Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский государственный национальный исследовательский университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Algebra_otvety.doc

Скачиваний:

Добавлен:

30.03.2015

Размер:

768.51 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

13 Вопрос (Теорема о фср)

Всякая максимальная линейная не зависимая система решений однородной системы уравнений будет называется Фундаментальной системой решений.

a11x1 + a12x2+…+ a1nxn =b1

(1) a21x1 + a22x2+…+ a2nxn =b2 aij R

am1x1 + am2x2+…+ amnxn =bm

если система имеет не нулевое решение, и если её ранг меньше числа неизвестных. r>n

Теорема: Если ранг из коэффициентов системы линейных однородных уравнений (1) меньше числа неизвестных n, то всякая фундаментальная система решений (1) состоит из n-r решений

Следствие1

Пусть для однородной системы (1) r<n тогда для любого ФСР системы состоит из (n-r) решений (так как в пространстве размерностью (n-r) любого базиса состоит из (n-r) векторов).

Следствие 2 Любая линейная не зависимая система решений однородной системы ранга r из(n-r) решений является ФСР системы.

Связи решений однородной и неоднородной системы

Если в системе заменить столбец свободных членов на нули, то полученную систему называют присоединенной.

Если присоединенная система имеет решение

Уодн=(x₁,x₂,..x_n)- реш однородной

Унеодн=(x’₁,x’₂,..x’_n)- реш неоднородной

Уодн+Унеодн - решение для неоднородной системы

Если вместо У одн получить общий вид решений однородной системы, то все решения неоднородной можно записать в виде:

Уоб.одн+Участнеод

Пр.: Пусть задана система a₁,a₂,..a_n - реш-я для однородной

b₁,b₂,…b_n - частный случай неоднородной

a₁+a₂ - реш-е для однородной

а₁+b₁+b₂ - нет

a₁+b₂ - неоднородной

a₁+a₂+b₁ - неоднородной

b₂-b₁ - реш-е для однородной

ч2.Вопрос15. Сумма подпространств. Свойства.+Вопрос16. Пересечение подпространств. Теоремы.

Опр.: Пусть задано линейное пространство L над полем Р, множество L₁L называется линейным подпространством, если, если L₁– ЛП над полем Р и выполняются 2 условия:

1. L₁входит в L

2. L₁– само по себе ЛП.

Пусть в ЛПП(линейном подпространстве) L заданы 2 ЛПП L₁ и L₂, L₁<L, L₂<L. Назовем пересечением ЛПП L₁и L₂ множество, состоящее из векторов

L₁ L₂={l; lL₁; lL₂}

Суммой двух ЛПП L₁ и L₂ назовем множество векторов вида L₁ + L₂={l₁+l₂; где l₁L₁; l₂L₂}

Док-м, что данное множество является ЛПП, проверим 3 условия.

1). Пусть l₁и l₂ – произвольные элементы из пересечения. l₁, l₂ L₁ L₂.

тогда сумма l₁+l₂ обязана входить L₁, т.к. каждый элемент входит в L₁

l₁+l₂L₂ => (l₁+l₂)L₁ L_2.

2). Умножение на число.

Пусть l – произвольный элемент из пресечения, р- произвольный элемент Р.

=> lL₁; lL₂

т.к. L₁–ЛП, то pl L₁

L₂–ЛП, то pl L₂

значит (pl) L₁ L₂

3). противоположный элемент

Пусть lL₁ L₂=> существует –l

т.к. L₁–ЛП, - l L₁ =>

L₂–ЛП, - l L₂=> - l L₁ L₂

Теорема1: Пусть L – конечномерное ЛП, L₁ и L₂его ЛПП

dim(L)=n<L₁<L, L₂<L.

тогда справедливо dim(L₁+L₂)= dim(L₁)+ dim(L₂)- dim(L₁ L₂)

Док-во: т.к. L- конечномерное ЛП, то все его ЛПП так же будут конечномерными. Рассмотрим базис пространства пересечения L₁ L₂, выберем базис e₁,e₂,…e_n, данная система ЛНЗ(линейно независимая), принадлежит множеству L₁, L₂ => ее можно дополнить до базиса L₁и L_2.

L₁a₁, a₂, … a_n

L₂

Рассмотрим вектора e₁,e₂,…e_n_-ЛНЗ, a₁, a₂, … a_n– ЛНЗ, - ЛНЗ, из того, что ЛНЗ вектора не следует ЛНЗ всей системы, поэтому рассмотрим произвольный вектор С из линейного пространстваL₁+ L₂, он представим в виде С=l₁+l₂(l₁L₁; l₂L₂)

тогда его можно представить в виде линейной комбинации:

произвольный вектор представим в виде линейной комбинации векторов e₁,e₂,…e_n, a₁, a₂, …a_n, . Осталось показать, что данная система ЛНЗ.

ч2.Вопрос 17.Прямая сумма подпространств. Теоремы.

