Литература ЭПУ / Розанов Ю.К. Электрические и электронные аппараты / Розанов Ю.К. Электрические и электронные аппараты / glava_1

Переменное квазистационарное электромагнитное поле характеризуется одновременным существованием в пространстве взаимосвязанных электри- ческого и магнитного полей. Эта взаимосвязь определяется вторым уравненением Максвелла-зако- ном электромагнитной индукции:

Уравнение (1.85) выражает факт индуктирования в любой среде вихревого электрического поля изменяющимся во времени магнитным полем. На-

личие проводящего контура не является обязательным. В проводящей среде индуктированное электрическое поле вызывает вихревые токи, изменяющие картину магнитного поля в соответствии с законом полного тока (1.71), в котором плотность J в отли- чие от стационарного магнитного поля определяется не только сторонним током iñò , но и вихревым

током iâ.

Если в (1.85) подставим выражение магнитной индукции через векторный магнитный потенциал

[см.(1.75)], то, имея в виду возможность замены последовательности дифференцирования по времени и пространственным координатам, получим:

Ñ ´ E = -¶(Ñ ´ A) ¤ ¶t = -Ñ ´ (¶A ¤ ¶t)

или, учитывая, что сумма роторов равна ротору суммы:

Ñ ´ (E + ¶A ¤ ¶t) = 0 . (1.86)

Решение уравнения (1.86) может быть представлено в виде:

поскольку ротор всякого градиента тождественно равен нулю.

Это решение привело Максвелла к следующему выражению для определения напряженности электрического поля:

в которое входит градиент скалярного электрического потенциала.

Равенство (1.88) представляет собой дифференциальное выражение закона электромагнитной индукции.

Действительно, интегрируя (1.88) по замкнутому контуру L, получим:

Первый интеграл в правой части (1.89) равен нулю;второй же интеграл по (1.79) дает нам магнитный поток. Поэтому выражение (1.89) тождественно закону Фарадея

Если магнитное поле B неизменно во времени, но среда двигается относительно этого поля со скоростью v, то в среде также индуктируется напряженность электрического поля

и соответствующая ей электродвижущая сила

Предполагается, что векторные величины B è E¢ измеряются в одной и той же системе отсчета.

С учетом (1.89) и (1.91) получаем обобщенное второе уравнение Максвелла в дифференциальной форме

E = -Ñjý - ¶A ¤ ¶t + (v ´ B) . (1.93)

Трем слагающим этого уравнения можно дать следующие названия, облегчающие запоминание их физического смысла:

-Ñjý – напряженность в конденсаторе; -¶A ¤ ¶t – напряженность в трансформаторе; v ´ B – напряженность в электромашинном генераторе (или конденсаторная, трансформаторная и генераторная напряженности). Вместо названия генераторная напряженность используется также термин напряженность движения.

Обобщенному уравнению Максвелла соответствует электродвижущая сила

Здесь -¶( ò A d l) ¤ ¶t – трансформаторная э.д.с.;

L

ò (v ´ B)d l – генераторная э.д.с. (э.д.с. движения).

L

Выше было показано, что первая слагаемая в уравнении (1.94) тождественна закону Фарадея (см. (1.90)). Можно показать, что вторая слагаемая также тождественна этому закону (см., например, решение задачи 6.3 в [101].

Строго говоря, все вещества магнитны, поскольку магнитны их атомы. Магнитные свойства веществ обуславливаются главным образом движением элементарных носителей зарядов – электронов, которые, вращаются как вокруг своей оси (спиновое движение),так и по орбите вокруг ядра ( орбитальное движение). Эти движения электронов эквивалентны круговым микротокам, создающим в материале магнитные моменты. Кроме того могут возникать индуктированные моменты, вызываемые вращением электронов вокруг оси направления воздействующего внешнего поля, что связано с явлением электромаг-

нитной индукции. Объемная плотность магнитных моментов называется вектором намагниченности M.

