МНМ2012_План_лекции_литература_1семестр

ПРОГРАММА курса "Математика" (МНМ2012, 1 семестр)

Литература

1. Высшая математика для экономистов. Кремер Н.Ш. и др.–М.:ЮНИТИ, 2003.–471с.

2. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании.–М.:Дело, 2003.–688с.

3. Общий курс высшей математики для экономистов. Учебник под общ.ред. В.И.Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2007.–656с.

4. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс.–М.:Айрис-пресс, 2006.–608с.

Лекция 1. Множества.

План. Определение множества. Элемент множества, подмножество (обозначения принадлежности множеству), пустое множество. Операции над множествами (объединение, пересечение, разность, дополнение). Свойства операций (законы). Равенство и эквивалентность множеств. Бесконечные множества. мощность мн-ва, счетные мн-ва (примеры) и множества мощности континуума (примеры). Числовые множества (натуральных, целых, рациональных, иррациональных и действительных чисел). Примеры иррациональных чисел (, lg5, e, ). Мощности основных числовых множеств. Счетность множества рациональных чисел. Несчетность множества действительных чисел отрезка [0,1]. Числовая ось. Ограниченные числовые множества. Максимум, минимум, супремум, инфимум числового множества. Подмножества множества действительных чисел: отрезок, интервал, полуинтервал, бесконечный интервал, окрестность, проколотая окрестность. Модуль числа и его свойства. Часто используемые неравенства с модулями.

Литература: [3, стр.151-170], [4, стр.116-119].

Лекции 2. Функции одной переменной.

План. Определение функции. Область определения и область изменения функции. Способы задания функции (аналитический, табличный и графический). График функции. Свойства функций (четность, периодичность, ограниченность, ограниченность сверху/снизу). Монотонные и строго монотонные функции (возрастающие, убывающие, неубывающие, невозрастающие функции). Определение обратной функции. Достаточное условие существования обратной функции (строгая монотонность прямой функции на промежутке). Построение графика обратной функции по графику прямой функции.

Основные элементарные функции. Графики элементарных функций (y=f(x)): степенных функций (y=х²ⁿ, y=х^2n-1), функций "радикал" (y=х^1/2n, y=х^1/(2n-1)), функций "гипербола"(y=х^-2n, y=х^-(2n-1)), показательных функций (y=а^х (а>1,0<a<1), экспоненты y=е^х), логарифмических функций (y=log_ax (а>1,0<a<1), натурального логарифма y=ln(x), десятичного логарифма y=lg(x)), тригонометрических функций (y=sin(x), cos(x), tg(x), ctg(x)), обратных тригонометрических функций (y=arcsin(x), arccos(x), arctg(x), arcctg(x)), свойства элементарных функций. Функция y=sign(x)=x/|x|. Определение сложной функции (суперпозиции функций). Классификация элементарных функций (алгебраические, рациональные, иррациональные, трансцендентные).Преобразование графиков функций.

Литература: [1, стр.125-134], [4, стр.120-127].

Лекция 3. Последовательности.

План. Определение последовательности, ее обозначения. Определение предела последовательности. Определение сходящейся последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. Определения монотонной, ограниченной последовательностей. Доказательство существования предела последовательности {y_n=(1+1/n)ⁿ} (число е). Иррациональность числа е. Формула сложного процента при непрерывном начислении процента. Предел последовательности корня n-ой степени из n. Свойства бесконечно малых и больших последовательностей. Паутинообразная модель рынка (дискретный случай исследования колебаний спроса, предложения и цены вокруг точки рыночного равновесия).

Литература: [2, стр.25-33, 40-41], [3, стр.179-181], [4, стр.127-132].

Лекция 4-5. Пределы функций и непрерывность.

План. Определение предела функции и его свойства. Односторонние пределы (обозначения и примеры функций, имеющих различные односторонние пределы), бесконечные пределы. Определение бесконечно малой (б.м.) и бесконечно большой функции и связь между ними. Свойства бесконечно малых функций. Сравнение бесконечно малых функций (понятия и обозначения: эквивалентности, одного порядка малости и высшего порядка малости двух функций). Порядок малости. Разность двух эквивалентных б.м. функций. Два замечательных предела (с доказательствами) и следствия из них (стр.151-152). Применение понятия предела для исследования поведения функций в окрестностях точек разрыва и на бесконечности, неопределенности и методы их раскрытия (на примерах).

