найти вероятность того, что работник оправдает оказанное ему доверие.

44.Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачет считается сданным, если студент ответит не менее чем на три из четырех поставленных в билете вопросов. Взглянув на первый вопрос билета, студент обнаружил, что он его знает. Какова вероятность, что студент сдаст зачет?

45.(Задача де Мере). Сколько раз нужно бросить пару игральных костей, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,5, хотя бы один раз появилась сумма очков, равная 12?

46.Иван и Петр поочередно бросают монету. Выигрывает тот, у кого раньше появится герб. Иван бросает первым. Найти вероятности выигрыша для каждого из игроков, считая, что бросание монеты может продолжаться неограниченно долго.

47.Жюри состоит из трех судей. Первый и второй судьи принимают правильное решение независимо друг от друга с вероятностью p, а третий судья для принятия решения бросает монету. Окончательное решение жюри принимает по большинству голосов. Какова вероятность, что жюри примет правильное решение? Как изменится это значение, если третий судья будет вести себя также, как и два других?

ОТВЕТЫ

34.1/3. 35. 0,75. 36. 1/3. 37. A и B, F и B независимы, A и F зависимы. 38. 48/95. 39. 0,216; 1/6. 40.

228/253=0,901. 45. n 25. 46. 2/3 и 1/3 47. p.

Д1. Ниже приведены 5 схем соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями; надежность (вероятность безотказной работы) k–го элемента равна pk

(соответственно qk 1 pk – вероятность его отказа). Отказ каждого из элементов приводит к

прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вычислить надежность P каждой из схем.

Д2. Прибор состоит из блоков, которые выходят из строя независимо один от другого. Надежность каждого блока равна p. Найти надежность P прибора для случаев, изображенных на рис. 1 (а, б, в,

г):

4

Д3. Для контроля продукции из трех партий деталей взята на проверку одна деталь. Какова вероятность выявления бракованной продукции, если в одной партии 2/3 деталей – бракованные, а в двух других все доброкачественные.

Д4. Прибор состоит из двух узлов; работа каждого узла необходима для работы прибора в целом. Надежность (вероятность безотказной работы в течение времени t первого узла равна p1 , второго p2 . Прибор испытывался в течение времени t, в результате чего обнаружено, что он вышел из строя (отказал). Найти вероятность того, что отказал только первый узел, а второй исправен.

ФОРМУЛЫ ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И БАЙЕСА

48. В продажу поступают телевизоры трех заводов. Продукция первого завода содержит 20% телевизоров со скрытым дефектом, второго – 10% и третьего – 5%. Какова вероятность приобрести исправный телевизор, если в магазин поступило 30% телевизоров с первого завода, 20% – со второго и 50% – с третьего?

49. Два цеха штампуют однотипные детали. Первый цех дает % брака, второй – %. Для контроля отобрано n1 деталей из первого цеха и n2 из второго. Эти n1 n2 деталей смешаны в

одну партию, и из нее наудачу извлекают одну деталь. Какова вероятность того, что она бракованная?

50. Производится n независимых выстрелов зажигательными снарядами по резервуару с горючим. Каждый снаряд попадает в резервуар с вероятностью p. Если в резервуар попал один снаряд, то горючее воспламеняется с вероятностью p1 , два снаряда – с полной достоверностью. Найти

вероятность того, что при n выстрелах горючее воспламеняется.

51. При переливании крови надо учитывать группу крови донора и больного. Человеку, имеющему четвертую группу крови, можно перелить кровь любой группы крови; человеку со второй или третьей группой крови можно перелить кровь либо той же группы, либо первой; человеку с первой группой крови можно перелить только кровь первой группы. Среди населения 33,7% имеют первую, 37,5% – вторую, 20,9% – третью и 7,9% – четвертую группы крови. Найти вероятность того, что случайно взятому больному можно перелить кровь случайно взятого донора.

52.В каждой из трех урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую, после чего из второй урны извлечен один шар и переложен в третью. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третьей урны, окажется белым.

