Вопрос2:

Пусть в линейном пространстве L выбраны 2 базиса:

e: e₁,e₂,…e_n - базис L

e’: e’₁,e’₂,…e’_n - базис L

Пусть - линейное преобразование в пространствеL, обозначим его матрицу в базисе е А, в базисе e’_n А’

Найдем связь между А и А’

по условию (е)=еА

(е’)=e’A’

Т.к. от базиса е к базису е’ можно найти матрицу перехода, т.е. e’=eT, то можно построить =>

(e’)= (eT)

(e’)=[eT]A’

Т.к. умножение матриц ассоциативно, то => можно переписать = e[TA’], тогда (еТ)=е[TA’]тогда будет справедливо => равенство

еТ=матрица состоящая из одной строки i элемент которой будет иметь вид (e₁T’_i1+ e₂T’_i2+…+ e_nT’_n1)

применяя свойства линейного отображения выносим постоянный множитель

(еТ)= (е)Т=е[TA’]

значит матрица A’=T^-1AT – связь между матрицами одного и того же линейного преобразования в различных базисах (т.к. e₁,e₂,…e_n - базис, матрица Т – невырожденная => T^-1 существует )

Опр.: матрицы А и В называют подобными, если существует такая матрица Т, что выполняется равенство: В= T^-1АТ

Свойства подобных матриц.

1^о. Каждая подобная матрица подобна самой себе. В ~ В.

Для док-ва Т=Е.

2 ^о. Если А~ В, В~С, то А~С.

3 ^о.Если А~В, то В~А.

4 ^о. Определители подобных матриц равны.

А ~В. |A|=|B|, обратное неверно

Зам-е: матрицу А называют транспонируемой матрицей Т.

все что было выше можно сформулировать в виде

Теорема4: матрица линейного преобразования в разных базисах подобны, причем выполняется равенство:

A’=T^-1AT, где Т е->e’

T – матрица перехода от е к e’.

ч2.Вопрос21. Связь координат вектора и его образа.

Пусть в конечномерном линейном пространстве L, dimL=n, задано линейное преобразование , выберем вL базис e₁,e₂,…e_n обозначим его е. Под действие линейного базисные векторы переходят в(e₁), (e₂),… (e_n ) введем обозначение (е)=((e₁), (e₂),… (e_n )), тогда можно составить матричную запись (е)=еА – матрица линейного преобразования

Рассмотрим произвольный вектор а из ЛП L, он представим в виде линейной комбинации базисных векторов а=j₁e₁+ j₂e₂+… j_ne_n

тогда (а)= j₁(e₁)+ j₂(e₂)+… j_n(e_n)=

(е)

т.к. умножение матриц ассоциативно, то можно выбрать такой порядок умножения. Элемент (А) _{L значит} (А) можно представить в виде:

(А)=j’₁(e₁)+ j’₂(e₂)+… j’_n(e_n)=e

т.к. каждый вектор единственным образом представим в виде линейной комбинации базисных, то:

=А- формулы связи координат вектора а и вектора(а)

=А^-1 _{- в одном и том же базисе.}

Теорема3: Чтобы найти координаты вектора (А) нужно матрицу линейного оператора умножить на координаты вектора а в базисе е.

_{= А}

ч2.Вопрос22. Теоремы о задании линейного оператора.

Лемма1: Линейное преобразование линейного пространстваL однозначно определяется образами базисных векторов.

Док-во:

Пусть L-конечное пространство e₁,e₂,…e_n его базис, dim L=n. Тогда любой вектор а _{ЛП L. Найдутся коэффициенты Р, что а=}

Подействуем на вектор а линейным преобразованием .

(а)= ()= по свойствам линейного оператора можно =>

т.к. задав векторы получим образ вектора а, т.е.(а) однозначен.

Зам-е: Пусть и- линейных преобразования пространстваL на некоторый базис e₁,e₂,…e_n , они взаимодействуют одинаково.

(е₁)= (е₁)

(е₂)= (е₂)

...

