13

Лекция 11

Элементы квантовой механики

Вопросы

1. Корпускулярно-волновой дуализм свойств веществ.

2. Некоторые свойства волн де Бройля.

3. Соотношения неопределенностей.

4. Волновая функция и ее статистический смысл.

1. Корпускулярно-волновой дуализм свойств веществ

Рис. 1. Иллюстрация идеи де Бройля возникновения стоячих волн на стационарной орбите для случая n = 4.

Попытки применить теорию Бора к более сложным атомам не увенчались успехом. Бор не смог дать физическую интерпретацию правилу квантования. Это было сделано десятилетием позже Луи де Бройлем (франц., 1892 – 1987 г.г.) на основе представлений о волновых свойствах частиц де Бройль предложил, что каждая орбита в атоме водорода соответствует волне, распро­стра­няю­щей­ся по окружности около ядра атома. Это явление очень похоже на ста­цио­нар­ную картину стоячих волн в струне с за­кре­плен­ными концами.

Луи де Бройль выдвинул в 1923 г. гипотезу об универсальности корпускулярно-волнового дуализма: с каждым микрообъектом (не только фотоном, но и электроном и др. частицами) связаны с одной стороны корпускулярные характеристики (энергия Е, импульс Р), а с другой стороны  волновые характеристики (частота  и длина волны ).

; ; . (1)

Это длина волны де Бройля, отвечающая движению частицы вещества.

Экспериментальные подтверждения

1. Американские физики К. Дэвиссон (1881 – 1958) и Л. Джермер (1896 – 1971) обнаружили в 1927 году, что пучок электронов, рассеиваясь от естественной дифракционной решетки (кристалла никеля) дает отчетливую дифракционную картину, соответствующую формуле Вульфа – Брэггов.

2. В 1928 году английский физик Дж. Томсон (сын Дж. Томсона, открывшего за 30 лет до этого электрон) получил новое подтверждение гипотезы де Бройля. В своих экспериментах Томсон наблюдал дифракционную картину, возникающую при прохождении пучка электронов через тонкую поликристаллическую фольгу из золота.

3. 

   Рис. 2. Упрощенная схема опытов Дж. Томсона по дифракции электронов.

   K – накаливаемый катод, A – анод,

   Ф – фольга из золота.

   Рис. 3. Картина дифракции электронов на поликристаллическом образце при длительной экспозиции (a) и при короткой экспозиции (b).

   
   В 1948 году советский физик В.А. Фабрикант (р. 1907) показал, что волновые свойства присущи не только пучку, но и каждому электрону в отдельности. Для слабого пучка (промежуток времени между электронами больше в 10⁴ раз времени прохождения электроном прибора) при длительной экспозиции была получена дифракционная картина.

Открытие волновых свойств микрочастиц привело к новым методам исследования: электронографии, нейтронографии, к новой отрасли науки – электронной оптики.

Для макроскопического тела m = 1 г, v = 1 м/c:

, такая длина волны не обна­ру­жи­вается решеткой.

2. Некоторые свойства волн де Бройля

Рассмотрим свободно движущуюся частицу массой m со скоростью v.

, (2)

т.е. фазовая скорость может быть больше скорости света.

3. Соотношения неопределенностей

Из-за двойственной природы частиц необходимо внести ограничения в применение к объектам микромира законов и понятий классической механики.

В классической механике частица имеет траекторию, в любой момент времени зафиксирована ее координата и импульс.

Микрочастица из-за волновых свойств существенно отличается от классической частицы. Нельзя говорить о траектории и одновременно точных координатах и импульсе. Понятие «длина волны» лишено физического смысла, т.к. импульс выражается через длину волны (Р = h/).

В связи с этим немецкий физик Вернер Гейзенберг сформулировал в 1927 г общий принцип, получивший название принципа неопределенности: микрочастица не может иметь одновременно и определенную координату (x) и определенную соответствующую проекцию импульса (Р_x), причем неопределенности этих величин удовлетворяют условию

. (3)

Смысл (3) состоит в том, что, чем больше масса частицы, тем меньше неопределенность ее координаты и скорости, тем с большей точностью может быть найдена ее траектория.

Пример 1. Пылинка массой m = 10^-12 кг размером l = 10^-6 м, координата определена с точностью 0,01 ее размера (x = 10^-8м). Неопределенность скорости

мала и не будет сказываться на скорости движения пылинки. Для описания ее движения можно пользоваться законами классической механики.

Пример 2. Пучок электронов в трубке осциллографа движется со скоростью v = 10⁸ м/c, определяемой с точностью 0,01% (v_x = 10⁴ м/c). Неопределенность координаты электрона

значительно меньше разрешающей способности глаза (0,1 мм = 110^-4 м), поэтому движение пучка электронов можно описывать законами классической механики.

Пример 3. Электрон в атоме водорода. Неопределенность координат электрона равна размеру атома (x  10^-10 м)

,

неопределенность скорости в несколько раз больше самой скорости (v  2,3 10⁶ м/c). Т.о., нельзя пользоваться законами классической механики для описания движения электрона.

Соотношение неопределенностей для энергии и времени: система, имеющая среднее время жизни t, не может быть охарактеризована определенным значением энергии; разброс энергии Е=h/t возрастает с уменьшением среднего времени жизни:

(4)

Соотношения неопределенностей  предмет дискуссий. Идеалистическое толкование  соотношение неопределенностей устанавливает границу познаваемости мира. На самом деле это соотношение не ставит предела познанию микромира, а указывает, насколько применимы к нему понятия классической механики.

Идея де Бройля послужила исходным пунктом квантовой механики, созданной в 1926 - 1927 г. трудами В. Гейзенберга, М. Борна, Э. Шредингера, и П.Дирака.