Магнитные свойства материалов характеризуются зависимостями индукции B или намагниченности M от напряженности поля H – материальными уравнениями. Эти уравнения соотносятся с конкретной точкой пространства и в общем слу- чае имеют вид векторных функций векторных параметров магнитного поля, а также предыстории намагничивания. Такие функции позволяют воспроизводить как изотропные, так и анизотропные и гистерезисные свойства магнитных материалов.

По магнитным свойствам все материалы подразделяются на парамагнетики, диамагнетики, ферромагнетики, антиферромагнетики и ферримагнетики (ферриты).

Диамагнетики и парамагнетики относятся к материалам со слабыми магнитными свойствами.

В диамагнетиках спиновые и орбитальные моменты компенсируют друг друга – при отсутствии внешнего поля эти материалы не имеют собственного суммарного момента. Индуктированные же в них моменты ослабляют внешнее поле, поэтому магнитная проницаемость диамагнитного вещества меньше магнитной постоянной μ0.

У атомов парамагнетиков имеются собственные суммарные магнитные моменты, существующие независимо от внешнего магнитного поля. Однако тепловое движение электронов в парамагнетиках препятствует их самопроизвольной (спонтанной) ориентации, и результирующая намагниченность парамагнетика при отсутствии внешнего поля равна нулю. При наложении внешнего поля магнитные моменты ориентируются вдоль него. Происходит усиление поля по сравнению с полем, созданным той же магнитодвижущей силой в пустоте. Поэтому магнитная проницаемость парамагнетиков больше чем μ0.

Значительно более сильный эффект намагничи- вания наблюдается у ферромагнетиков. Ферромагнетизм наблюдается у некоторых металлов(железа, кобальта, никеля). Кроме того ферромагнитными могут быть сплавы из ферромагнитных и из ферромагнитных и неферромагнитных элементов. Известны также ферромагнитные сплавы только из неферромагнитных элементов, например, сплавы марганца с медью и алюминием, марганца с серебром и алюминием.

Между атомами ферромагнитных веществ существуют так называемые обменные силы, противо-

Рис. 1.18. Схема процесса намагничивания:

à – кривые начального намагничивания; á – размагниченное состояние; â – смещение границ доменов; ã, ä – вращение магнитных моментов; å – парапроцесс

действующие дезориентирующему тепловому движению электронов. Под действием этих сил магнитные моменты группы атомов ориентируются параллельно друг другу и образуют элементарные объемы – домены, самостоятельно (спонтанно) намагниченные до насыщения. Магнитный момент домена приблизительно в 1015 раз больше магнитного момента атома.

Рассмотрим процесс намагничивания образца ферромагнетика (рис.1.18,à). В ненамагниченном состоянии векторы спонтанной намагниченности расположены в нем по всем направлениям равномерно (рис.1.18,á). При наложении внешнего магнитного поля с возрастающей напряженностью векторы спонтанной намагниченности, изначально ориентированные в разных доменах по разному, постепенно выстраиваются в одном направлении. Этот процесс называется техническим намагничиванием. Он характеризуется кривой начального намагничивания (ðèñ.1.18,à) – зависимостью B(H) или зависимостью M(H) в материале.

При воздействии слабого намагничивающего поля ( участок OA ) происходят обратимые смещения междоменных границ. Домены, магнитные моменты которых имеют малый угол с направлением внешнего поля, плавно растут в объеме за счет соседних доменов (рис.1.18,â). Кривая начального намагничивания на этом участке, называемом областью Релея, имеет небольшой наклон с положительной крутизной. При снятии намагничивающего поля форма доменов восстанавливается. Намагниченность образца опять становится равной нулю.

В более сильных полях (участок AC) движение границ доменов перестает быть плавным. Отдельные участки изменяют свое положение скачкообразно,что приводит к скачкообразному изменению намагниченности образца (эффект Баркгаузена). Кривая намагничивания круто идет вверх. В конеч- ной точке этого участка векторы спонтанной намагниченности доменов будут в объеме всего образца ориентированы вдоль одной из его так называемых осей легкого намагничивания, имеющей минимальный угол с направлением поля (рис.1.18,ã). Движение границ на этом участке большей частью необратимо.При уменьшении внешнего поля до нуля намагниченность образца не возвращается в исходную точку, а определяется кривой CD, т. е. образец остается намагниченным. Это явление называется магнитным гистерезисом.