(е_n)= (е_n)

то данные линейные операторы равны, т.е. (а)=(а)

Теорема:

Если заданы:

1. базис ЛП L e₁,e₂,…e_n

2. c₁,c₂,…c_n – другие n- векторов (не обязательно различные)

то существует линейное преобразование , такое что

(е₁)= с₁

(е₂)= с₂

_…

(е_n)= с_n

причем определяется единственным образом

Док-во: (от противного)

Док-м, что утверждение неверно и существуют (х) и(х), такие что

(е₁)= с₁

(е₂)= с₂

_…

(е_n)= с_n

(е₁)= с₁

(е₂)= с₂

_…

(е_n)= с_n

тогда по замечанию к лемме1 получится

(е₁)= (е₁)

(е_n)= (е_n) и линейные операторы равны, значит оператор определяется однозначно.

2. Построим это линейное преобразование.

Рассмотрим произвольный вектор а ЛПL. Он представим в виде суммы базисных векторов: а===

т.е. каждый вектор (а) представили в виде линейной комбинации векторов с₁,с₂,...с_n. Получили отображение из L->L.

Покажем, что полученной отображение линейно.

Пусть заданы 2 вектора а и b _{ЛП L, вектор b представим в виде линейной комбинации}

_b= =>(b)= ==

a+b==(a+b)= =>(a)+ (b)= (a+b)- первое условие выполнили

2.

Значит построенное отображение является линейным отображением.

Пр.: Пусть L – векторы точки L=R²

e₁=(1,0)

e₂=(0,1)

e_n=(3,4) c₂=(0,0)

Определить во что перейдет

а=3е₁+е₂

(a)=3(3,4)+1(0,0)

(a)=(9,12)

Теорема2:

Пусть F- множество всех линейных преобразований n-мерного пространства. М – множество всех квадратных матриц n-го порядка, причем коэффициенты матриц взяты из поля Р.

Зафиксируем в ЛП L – базис e₁,e₂,…e_n , отображение ставящее в соответствие каждому элементуf элемент из множества М составлен из координат векторовe₁,e₂,…e_n есть линейное отображение, причем взаимнооднозначное.

Док-во: докажем, что - однозначное отображение, т.к. каждый вектор имеет ровно одни координаты в фиксированном базисе, то матрицу можно составить однозначно. Покажем, что- инъекция (если перешли в разные, то исходники разные), [т.е.(e₁) (e₂)=> e₁e₂ ]

Предположим, что предположение неверно и существует 2 отображения иимеющие в базисеe₁,e₂,…e_n одну и туже матрицу.

->A

->A

Т.к. (e₁), (e₂)… (e_n) однозначно связаны с матрицей А

(e₁), (e₂)… (e_n) однозначно связаны с матрицей А

=> (e₁) = (e₁)… (e_n) = (e_n) => преобразования =. Инъекция есть.

3. Покажем, что - сюръекция, т.е. по заданной матрице А можно построить отображение такое, что его матрица будет А. Находим образы векторов e₁,e₂,…e_n

А(e₁), А(e₂), …А(e_n)

(А(e₁) <-C₁, А(e₂)<- C₂, A(e_n)<-C_n).

По теореме 1, построим отображение =>- однозначное, сюръективное.

Из 1,2,3 => - взаимнооднозначное отображение.

Зам-е: из данной теоремы следует, что изучение линейных преобразований равносильно изучению матриц соответствующих размерностей.

Пр.: Пусть L – многочлен R3[x], - оператор дифференцирования

Найти: матрицу этого линейного оператора.

Выберем в L- произвольный базис

e₁=1 =>0 -> (0,0,0,0) в e

e₂=х =>1 -> (1,0,0,0)

e₃=х² =>2х -> (0,2,0,0)

e₄=х³ =>03х² -> (0,0,3,0)

Под действием оператора дифференцирования составим матрицу А

А= - матрица вырожденная

ч2.Вопрос23. Сложение линейных операторов. Свойства.

Пусть заданы 2 линейных преобразования и, линейное пространство над полем Р. Назовем суммой двух линейных преобразований+, линейное преобразование пространстваL, такое что , (+)l=(l)+ (l).

Операция суммы действует как сумма образов.

Свойства:

1). Есть нейтральный элемент.