53.На шахматную доску ставят наудачу двух слонов, белого и черного. Какова вероятность того, что слоны побьют друг друга?

54.Студент Иванов знает только 10 из 25 экзаменационных билетов. В каком случае шансы Иванова получить знакомый билет выше: когда он подходит тянуть билет первым или вторым по счету?

55.В урне лежит шар неизвестного цвета – с равной вероятностью белый и черный. В урну опускается один белый шар и после тщательного перемешивания наудачу извлекается один шар. Он оказался белым. Какова вероятность того, что в урне остался белый шар?

56.Три стрелка производят по одному выстрелу в одну и ту же мишень. Вероятности попадания в

мишень при одном выстреле для каждого из стрелков соответственно равны p1, p2 и p3 . Какова

вероятность того, что второй стрелок промахнулся, если после выстрелов в мишени оказалось две пробоины?

57. Однотипные приборы выпускаются тремя заводами в количественном отношении n1 : n2 : n3 , причем вероятности брака для этих заводов соответственно равны p1, p2 и p3 . Прибор,

приобретенный научно–исследовательским институтом, оказался бракованным. Какова вероятность того, что данный прибор произведен первым заводом (марка завода на приборе отсутствует)?

58. При рентгеновском обследовании вероятность обнаружить заболевание туберкулезом у больного туберкулезом равна 1 . Вероятность принять здорового человека за больного равна. Пусть доля больных туберкулезом по отношению ко всему населению равна . а) Найти условную вероятность того, что человек здоров, если он был признан больным при обследовании.

5

б) Вычислить найденную условную вероятность при следующих числовых значениях:

1 0,9 , 0,01, 0,001.

59. По каналу связи передается одна из последовательностей букв АААА, ВВВВ, СССС с вероятностями p1, p2 и p3 . (р1+ р2 +р3 =1). Каждая передаваемая буква принимается правильно с

вероятностью или с равными вероятностями принимается за две другие буквы. Предполагается, что буквы искажаются независимо друг от друга. Найти вероятность того, что было передано

АААА, если принято АВСА.

60. В урне находятся 3 черных и 2 белых шара. Первый игрок по схеме выбора без возвращения извлекает 3 шара. Обратно он возвращает черный шар, если среди вынутых шаров больше было черных. В противном случае возвращается белый шар. Второй игрок после этого извлекает один шар и по его цвету должен угадать число белых шаров среди трех шаров, вынутых первым игроком. Найти вероятность того, что у первого игрока было: а) 0 белых; б) 1 белый; в) 2 белых шара, если второй игрок вытащил белый шар.

ОТВЕТЫ

СХЕМА НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ БЕРНУЛЛИ

61.Для изделия вероятность выхода из строя в течение месяца равна 0,25. Продано 5 изделий, функционирующих независимо друг от друга. Найти вероятность событий: А = (ровно одно изделие выйдет из строя), В = (ровно 2 изделия выйдут из строя), С = (хотя бы одно изделие выйдет из строя), D = (не менее трех изделий выйдут из строя).

62.Пара игральных костей бросается 7 раз. Какова вероятность событий: А = (сумма очков, равная 7, выпадет дважды), В = (сумма очков, равная 7, выпадет по крайней мере один раз).

63.На контроль поступила партия изделий из цеха. Известно, что 5% всех деталей не удовлетворяет стандарту. Сколько нужно испытать деталей, чтобы с вероятностью не менее 0,95 обнаружить хотя бы одну нестандартную деталь?

64.Студент выполняют тестовую работу, состоящую из трех задач. Для получения положительной отметки достаточно решить две. Для каждой задачи предлагается 5 вариантов ответа, из которых только один правильный. Студент плохо знает материал и поэтому выбирает ответы для каждой задачи наудачу. Какова вероятность, что он получит положительную оценку?