Определения непрерывной функции в точке (два определения). Определение непрерывности функции на промежутке (интервале, отрезке). Свойства непрерывных функций. Свойства непрерывных на отрезке функций. Классификация точек разрыва. Примеры функций, имеющих точки разрыва 1 и 2 рода.

Литература: [4, стр.132-161].

Лекции 6-9. Дифференциальное исчисление.

План. Определение производной. Геометрический смысл производной. Определение функции, дифференцируемой в точке и на промежутке. Примеры вычисления производной по определению (например, для функций y=x³, y=sin(x), у=ln(х)). Таблица производных. Правила дифференцирования (производная сложной, обратной, неявной и заданной параметрически функций. Производная константы, суммы, произведения, частного). Производная n-го порядка. Теорема Лопиталя и ее использование для раскрытия неопределенностей различных видов. Уравнение касательной и нормали к графику функции в заданной точке, пример. Физико-математический смысл производной, связь производной со скоростью возрастания/убывания функции. Экономический смысл производной (предельные величины, темп, эластичность функции). Обоснование необходимости введения понятий темпа и эластичности. Связь производной, темпа и эластичности.. Эластичность спроса по цене. Связь изменения дохода с эластичностью спроса по цене (пример из [1]).

Необходимые и достаточные условия монотонности функции (возрастания и убывания). Определение точки (особой точки 1 порядка) строгого локального экстремума функции (максимума и минимума). Необходимое условие существования точки экстремума. Критические точки 1-го порядка (точки, подозрительные на экстремум). Достаточные условия 1-го порядка существования точки экстремума. Достаточные условия 2-го порядка существования точки экстремума. Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке.

Определения выпуклости/вогнутости функции (два определения) и их смысл. Определение точки перегиба (особой точки 2-го порядка). Достаточные условия выпуклости/вогнутости функции. Необходимые условия существования точки перегиба. Достаточное условие существование точки перегиба. Таблица соответствия характера поведения графика функции и значений производных 1-го и 2-го порядка на некотором промежутке.

Определение асимптоты графика функции. Порядок нахождения вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот. Примеры.

Общая схема исследования функции. Примеры полного исследования функции и построения графика.

Определение дифференциала функции. Геометрический смысл дифференциала и его связь с приращением функции. Свойства дифференциала.

Формулы Тейлора и Маклорена. Примеры разложения по формуле Маклорена основных элементарных функций.

Литература [4, стр.161-217], [1, стр.176-249].

Лекции 10-12. Интегральное исчисление.

План. Определение первообразной и неопределенного интеграла. Геометрический смысл. Совместные свойства операций интегрирования и дифференцирования. Таблица интегралов. Свойства неопределенного интеграла. Замена переменных и подстановка. Примеры. Интегрирование по частям. Типы функций, интегрируемых по частям. Примеры.

Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен. Рациональные дроби. Простейшие дроби и их интегрирование. Разложение рациональной дроби на простейшие (определение правильной и неправильной дробно-рациональной функции, приведение произвольной дробно-рациональной функции к сумме многочлена и правильной рациональной дроби, метод неопределенных коэффициентов разложения правильной рациональной функции на сумму элементарных (простейших) дробей). Интегрирование некоторых классов элементарных функций (содержащих иррациональные и тригонометрические функции).

Понятие интегральной суммы. Определение определенного интеграла, его геометрический смысл. Свойства определенного интеграла. Функция верхнего предела. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменных в определенном интеграле. Вычисление определенных интегралов по частям. Несобственные интегралы I и II рода. Примеры.

Вычисление площадей (в декартовой системе координат). Длина дуги (в декартовой системе координат). Объем тела. Объем эллипсоида. Объем тела вращения. Коэффициент Джини (кривая Лоренца), характеризующий равномерность распределения экономических показателей.

Литература [4, стр.226-289], [1, стр.251-322].