При дальнейшем увеличении напряженности (начиная с конца участка AC) преобладает процесс обратимого поворота векторов намагниченности доменов в сторону направления приложенного поля (участок CE) до достижения технического

насыщения материала в конце этого участка (точка E), когда вектора спонтанной намагниченности совпадают с вектором поля (рис.1.18,ä). Это состояние наступает при напряженности технического насыщения Hs, которой на кривой B(H) соответствует магнитная индукция технического насыщения Bs, а на кривой M(H) – намагниченность технического насыщения Ms.

Дальнейший процесс намагничивания близок к процессам намагничивания парамагнетиков. В этой области возрастает намагниченность самих спонтанных областей за счет переориентации отдельных спиновых магнитных моментов,дезориентированных тепловым движением. Дело в том, что только при абсолютном нуле температуры в области спонтанной намагниченности (в домене) спиновые магнитные моменты (спины) все направлены в одну сторону. При температуре же выше абсолютного нуля есть антипаралльные спины. Поле переориентирует их, и намагниченность растет (рис.1.18,å), но существенно в меньшей степени, чем на предыдущих участках кривой начального намагни- чивания.

С увеличением температуры нарушается параллельность спинов в домене, все больше появляется антипараллельных спинов. Спонтанная намагни- ченность снижается. Для конкретного ферромагнитного материала существует определенная температура, при которой доменные образования полностью исчезают, т.е. исчезает спонтанная намагниченность. Эта температура носит название ”температура точки Кюри”. Для железа она равна 790 °C, для никеля 340 °C, для кобальта 1150 °C, для пятидесятипроцентного (50% Fe + 50%Ni) пермаллоевого сплава 550 °C. Выше температуры точки Кюри ферромагнитные материалы ведут себя как парамагнетики.

Уменьшение температуры ниже температуры точки Кюри возвращает материалу магнитные свойства, причем он становится размагниченным, т.е. приобретает доменную структуру с нулевой результирующей намагниченностью. Поэтому разогрев изделий из ферромагнитных материалов выше температуры точки Кюри используется для их полного размагничивания.

Помимо начальной кривой намагничивания существуют и другие виды, в частности, основная(или коммутационная) кривая намагничивания, являющаяся геометрическим местом вершин частных статических симметричных петель гистерезиса

(ðèñ.1.19).

Петлями гистерезиса (рис.1.19) называют кривые, отражающие изменения магнитного состоя-

ния магнитных материалов под действием цикли- чески изменяющегося внешнего магнитного поля. При испытаниях этих материалов петли гистерезиса строятся для функций B(H) èëè M(H) внутри материала в зафиксированном направлении. Статическая петля гистерезиса (СПГ) определяются при медленном изменении внешнего поля (dH/dt ≈ ≈ 0), т. е. практически при постоянном токе.

Пусть мы намагнитили материал до технического насыщения (Hs,Bs) – точка 1 на рис.1.19. Последующее снижение напряженности поля H внутри материала до нуля (участок 1-2 на петле гистерезиса) позволяет определить значение остаточной магнитной индукции Br (точка 2). Дальнейшее увеличение напряженности поля в отрицательном направлении (участок 2-3) до значения Hñâ (коэрцитивная сила по магнитной индукции) приводит к B = 0(точка 3). Далее материал перемагничивается в отрицательном направлении (участок 3-4) до насыщения при H=-Hs. Изменение напряженности поля в положительном направлении замыкает предельный гистерезисный цикл по кривой 4-5-6-1, представляющей собой отражение спинки петли 1-2-3-4 относительно точки 0, – получаем предельную статическую петлю гистерезиса (ÏÑÏÃ).