65.Станция передает цифровой текст. В силу помех каждая цифра независимо от других может быть неправильно принята с вероятностью 0,01. Найти вероятности событий: А = (в принятом тексте, содержащем 1100 цифр, будет меньше 20 ошибок), В = (будет сделано ровно 7 ошибок)

66.Вероятность рождения мальчика 0,512. Вычислить вероятность событий: А = (среди 100 новорожденных будет 51 мальчик), В = (среди 100 новорожденных будет больше мальчиков, чем девочек), С = (разница между количеством мальчиком и девочек из 100 новорожденных не превысит 10).

67.В страховой компании застраховано 10 000 автомобилей. Вероятность поломки любого автомобиля в результате аварии равна 0,006. Каждый владелец застрахованного автомобиля платит в год 12 руб. страховых и в случае поломки автомобиля в результате аварии получает от кампании 1000 руб. Найти вероятности событий: А = (по истечении года работы страховая

кампания потерпит убыток), Bm = (страховая кампания получит прибыль не менее m руб., m = 40 000, 60 000, 80 000 руб.).

68. В урне содержатся белые и черные шары в отношении 3:2. Производятся последовательные опыты по извлечению одного шара с возвращением, причем каждый раз фиксируется цвет вынутого шара. Каково минимальное число извлечений, при котором с вероятностью, не меньшей 0,9948, можно ожидать, что отклонение относительной частоты появления белого шара от вероятности его появления в одном опыте не превысит величины = 0,05?

6

69. Театр, вмещающий 1000 человек, имеет два разных входа. Около каждого из входов имеется свой гардероб. Сколько мест должно быть в каждом из гардеробов для того, чтобы в среднем в 99 случаях из 100 все зрители могли раздеться в гардеробе того входа, через который они вошли? Рассмотреть случаи: а) зрители приходят парами; б) зрители приходят поодиночке. Предположить, что входы зрители выбирают с равными вероятностями.

70. Игральный шестигранный кубик подбрасывается 500 раз. Какова вероятность того, что отклонение относительной частоты появления шестерки от вероятности ее появления в одном опыте по абсолютной величине не превзойдет 0,1?

71. Известно, что хотя бы одному покупателю из двух требуется одежда 56 размера с вероятностью 0,91. Найти вероятность того, что из четырех покупателей двум потребуется одежда 56–го размера.

72. Проведено 20 независимых испытаний, каждое из которых заключается в одновременном подбрасывании трех монет. Найти вероятность того, что хотя бы в одном испытании появятся три герба.

Д1. Станция передает цифровой текст. В силу помех каждая цифра независимо от других может быть неправильно принята с вероятностью 0,01. Найти вероятности событий: B = (в принятом тексте, содержащем 100 цифр, будет меньше трех ошибок), C = (в принятом тексте, содержащем 200 цифр, будет три ошибки), D = (в принятом тексте, содержащем 200 цифр, будет хотя бы две ошибки), E = (в принятом тексте, содержащем 1000 цифр, будет 8 ошибок), F = (в принятом тексте, содержащем 1000 цифр, будет от 8 до 11 ошибок).

Д2. Имеется (8,9)-код с проверкой четности. Вычислить вероятность того, что в случае ошибки этот код ее не обнаружит, если вероятность ошибки при передаче каждого бита равна 1%? Вычислить вероятность ошибочной передачи без использования кода. Сделать аналогичные расчеты для случая, когда вероятность ошибки в 10 раз меньше.

ОТВЕТЫ

61. P(A) = 0,3955, P(B) = 0,2637, P(C) = 0,7627, P(D) = 0,1035 62. P(A) = 0,234, P(B) = 0,721 63. n ≥ 59 64. 0,104 65. 0,3788 66. P(A) = 0,0797, P(B) = 0,5160, P(C) = 0,0,6689 67. 0,0000; 0,995; 0,5;

7 20

0,005 68. 753 69. а) 558; б)541. 70. 1 71. 0.2646 72. 1 .

8

ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Вычислить M[X], D[X], P(X > 2), начальный момент 2-го порядка, записать центральный момент 3-го порядка. Построить график функции распределения. Найти законы распределения случайных величин: Y = 4X – 1, Z = │X – 2│.