Определение. Подмножество L1 линейного пространства L (L1L) над полем P наз. лин.подпространством этого простр-ва, если оно само явл. лин. простр-вом относительно введенных в L операций сложения векторов и умножения векторов на число из Р(т.е. L1 – ЛП над полем Р).СВ-ВА: 1в люб. ЛП есть подпр-ва(0L; LL); 2для проверки, что L1-ЛПП, достаточно проверить выполнениеслед. условий:-замкнутость сложения; -замкнутость умножения на число из Р; наличие 0-вого и противоположного вектора.

Определение. Пусть в лин.пространстве L даны подпространства L1 и L2. Множ-во L1L2 векторов, принадлежащих как L1, так и L2, явл. подпростр-вом в L. Его наз. пересечением подпространств L1 и L2.

Определение. Множество всех векторов x вида x=a+b, где aL1, bL2, наз. суммой подпространств L1 и L2 и об. через L1+L2. Если при этом пересечение L1L2 – нулевое ЛПП, то сумму L1+L2 наз. прямой суммой и об. через L1L2.

Сумма подпространств явл. подпр-вом. Действительно, пусть x=a+b, y=c+d, где a,сL1, b,dL2. Тогда x+y=(a+c)+(b+d) L1+L2, поскольку (а+с)L1 и (b+d) L2. Аналогично для люб. числа  имеем: x=a+b L1+L2, т.к. aL1 и bL2.

Понятия пересечения и суммы подпространств распространяются на люб. число подпространств.

Если сумма L1+L2 подпр-ств L1,L2 явл. прямой, то представление любого вектора x в виде x=a+b, где aL1, bL2, единственно. В частном случае L= L1L2 кажд.вектор xL имеет представление x=a+b, причем единственное. В этом случае подпр-ва L1,L2 наз. прямыми дополнениями др.др., а слагаемое aL1 – проекцией вектора х на подпр-во L1 параллельно подпр-ву L2.

Теорема. В конечномерном ЛП L размерность суммы L1+L2 подпр-нств L1,L2 равна сумме размерностей этих подпространств минус размерность их пересечений, т.е. dim(L1+L2)= dim L1+dim L2-dim(L1L2).

Доказательство. в ЛПП L1L2 выберем к.л. базис е=(е1,e2,…,ek). Эта с-ма векторов –ЛНЗ и одновременно принадлежит и L1, и L2. Дополним ее до базиса в L1 системой векторов f=(f₁,f₂,…,f_l) и до базиса в L2 с-мой векторов g=(g1,g2,…,gm). Из 3-х с-тем векторов составим объединенную с-му (e,f,g)= (е1,e2,…,ek, f1,f2,…,f_l, g1,g2,…,gm) и докажем, что она явл. базисом в L1+L2.

Через с-му векторов (e,f,g)линейно выражается люб. вектор zL1+L2. Действительно, для z имеет место представление z=x+y, где xL1, yL2. Вектор х лин-но выр-тся ч/з с-му (e,f), а вектор y – ч/з с-му (e,g). Поэтому их сумма z лин-но выр-тся ч/з объедененную с-му (e,f,g).

С-ма векторов (e,f,g) –ЛНЗ. Чтобы доказать это, запишем равенство: 1е1+…+kek+1f1+…+lfl+1g1+…+mgm=0 (1) и покажем, что оно возможно т. при нулевых значениях всех коэфф-тов. В рав-ве (1) объединим слогаемые, относящиеся к вектормам с-тем e и f: а=1е1+…+kek+1f1+…+lfl. Вектор а принадлежит ЛПП-ву L1. Но из рав-ва (1) следует, что а=-1g1+…+mgm и вектор а принадл. ЛПП-ву L2. Значит, аL1L2. Но из этого условия вытекает, что вектор а лин-но выраж-тся ч/з с-му векторов е, т.е.имеет место представление а=1е1+…+kеk. Это представление м. рассматривать как разложение вектора аL1 по базису (e,f). В силу единственности разложения по базису заключаем, что оба разложения совпадают, т.е. 1=1,…, k=k, 1 =…=l=0. C учетом полученных соотношений равенство (1) принимает вид: 1е1+…+kek+1g1+…+mgm=0.

Поскольку с-ма векторов (e,g) –ЛНЗ (как базис L2), это рав-во возможно лишь при нулевых значениях всех коэфф-тов: 1=…=k=1=…=m=0.

Таким образом, доказано, что рав-во (1) выполняется лишь при нулевых значениях всех коэфф-тов, а с-ма (e,f,g) –ЛНЗ и явл. базисом в ЛПП-ве L1+L2. Число векторов в этом базисе, а потому и размерность простр-ва L1+L2, равна k+l+m. Поскольку dimL1=k+l, dimL2=k+m, dim(L1L2)=k, то dim(L1+L2)=k+l+m=(k+l)+(k+m)-k= dimL1+dimL2- dim(L1L2)■.