Множество состояний материала в пределах площади, охватываемой ПСПГ, может быть достигнуто при изменениях напряженности магнитного поля, приводящих к частным симметричным или частным несимметричным гистерезисным циклам.

Рис. 1.19. Магнитный гистерезис:

1 – кривая начального намагничивания; 2 – предельный гистерезисный цикл; 3 – основная кривая намагничивания; 4 – симметричные частные циклы; 5 – несимметричные частные циклы

Частные симметричные гистерезисные циклы

(циклы 4 на рис.1.19) опираются вершинами на основную кривую намагничивания.

Частные несимметричные гистерезисные циклы

образуются, если начальная точка отхода не находится на основной кривой намагничивания при симметричном изменении напряженности поля (циклы 5 на рис.1.19), а также при несимметричном изменении напряженности поля.

Связь между магнитной индукцией B и напряженностью H магнитного поля по основной кривой намагничивания определяется через абсолютную магнитную проницаемость mà (см.(1.69)). Для того, чтобы охарактеризовать связь B è H в конкретной точке кривой намагничивания при малых изменениях этих величин, используют динамическую (дифференциальную) магнитную проницаемость

Качественные зависимости ma è mad îò H приведены на рис.1.20.

Рис. 1.20. Кривые магнитной проницаемости

Рис. 1.21. Идеальная прямоугольная кривая намагничивания

Кривые намагничивания и гистерезисные циклы строятся также для зависимостей намагни- ченности M от напряженности поля H. В этом случае на предельном гистерезисном цикле отмеча- ются характерные точки:

намагниченность насыщения материала Ms

ïðè Hs;

остаточная намагниченность Mr, когда напряженность поля в материале равна нулю;

коэрцитивная сила по намагниченности HcM, когда намагниченность в материале равна нулю (коэрцитивные силы по индукции и намагниченности не равны друг другу).

Форма СПГ(рис.1.19) характеризуется наклоном пологих и крутых участков. В ряде электрических аппаратов (магнитные усилители, магнитные логи- ческие элементы, аппараты силовой электроники и др.) используются магнитные материалы, СПГ которых при анализе работы этих аппаратов обоснованно представляется идеально прямоугольной (рис.1.21). Для СПГ такой формы на вертикальных участках mad = ¥, а на горизонтальных участках mad = 0.

Площадь СПГ определяет потери в ферромагнетике при его статическом (медленном) перемагни- чивании, которые называются потерями на гистерезис.

Электромагнитные компоненты многих электрических аппаратов работают на переменном токе. Поэтому описание свойств ферромагнетиков в таких аппаратах посредством СПГ приводит к неправильным результатам, особенно на повышенных частотах. Для этих целей используют динамические петли гистерезиса (ДПГ), которые представляют собой зависимости B(H), когда dH ¤ dt >> 0 (рис.1.22). При этом с повышением частоты перемагничивания ДПГ расширяют свою площадь, т. е увеличиваются потери в ферромагнетике. Кроме того крутые участки ДПГ становятся более пологими. Это объясняется запаздыванием ориентации доменов от изменения H (явление магнитной вязкости) и вихревыми токами в ферромагнетике, препятствующими процессу перемагничивания. На характер ДПГ оказывают влияние не только свойства ферромагнетика, но и другие факторы, например, вид перемагничивающего устройства (источник тока или источник напряжения), форма воздействующих токов и напряжений, конструкция магнитопровода и др.[85].

Ферромагнитные материалы разделяют на магнитомягкие и магнитотвердые.

Магнитомягкие ферромагнитные материалы обладают малой коэрцитивной силой ( Hñâ < 0,4 êA/ì),

высокой магнитной проницаемостью (μr äî 300.103) и в значительной своей части – большей магнитной индукцией технического насыщения (Bs äî 1,5÷ ÷2,4 Òë).