3. Производится один опыт, в результате которого событие А может появиться с вероятностью p и не появиться с вероятностью q = 1 – p. Пусть X – индикаторная случайная величина – принимает значение 1, если событие А произошло, и значение 0, если событие А не произошло. Описать закон распределения случайной величины X. Найти M[X], D[X], P(X > 2), начальный момент 3-го порядка, центральный момент 3-го порядка Построить график функции распределения. Определить значение p, при котором дисперсия максимальна. Найти закон распределения

Y ln X 1 .

7

4. Два банка независимо друг от друга могут разориться в течение года. Вероятность разорения для первого банка равна p1 , для второго p2 . Случайная величина X – число разорившихся в

течение года банков из указанных двух. Описать закон распределения случайной величины X. Найти M[X], D[X], P(X < 2), функцию распределения.

Надежность каждого из приборов равна p. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, когда предыдущий прибор оказался надежным. Описать закон распределения X – числа испытанных в данном эксперименте приборов. Найти среднее значение числа испытанных приборов.

7.Из урны, содержащей 4 белых и 6 черных шаров, случайным образом без возвращения извлекается 3 шара. Описать закон распределения X – числа белых шаров в выборке.

8.Имеется 200 семей, в каждой из которых 4 ребенка. Случайные величины X – число семей из 200, имеющих одного мальчика и трех девочек, Y – число семей, имеющих двух мальчиков и двух девочек. Считая, что вероятности рождения мальчика и девочки одинаковы, найти M[X] и M[Y].

9.Среднее число вызовов, поступающих на АТС в минуту, равно 120. Найти вероятности событий: А = (за 2 секунды на АТС не поступит ни одного вызова), В = (за две секунды на АТС поступит менее двух вызовов), С = (за одну секунду на АТС поступит ровно 3 вызова), D = (за три секунды на АТС поступит не менее трех вызовов).

10.Производится ряд попыток включить двигатель. Любая попытка заканчивается успехом с вероятностью p . Каждая попытка занимает время t . Составить закон распределения общего

времени. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

11.Шесть раз бросается правильная монета. Случайная величина X – модуль разности числа появлений герба и числа появлений цифры в данном эксперименте. Описать закон распределения случайной величины Х. Вычислить среднее значение, моду и дисперсию случайной величины X.

12.Функция распределения случайной величины X дискретного типа имеет следующий вид:

а) Найти распределение случайной величины ; б) вычислить среднее значение и дисперсию случайной величины ; в) какова вероятность того, что будет сделано не более трех бросаний?

14.Один раз брошены три одинаковые игральные кости. Случайная величина X принимает значение 1, если хотя бы на одной игральной кости выпадет цифра шесть; принимает значение 0, если шестерка не выпала ни на одной грани, но хотя бы на одной из граней появилась цифра 5, и принимает значение -1 в остальных случаях. Описать закон распределения случайной величины X, вычислить функцию распределения и найти математическое ожидание и моду распределения.

15.Большое число N людей подвергается исследованию крови. Это исследование может быть организовано двумя способами.

Способ 1. Кровь каждого человека исследуется отдельно. В этом случае потребуется N анализов. Способ 2. Кровь k людей смешивается, и анализируется полученная смесь. Если результат анализа отрицателен, то этого одного анализа достаточно для k человек. Если же он положителен, то кровь каждого приходится исследовать затем отдельно, и в целом на k человек потребуется k+1 анализ. Предполагается, что вероятность положительного результата одна и та же для всех людей и что результаты анализов независимы в теоретико–вероятностном смысле.

8

Чему равна вероятность того, что анализ смешанной крови k людей положителен?

Чему равно математическое ожидание числа анализов ξ, необходимых при втором методе исследования?

При каком k достигается минимум математическое ожидание числа необходимых анализов? (на практике второй метод давал экономию в числе анализов до 80%)

16. За некоторый промежуток времени амеба может погибнуть с вероятностью 1 / 4 , выжить с вероятностью 1 / 4 и разделиться на две с вероятностью 1 / 2 . В следующий такой же промежуток времени с каждой амебой независимо от ее «происхождения» происходит то же самое. Сколько амеб и с какими вероятностями может существовать к концу второго промежутка времени?