2). Существует противоположный элемент, найдется -,+(-)=0

3). Ассоциативность есть

4).

=> из коммутативности сложения векторов в линейном пространстве, => образуют группу по сложению.

ч2.Вопрос24. Умножение линейного оператора на число. Свойства.

Опр: _| задано линейное пространство (ЛП) L над P(не обязательно конечномерное) Линейным преобразованием φ ЛП L а себя называют однозначное (но не обязательно взаимно однозначное) отображение, удовлетворяющее свойствам: 1) φ (l₁+l₂)= φ (l₁)+φ(l₂); 2) φ (pl)= pφ (l), где l_1,l_2,l Є Р.

Опр: _| заданы два ЛП L и S над Р. Отображение φ из L в S называется линейным, если выполняются два условия: 1) φ (l₁+l₂)= φ (l₁)+φ(l₂); 2) φ (pl)= pφ (l).

Пусть φ производный линейный оператор: X_n  Y_m Произведением данного линейного оператора на действительное число (R) называется такое отображение X_n  Y_m, что для любого аX_n=> (φ)=φ(а)

Пусть L - лин. пр-во над P, Ф - мн-во ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌всех лин. преобр. над L. Введём во множестве Ф операцию умножения на число.

Замечание: относительно введённой операции, Ф будет лин. пространвом над P. Если φ и ψ ЄФ, то оп правилу умножения отображений: (φψ)(а)=φ(ψ(а)), любаой вектор а Є L.

Проверим φ и ψ Є L: (φψ)(а+в) =φ(ψ(а+в))=φ(ψ(а)+ψ(в))=φ(ψ(а)+φ(ψ(в)) (φψ)(£а)=φ(£ψ(а))=£φ(ψ(а))=£(φψ)(а). £(альфа)

Пусть L – конечномерное лин. простр-во, зафиксируем в нём базис е и найдём матрицу преобразований (ψ+φ), £φ, £ψ в этом базисе Пусть φ, ψ € Ф => φ(е)= е *А, ψ(е)= е*С, (φ+ψ)(е)=φ(е)+ψ(е)= е*А+е*С, т.е. е(А+С) Рассмотрим £φ => φ(е) = е*А; (£φ)(е)=£φ(е)=£(е*А)=е(£А) Мы видим, что при отображении из т-мы (φ Mn(P), φ+ψ  A+C, £φ £A) т.е. образы суммы, произведения и произведения на число равны результатам соответствующих операций над матрицами.

1. Если φ линейный оператор, то φ тоже линейный оператор.

Док-во:a)(φ)(a)=  (φ(a))=  (φ(a)= ( φ(a)= φ(a)= φ(a))=φ)(a))

b)φ) (a+b)= (φ(a+b))= (φ(a)+φ(b))=(φ(a))+(φ(b))=φ)(a)+φ)(b)=> φ)- линейный оператор

2. Если 1*φ=φ, для любого линейного оператора φ.

Док-во:

(1φ)(а) = 1*φ(a)=φ(a) для любого a X_n=> 1*φ и φ – это один и тот же линейный оператор.

3. (+)φ= φ+φ для любого ,R и для любого φ. Док-во: [(+)φ](a)= (+)φ(a)= φ(a)+φ(a)= (φ)(a)+(φ)(a)= [φ+φ](a).

4.Пусть в X_n и Y_m зафиксированы базисы (e₁, e₂,…,e_n)=e в X_n и (b₁, b₂,…,b_n)=b в Y_m. Пусть А_φ – матрица линейного оператора φ в этих базисах(mxn).

Док-во: φ; φ)е₁ = (φ(е₁))= (a₁₁ b₁ +a₂₁ b₂ +…+a_m1 b_m )=(a₁₁)b₁+(a₂₁ b₂)+…+a_m1)b_m

φ)е_n =φ(е_n))= (a₁₁)b₁+(a₂₁ b₂)+…+a_m1)b_m

a₁₁ a₁₂ … a_1n a₁₁ a₁₂ a_1n

A_φ= a₂₁ a₂₂ …a_2n =  a₂₁ a₂₂ a_2n

a_m1 a_m2 … a_mn a_m1 a_m2 a_mn

= *A _φ т.е. A_φ=  *A _φ При умножении линейного оператора на , на это число умножается и его матрица.