Рис. 1.22. Статическая (СПГ) и динамическая (ДПГ) петли гистерезиса

Рис. 1.23. Кривые намагничивания некоторых наиболее используемых магнитомягких материалов:

1 – пермендюр (сплав 50% Fe и 50% Co); 2 – электротехническая сталь 3413; 3 – электротехническая сталь 1211; 4 – пермаллой 50Н; 5 – пермаллой 79НМ

К ним относятся технически чистое железо, электротехнические стали, пермаллои, пермендюры и аморфные сплавы. Благодаря малой коэрцитивной силе они имеют узкую СПГ, что определяет малые потери на гистерезис. Высокая магнитная индукция насыщения обеспечивает прохождение максимального магнитного потока через заданную площадь поперечного сечения.

Эти свойства позволяют использовать магнитомягкие материалы в электрических аппаратах для магнитопроводов и концентраторов магнитных потоков.Основные кривые намагничивания некоторых из таких материалов приведены на рис.1.23.

Технически чистое железо содержит менее 0,05% углерода и минимальный процент примесей, в том числе кремния. По многим параметрам к этому материалу близки низкоуглеродистые электротехни- ческие стали ñ μr äî (3÷6).103, HcB = (0,06÷0,1) êÀ/ì è Bs ≈ 2,1 Тл. Эти материалы, выпускаемые в виде листов и прутков, применяются при изготовлении маломощных электромагнитов.

Кремнистые электротехнические стали содержат 0,5÷5% кремния и поэтому имеют высокое удельное электрическое сопротивление, что снижает потери на вихревые токи.Их максимальная относительная магнитная проницаемость составляет (6÷40)103, коэрцитивная сила HcB менее 0,1кА/м, а индукция технического насыщения доходит до (1,9÷2,1) Тл. Кремнистые электротехнические стали выпускаются в виде листов и лент и используются для изготовления шихтованных магнитопроводов быстродействующих электромагнитов постоянного тока и электромагнитов переменного тока, а также для витых сердечников магнитных компонентов силовой электроники. Они применяются при рабочих частотах от 50 Гц до 5 кГц. При более высоких частотах из магнитомягких ферромагнитных материалов используются пермаллои.

Пермаллои – это сплавы железа с никелем, лигированные другими элементамми (Mo, Cr,Cu,Si и пр). Существуют два вида пермаллоев: высоконикелевые с содержанием никеля 70÷80% (например, марка 79НМ) и низконикелевые с содержанием никеля 40÷50% (например, марка 50Н).

В слабых магнитных полях пермаллои обладают более высокой магнитной проницаемостью чем электротехнические стали – см. рис. 1.23. Значения максимальной относительной магнитной проницаемости достигает у низконикелевых пермаллоев 125.103, а у высоконикелевых – 300.103. Для них также характерны низкие значения коэрцитивной силы (HcB ≈ 0,002÷0,08 кА/м). Благодаря этим двум факторам пермаллои отличаются высокой прямо-

угольностью СПГ и малой е¸ площадью. Последнее определяет малые потери на гистерезис. Однако магнитная индукция технического насыщения у этих материалов(0,5÷1,5 Тл) ниже чем у электротехнических сталей.

Пермаллои выпускаются в виде лент, листов

èпрутков. Минимальная толщина ленты достигает 5 мкм.

Ñточки зрения уменьшения габаритов и массы различных электромагнитных аппаратов большой интерес представляют сплавы железа с кобальтом (сплавы типа пермендюр).

Их магнитная индукция технического насыщения достигает 2,4 Тл. Максимальная относительная

магнитная проницаемость у большинства этих сплавов составляет 4,5.103÷40.103, а коэрцитивная сила достаточно низкая (0,02÷0,26 êÀ/ì).

Преимущество сплавов железо-кобальт перед технически чистым железом становится ощутимым в области индукций выше 1 Тл. Так вблизи индукции 1,8 Тл проницаемость кобальтовых сплавов больше чем у железа приблизительно в 40 раз. Поэтому эти сплавы применяют,в частности, для полюсных наконечников с высокой индукцией.