случайная величина?

Определение. Математическое ожидание информации, которая может быть получена в результате эксперимента, называется энтропией эксперимента:

N

H G p j log p j .

j 1

Примечание. Энтропия эксперимента является мерой его неопределенности.

Пример 1. Имеются 2 урны, содержащие по 20 шаров – 10 белых, 5 черных и 5 красных в первой и 8 белых, 8 черных и 4 красных во второй. Из каждой урны вытаскивают по одному шару. Исход какого из опытов следует считать более неопределенным?

Пример 2 (оценка качества прогноза). Из многолетних наблюдений известно, что для определенного пункта вероятность того, что 15 июня будет идти дождь, равна 0.4. Для этого же пункта вероятность того, что 15 ноября будет идти дождь, равна 0.65, снег – 0.15, не будет осадков

– 0.2. Если интересуемся лишь вопросом о наличии и о характере осадков, то в какой из двух перечисленных дней погоду следует считать более неопределенной?

Опыт 1.

H G2 0, 65log 0, 65 0,15 log 0,15 0, 2 log 0, 2 1, 28 бита.

Д2. Пусть эксперимент имеет два исхода А и В с вероятностями p и q 1 p. Его энтропия

H G p log p 1 p log 1 p .

При каком p эксперимент имеет наибольшую неопределенность?

Д3. Найти энтропию случайной величины X , заданной распределением

9

19.Автобусы идут с интервалом в 5 минут. Считая, что случайная величина X – время ожидания автобуса на остановке – распределена равномерно в указанном интервале, найти среднее время ожидания, функцию распределения случайной величины X и вычислить вероятность того, что время ожидания превысит 3 минуты.

20.Шкала рычажных весов, установленных в лаборатории, имеет цену деления 1 г. При измерении массы химических компонентов смеси отсчет делается с точностью до целого деления с округлением в ближайшую сторону. Какова вероятность, что абсолютная ошибка определения массы X : а) не превысит величины среднеквадратичного отклонения возможных ошибок определения массы; б) будет заключена между значениями X и 2 X ?

21.Время безотказной работы радиоаппаратуры является случайной величиной X , распределенной по показательному закону с параметром . Вычислить математическое ожидание

и дисперсию, вероятность того, что радиоаппаратура не выйдет из строя в течение времени t M X . Квантилем какого порядка для данного распределения является значение M X ?

22. Время ожидания у бензоколонки автозаправочной станции является случайной величиной X , распределенной по показательному закону со средним временем ожидания, равным t0 . Найти

вероятности следующих событий: A 0,5t0 X 1,5t0 , B X 2t0 .

23.Случайная величина ξ имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Какое из двух событий 0.7 или 0.7 имеет большую вероятность?

24.Некоторая категория людей имеет средний вес m кг и среднеквадратическое отклонение веса

3кг. Для случаев m =60 и m =10 определить вероятность того, что вес случайно взятого человека отличается от m не более чем на 5 кг, если вес имеет нормальное распределение.

25.Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение ее контролируемого размера от номинала не превышает 10 мм. Случайные отклонения контролируемого размера от

номинала подчиняются закону N 0; 25 . Сколько необходимо изготовить деталей, чтобы с вероятностью не менее 0.95 среди них оказалась хотя бы одна бракованная деталь?

26.В нормально распределенной совокупности 15% значений меньше 12 и 40% значений больше 16,2. Найти среднее и среднеквадратическое отклонение данного распределения.

27.Известно, что при стрельбе по плоской мишени в неизменных условиях случайная величина X

– расстояние от точки попадания до центра мишени – подчиняется закону Рэлея с плотностью распределения вероятностей

где 0 – параметр, характеризующий распределение. Проверить условие нормировки и вычислить характеристики M X и D X .

28. Скорость X молекул идеального газа, находящегося в равновесии при определенной температуре, является случайной величиной, подчиняющейся закону распределения Максвелла с плотностью распределения вероятностей

10