ч2.Вопрос25. Умножение линейных операторов. Свойства.

Опр: _| задано линейное пространство (ЛП) L над P(не обязательно конечномерное) Линейным преобразованием φ ЛП L а себя называют однозначное (но не обязательно взаимно однозначное) отображение, удовлетворяющее свойствам: 1) φ (l₁+l₂)= φ (l₁)+φ(l₂); 2) φ (pl)= pφ (l), где l_1,l_2,l Є Р.

Опр: _| заданы два ЛП L и S над Р. Отображение φ из L в S называется линейным, если выполняются два условия: 1) φ (l₁+l₂)= φ (l₁)+φ(l₂); 2) φ (pl)= pφ (l).

Пусть φ:X_n  Y_m, ψ:Y_m  Z_k. Произведение φ*ψ называется X_n  Z_k, задаваемое правилом (φ*ψ)(а)= ψ (φ(а)) для любого аX_n

1)Произведение линейных операторов есть линейный оператор.

Док-во: (φψ)(а+b)= ψ [φ(а+b)]= ψ [φ (а)+φ(b)]= (φψ)(а)+ φψ(b)

(φψ)(а)=ψ [φ(а)]= ψ (φ(а))ψ (φ(а))=  (ψφ)(а)

2)φψ не= ψφ

3)(φψ)=(φ)ψдля любого , ψ, φ, если указанные произведения определены.

Док-во:[ (φψ)](a) = [φψ (a)] = [φ (ψ (a))]φ) ψ(a) = [φ) ψ](a)

Вывод: Линейное пространство в котором определено внутреннее произведение его элементов называют алгеброй => Множество линейных операторов есть алгебра

4)Так как умножение линейных операторов связано с умножением матриц операторов ассоциативно и не коммутативно.

ч2.Вопрос26. Ядро линейного оператора. Свойства.

Пусть заданы линейное пространство (ЛП) L над Р и линейный оператор φ.

Опр: Ядром линейного оператора φ (ker (φ)) называется множество всех элементов ЛП таких, что φ(l)=0, т.е. ker (φ)={l|lЄL, φ(l)=0}. У любого оператора есть ядро.

Свойства:

1) ядро всегда не пусто, т.к. нулевой элемент переходит в нулевой элемент. ker (φ) не=0

2) ядро- линейное подпространство.

Док-во: пусть l₁ и l₂ - произвольные элементы из ядра, тогда φ (l₁+l₂)= φ (l₁)+φ(l₂)=0+0=0

=> замкнутость по сложению есть; Пусть l из ядра, для любого рЄР φ(pl)= pφ (l)={произведение числа на нулевой вектор}=0 => ядро линейное подпространство.

3) размерность ядра dim(ker (φ)= dim L- r(A), где r(A) ранг матрицы А, а А в свою очередь- матрица линейного преобразования φ в любом базисе.

Док-во: пусть линейное преобразование φ в имеет базис е₁…е_п и А- матрица линейного преобразования φ, тогда элемент входит в ядро тогда и только тогда, когда АХ=0

Матричное решение эквивалентно решению системы из r линейных уравнений от n неизвестных. В общем решении получается n-r свободных неизвестных => dim(ker (φ)= n-r

ч2.Вопрос27. Область значения линейного оператора. Свойства.

Пусть заданы линейное пространство (ЛП) L над Р и линейный оператор φ.

Опр: Назовем областью значения линейного оператора множество всех элементов линейного пространства (ЛП) L таких, что { l|lЄL и Эl’ЄL: φ(l’)=l}

Свойства:

1) множество значений не пустое множество.

Док-во: Мы знаем, что при линейном преобразовании φ нулевой вектор переходит сам в себя. Совокупность всех векторов пространства, отображающихся при φ в нулевой вектор будет => непустой и являться линейным подпространством (ядром).

2) множество значений есть ЛП.

НАДО ДОКАЗАТЬ

3) его dim= r(A) линейного преобразования φ в некотором базисе.