Посредством специальных режимов прокатки, отжига и магнитной обработки из сплава 49%Fe, 49%Co и 2%V удалось создать анизотропный материал, имеющий практически прямоугольную СПГ

èмаксимальную относительную магнитную проницаемость до 70.103. При индукции 2 Тл проницаемость у него снижается до 33.103, однако при высоких индукциях она у этого сплава в 500 раз выше проницаемости железа, применяемого в магнитопроводах электромагнитных реле.

Высокая стоимость железокобальтовых сплавов предопределяет их применение главным образом в специальной аппаратуре.

Аморфные сплавы отличаются от указанных выше магнитомягких материалов отсутствием кристалли- ческой решетки. Аморфное состояние структуры достигается закаливанием расплавленного мате-

риала с очень большой скоростью (примерно 10 °C/с). Основой таких материалов являются различные сплавы железа с бором и кремнием, легированные различными компонентами, например хромом. Аморфные сплавы отличаются от кристаллических рядом повышенных магнитных и механи- ческих свойств, а также высокой антикоррозионной стойкостью. Основное их преимущество – низкое значение удельных потерь на перемагничи- вание (более чем на порядок меньше у отдельных марок этих сплавов по сравнению с кристаллическими сплавами). Это позволяет получить значи-

тельный экономических эффект при производстве серийных электромагнитных компонентов за счет снижения их металло- и энергоемкости [87].

Магнитотвердые ферромагнитные материалы

отличаются большими значениями коэрцитивной силы (Hñ > 40 кА/м ) и магнитной энергии, отдаваемой во внешнее пространство выполненными из них и намагниченными изделиями. Эти изделия называются постоянными магнитами, которые совместно с обмотками, по которым протекает ток, являются первичными источниками магнитного поля. Важнейшей характеристикой таких материалов является участок СПГ, расположенный во втором квадранте (между положительной осью магнитной индукции B, намагниченности M или индукции намагниченности BM и отрицательной осью напряженности поля H – см. рис.1.19). Этот участок СПГ называется кривой размагничивания. Кривые размагничивания наиболее используемых в настоящее время магнитотвердых материалов даны на рис.1.24.

Выбор магнитотвердого материала определяется назначением постоянного магнита, а также технологическими и экономическими соображениями. Кроме того необходимо учитывать вопросы механической прочности, устойчивости к воздействию размагничивающих полей и окружающей температуры.

Более подробные сведения о магнитотвердых материалах и постоянных магнитах можно полу-

Рис. 1.24. Кривые размагничивания некоторых наиболее используемых магнитотвердых материалов:

1 – сплав NdFeB; 2 – редкоземельный сплав КС37А; 3 – сплав альнико ЮНДК35Т5БА; 4 – феррит стронция 28СА

чить из параграфа 1.3.4 настоящего учебника и из специальной литературы,например [16].

В электрических аппаратах используются также материалы, которые по своим свойствам относятся к антиферромагнетикам. У них оказывается энергетически выгодным антипарраллельное расположение спинов соседних атомов. Созданы антиферромагнетики, обладающие значительным собственным магнитным моментом, приближающимся (в 2–5 раз меньше) к моменту ферромагнетиков. Такие материалы получили название ферримагнетиков (ферритов). В отличие от металлических, хорошо проводящих ферромагнитных материалов, ферриты являются полупроводниками. Поэтому их удельное электрическое сопротивление намного превышает аналогичное сопротивление сталей и сплавов. Высокое значение электрического сопротивления позволяет значительно снизить вихревые токи и вызываемые ими потери мощности.

Ферриты изготавливают путем прессования и термической обработки порошков из окислов железа,цинка, марганца и других материалов. Максимальная относительная магнитная проницаемость у них равна (2÷5).103, а индукция технического насыщения 0,35÷0,5 Тл [87]. Ферриты бывают как магнитомягкие (никелевые, марганцевые), так и магнитотвердые (бариевые, стронциевые).

Малые потери мощности от вихревых токов, а также возможность производства изделий из них произвольной формы обусловило широкое использование магнитомягких ферритов в качестве магнитопроводов. Изделия из магнитомягких, так называемых термомагнитных ферритов (с низкими температурами точки Кюри – 10÷70 °C) нашли применение в пожарных извещателях. Магнитотвердые ферриты (например, феррит стронция, – рис.1.24), используются для изготовления постояннных магнитов.