Пусть L1=(a1,a2,..,ak), L2=( b1,b2,..,bl) – ЛПП-ва в лин. пространстве L. Чтобы найти к.л. базис в ЛПП-ве L1+L2, следует выделить к.л. максимальную ЛНЗ-мую подс-му с-мы векторов a1,a2,..,ak, b1,b2,..,bl. Для этого достаточно составить матрицу из координатных столбцов этих векторов и в этой матрице выделить к.-л. базисный минор. Векторы, на координатных столбцах которых наход-ся базисный минор, образуют базис в ЛПП-ве L1+L2 (При этом, базисный минор м. выбирать не в исходной, а преобразованной матрице.)

ч2.Вопрос 18. Представление линейного пространства в виде прямой суммы подпространств.

Определение. Попротсранство L _λ, кот-е образовано собственными векторами, отвечающими собственному значению λ, наз. собственным подпространством оператора. Собств. подпространство явл. частным случаем инвариантного подпространства лин. оператора, т.е. такого подпростр-ва L, что образом каждого вектора в L явл. вектор, также принадлежащий L.

Теорема. Пусть лин. пространство L распадается в прямую сумму подпространств L=L1L2 инвариантных подпространств лин. оператора φ, действующего в L. Если e₁,e₂,…,e_k – базис в L1, а e_k₊₁,e_k₊₂,…,e_n – базис в L2, то в базисе e1,e2,…,en матрица оператора φ имеет блочно-диагональный вид: (1). При этом блок А1 – это м-ца сужения оператора φ на подпространствоL1 в базисе e₁,e₂,…,e_k, а А2 – это м-ца сужения оператора φ на подпространство L2 в базисе e_k₊₁,e_k₊₂,…,e_n.

Доказательство. В силу инвариантности подпространства L1 имеем:

φе₁=a₁₁ е₁+…+a_k1 е_k,

φе₂=a₁₂ е₁+…+a_k2 е_k,

……………………..

φе_k=a_1k е₁+…+a_kk е_k.

Эти разложения означ., что в первых k столбцах м-цы А лин. оператора φ элем-ты, находящиеся в строках ниже k-й, равны нулю. Аналогично, из инвариантности подпространства L2 вытекает, что:

φе_k₊₁=a_k_+1,_k₊₁ е_k₊₁+…+a_n_,_k₊₁ е_n,

φе_k+2=a_{k+1, k+2} е_k+1+…+a_n,
k+2 е_n,

……………………..

φе_n=a_{k+1, n} е_k+1+…+a_n,n е_n,

φе_k=a_1k е₁+…+a_nkk е_k.

В соотв-щих столбцах м-цы А равны нулю элем-ы, расположенные в строках от первой до k-й. Из этих представлений запишем м-цу =■.

Замечание. Верно и утверждение, обратное доказанной теореме: если м-ца А оператора φ имеет блочно-диагональный вид (1), то подпространства, натянутые на 2 группы векторов базиса, соответствующие блокам А1 и А2, явл. инвариантными, а лин. пространство распадается в прямую сумму этих подпространств.

ч2.Вопрос19. Линейный оператор, его свойства. Матрица линейного оператора. Обратный оператор.

Пусть L,S –два линейных пространства над полем Р. Отображение изL -> S называется линейным, если выполняются 2 условия:

1). (l₁+l₂)= (l₁)+ (l₂)

2). (pl)=p(l)

Не требует взаимной однозначности и изоморфизм – является частным случаем линейного отображения.

Пр.: L=R²

S=0

(a,b)->0

Пр.2:

L=Rⁿ

S=R²

Свойства линейных отображений.

1^о. При линейных отображениях линейная комбинация переходит в линейную комбинацию.

Пусть заданы l₁,l₂,…l_s S

(l₁), (l₂) …(l_s)S

под действием можно разбить на суммы

= выносим =

_{коэффициенты
те же}

2о. (0)=0

рассмотрим (l)=(l+0)= применим 1 св-во= (l)+ (0)

3o. (- a)= - 1(a)

4. Линейно зависимая система_{переходит в линейно зависимую. Обратное
неверно.}

Теорема2:

Пусть F- множество всех линейных преобразований n-мерного пространства. М – множество всех квадратных матриц n-го порядка, причем коэффициенты матриц взяты из поля Р.

Зафиксируем в ЛП L – базис e₁,e₂,…e_n, отображение ставящее в соответствие каждому элементуf элемент из множества М составлен из координат векторовe₁,e₂,…e_n есть линейное отображение, причем взаимнооднозначное.

Док-во: докажем, что - однозначное отображение, т.к. каждый вектор имеет ровно одни координаты в фиксированном базисе, то матрицу можно составить однозначно. Покажем, что- инъекция (если перешли в разные, то исходники разные), [т.е.(e₁) (e₂)=> e₁e₂ ]

Предположим, что предположение неверно и существует 2 отображения иимеющие в базисеe₁,e₂,…e_n одну и туже матрицу.

->A

Т.к. (e₁), (e₂)… (e_n) однозначно связаны с матрицей А

(e₁), (e₂)… (e_n) однозначно связаны с матрицей А

=> (e₁) = (e₁)… (e_n) = (e_n) => преобразования =. Инъекция есть.

3. Покажем, что - сюръекция, т.е. по заданной матрице А можно построить отображение такое, что его матрица будет А. Находим образы векторов e₁,e₂,…e_n