Док-во: пусть линейное преобразование φ задаётся в базисе е₁…е_п матрицей А. φ(е₁)… φ(е_п) (1) порождает подпространство L₁ => базис L₁, т.е. максимально линейно независимая подсистема (1). Максимальное линейно независимое число векторов в системе (1) равно максимальному числу линейно независимых строк матрицы А, т.е. равно рангу этой матрицы.

ч2.Вопрос28. Характеристический многочлен матрицы, характеристические числа матрицы, их количество. Подобные матрицы, их характеристические числа.

Определение. Пусть А-квадратная действительная или комплексная матрица n-го порядка. Матрицу А-λЕ=

(где λ – переменная, принимающая люб. числовые значения, Е – единичная матрица n-го порядка) наз. характеристической матрицей матрицы А. Ее определитель f(λ)=|А-λЕ| представляет собой многочлен от переменной λ степени n. Этот многочлен наз. характеристическим многочленом матрицы А.

То, что характ-кий многочлен явл. многочленом от λ, непосредственно вытекает из определения определителя. Наивысшую степень, равную n, среди всех слогаемых определителя |А-λЕ| имеет произведение (a11-λ) (a22-λ)… (ann-λ) (1). Остальн. слагаемые определителя не содержат по крайней мере 2-х элем-ов матрицы А-λЕ с переменными λ и потому имеют степень <=(n-2)→степень многочлена=n. Причем, произведение (1) определяет не только степень характ-ского многочлена, но и два его слагаемых со старшими степенями (-1)ⁿλⁿ и (-1)^n-1(a11+a22+… +ann) λ^n-1. Своб. член характ-ского многочлена совпадает с его значением при λ=0 и равен |А-0*Е|=|А|, т.е. определителю матрицы А. Итак, характ. многочлен м-цы А порядка n имеет вид: p₀λⁿ+ p₁λ^n-1+…+ p_n, где p₀=(-1)ⁿ, p₁=(-1)^n-1(a11+a22+… +ann), p_n=|А|.

Определение. Корни характ-го многочлена |А-λЕ| наз. характеристическими корнями или характер-скими числами м-цы А. Кратность k_i характ-ского корня λ_i в характ-ском многочлене наз. алгебраической кратностью этого корня. Множ-во всех характ-их корней м-цы, в котором кажд. характ-ский корень повторяется столько раз, какова его кратность, наз. спектром м-цы А. Если все характ-ские корни м-цы простые(т.е. имеют единичную кратность), то спектр м-цы наз простым.

В соответствии с формулами Виета коэфф-ты характ-ского многочлена связаны с характ-скими корнями след.обр.:

p₁= λ₁+ λ₂+…+λ_n,

p₂= λ₁ λ₂+ λ₁ λ₃+…+ λ_n-1 λ_n,

_{………………………….}

p_n= λ₁ λ₂…λ_n

Из этих формул, в частности, вытекают часто применяемые соотношения λ₁+λ₂+…+λ_n= a₁₁+a₂₂+…+a_nn, λ₁λ₂…λ_n=|A|. Согласно последнему равенству характ-ский многочлен м-цы имеет нулевые характ-ские корни т. и т.т.,к. определитель этой м-цы=0, т.е. м-ца вырожденная.

Теорема. Подобные м-цы обладают одинаковыми характер-скими многочленами и , след-но, одинаковыми характер-скими корнями.

Доказательство. Если м-цы А и В подобные, то для нек. невырожденной м-цы Q вып-тся равенство B=Q^-1AQ. След-но, учитывая, что м-ца λЕ перестановочна с м-цей Q, а |Q^-1|=|Q|^-1, получаем: |B-λE|=|Q^-1AQ-λE|=|Q^-1(A-λE)Q|=|Q^-1||A-λE||Q|=| Q|^-1|A-λE||Q|=|A-λE|■

Из этого результата следует, ввиду теоремы о связи м-ду м-цами, задающими линейное преобразование в разных базисах, что хотя лин. преобразование φ м. задаваться в разн. базисах различными м-цами, но все эти м-цы имеют один и тот же набор характер-ских корней. Эти корни наз-ют, также, характер-скими корнями самого преобразования φ.