Для создания магнитопроводов с малыми зна- чениями магнитной проницаемости, мало зависящей от воздействия постоянных и переменных полей, используются магнитодиэлектрики. Эти материалы имеют очень высокое удельное электрическое сопротивление, что практически исклю- чает возникновение в них вихревых токов. Среди таких материалов наибольшее распространение получил альсифер – тройной сплав алюминия, кремния и железа. Низкие значения абсолютной магнитной проницаемости μa (от нескольких единиц до сотен) позволяют эффективно использовать эти сплавы в реакторах и фильтрах с практически постоянной индуктивностью в широком диапазоне изменения напряженности магнитного поля.

Анализ силовых взаимодействий в электромеханических аппаратах требуется для установления количественных связей между электрическими и механическими величинами. В частности, для электромагнитов одной из основных характеристик является зависимость электромагнитной силы (èëè

электромагнитного момента) от положения подвижного элемента (в электромагнитах – это якорь) для различных постоянных значений напряжения,

приложенного к обмотке, или тока в обмотке. Такую зависимость называют тяговой характеристикой. Возникающие при преобразовании электри- ческой энергии в механическую в этих аппаратах электромагнитная сила или электромагнитный момент полностью определяются параметрами электромагнитного поля. Как показано в подразделе 1.3.1, электромагнитное поле создается его источниками.

На распределенные в пространстве электрические объемные заряды плотностью ρ и поверхностные заряды плотностью σ действует электростати- ческая сила Pýñ, определяемая законом Кулона для распределенных зарядов.

Pýñ = ò ρEdV + ò σEdS , (1.96)

V S

ãäå V è S – объем и площадь поверхностей, занимаемые зарядами, с которыми определяется силовое взаимодействие поля; E – напряженность внешнего по отношению к текущей точке интегрирования электрического поля, т.е. поля, созданного всеми внешними по отношению к данной точке зарядами.

à) Определение электромагнитной силы взаимодействия проводников с током и магнитного поля на основе использования закона Ампера и закона Био-Са- вара-Лапласа

Закон Ампера в дифференциальной форме определяет элементарную электромагнитную силу d Pýì, действующую на элементарный участок dl бесконечно тонкого проводника с током i, находящийся в однородном магнитном поле с индукцией B, создаваемом внешними по отношению к этому участку источниками:

dPýì = i(d l ´ B) = i dl sing , (1.97)

где g – угол между векторами dl è B.

Магнитная индукция B, создаваемая в середине участка длиной dl внешним элементарным источ- ником длиной dl¢ и током i ¢, при отсутствии ферромагнитных участков в поле ( или пренебрежении их влиянием ) находится, используя закон Áèî-Ñà- вара-Лапласа

ãäå r – радиус-вектор от середины длины dl¢ до середины длины dl, a – угол между векторами dl¢ è r.

Полная электромагнитная сила Pýì, действующая на весь проводник длиной l и током i, находится суммированием dPýì.

Если требуется учесть конкретные размеры поперечного сечения проводников, используется понятие коэффициента его формы [2,4].

Электромагнитные силы, возникающие при воздействии магнитного поля на проводники с током, называются также электродинамическими силами

(ñì. ï. 2.3).

á) Определение электромагнитной силы по изменению магнитной энергии или магнитной коэнергии (энергетический метод)

Электромагнитная сила Pýì может быть определена по изменению магнитной энергии (энергии, запасаемой магнитным полем) W магнитной системы (рис.1.25) при перемещении x подвижного элемента в условиях постоянства магнитных потоков Fk âñåõ n возбуждающих контуров (Fk = const;

k = 1,2,....,n) или постоянстве потокосцеплений yk

âñåõ n возбуждающих катушек [5,103,104]:

Знак минус” в (1.99) означает, что при независимости”потоков (или потокосцеплений) от перемещения подвижного элемента электромагнитная

Рис. 1.25. Магнитная энергия W и магнитная коэнергия W* в электромагнитной системе без остаточного магнетизма

сила направлена в сторону уменьшения магнитной энергии системы.

В условиях постоянства токов всех возбуждающих контуров или катушек (ik = const; k= 1,2,....,n) при перемещении x подвижного элемента сила Pýì находится по изменению магнитной коэнергии W*

На примере магнитной системы с одной возбуждающей катушкой, расположенной в определенном положении на магнитопроводе, магнитная коэнергия представляет собой механическую работу, совершаемую электромагнитными силами при перемещении этой катушки, заранее возбужденной током ik = const и предварительно бесконечно удаленной с магнитопровода в среду с магнитной проницаемостью m = 0, в прежнее положение на магнитопроводе. В [5] можно ознакомиться с другим (равнозначимым) примером физической интерпретации магнитной коэнергии.

Из (1.100) следует, что при условии постоянства токов в возбуждающих контурах или катушках электромагнитная сила направлена в сторону увеличения магнитной коэнергии.

Использование понятия магнитной коэнергии оправдано только для нелинейных систем, так как в этом случае изменение магнитной коэнергии не равно изменению магнитной энергии.

Для линейной магнитной системы

Здесь Lk – эквивалентная (с учетом влияния остальных контуров) статическая индуктивность k-го контура.

Магнитное поле в линейной магнитной системе представляется в виде суммы полей, возбуждаемых отдельно токами im в е¸ контурах, где m = 1,2,...n. Тогда поток Fk, сцепленный с k-м контуром при заданных токах в контурах, равен сумме потоков Fkm, образованных всеми токами im:

ãäå Lkm = Fkm ¤ im – статическая взаимоиндуктивность контуров k и m .

Из (1.102) следует

ãäå L11 è L22 – статические самоиндуктивности контуров 1 и 2; M = L12 = L21 – cтатическая взаимоиндуктивность этих контуров.

ãäå i è y – соответственно ток и потокосцепление обмотки.

При неизменном токе в обмотке и линейной магнитной системе из (1.100 ) и (1.106 ) следует

Pýì = 0,5i (dy ¤ dx) = 0,5i2(dL ¤ dx) =

(i = const)

ãäå L è F – статическая индуктивность и магнитодвижущая сила (МДС) обмотки; L Σψ = y ¤ FN – суммарная магнитная проводимость магнитной системы, приведенная по потокосцеплению обмотки к е¸ МДС и числу витков N (ñì.ïï.1.3.4.).

Аналогичное выражение для электромагнитного момента

(i = const)

где a – угловое перемещение подвижного элемента. При неизменном потокосцеплении обмотки из

(1.99) и (1.106) для линейной магнитной системы

Pýì = -0,5y(di ¤ dx) =

Соответственно, выражение для электромагнитного момента

Mýì = -0,5y2[d(1 ¤ LΣψ) ¤ da] ¤ N 2 . (1.110)

(ψ = const)

При питании обмотки линейной магнитной системы от источника напряжения переменного тока и допущении независимости потокосцепления обмотки от перемещения подвижного элемента (см.пп.1.3.4) из (1.109) с учетом принятия i = Im sin wt è y = ym sin wt (Im è ym – амплитудные значения соответственно тока и потокосцепления) следует выражение для мгновенного значения электромагнитной силы

Pýì = -Pýìm sin2wt = -0,5Pýìm(1 - cos2wt) , (1.111)

где амплитудное значение силы

Pýìm = 0,5ym(dIm ¤ dx) = y (dI ¤ dx). (1.112)

 (1.112) y è I – действующие значения потокосцепления и тока, определяемые из выражений

ãäå E è U – действующие значения ЭДС обмотки и напряжение питания, R – активное сопротивление цепи обмотки.

Среднее значение электромагнитной силы за период T

T

Pýì.ñð = (1 ¤ T )òPýìdt = 0,5Pýìm = 0,5y(dI ¤ dx).(1.115) Из (1.111) и (1.115) следует